Все цепи, рассматриваемые до сих пор, относились к классу линейных систем. Элементы таких цепей R, L и С являются постоянными и не зависят от воздействия. Линейные цепи описываются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. Если элементы электрической цепиR, L и Сзависят от воздействия, то цепь описывается нелинейным дифференциальным уравнением и является нелинейной. Например, для колебательного RLC -контура, сопротивление которого зависит от напряжения uc, получим:
. (2.1)
Элемент электрической цепи, параметры которого зависят от воздействия, называется нелинейным. Различают резистивные и реактивные нелинейные элементы.
Для нелинейного резистивного элемента характерна нелинейная связь между током i и напряжением u, т. е. нелинейная характеристикаi = F(u). На рисунке 2.1 приведена ВАХ типового нелинейного элемента (полупроводникового диода).
Рисунок 2.1 – ВАХ нелинейного элемента
Для резистивных нелинейных элементов важным параметром является их сопротивление, которое в отличие от линейных резисторов не является постоянным, а зависит от того, в какой точке ВАХ оно определяется.
По ВАХ нелинейного элемента можно определить сопротивление как
, (2.2)
где U0 – приложенное к нелинейному элементу постоянное напряжение; I0 = F(U0) –протекающий по цепи постоянный ток. Это сопротивление постоянному току (или статическое). Оно зависит от приложенного напряжения.
Пусть на нелинейный элемент действует напряжение u = U0 + Umcoswt, причем амплитудаUm, переменной составляющей достаточно мала, так что тот небольшой участок ВАХ, в пределах которого действует переменное напряжение, можно считать линейным. Тогда ток. протекающий через нелинейный элемент, повторит по форме напряжение: i = I0 + Imcoswt.
Определим сопротивлениеRдиф как отношение амплитуды переменного напряжения Um к амплитуде переменного тока Im (это отношение приращения напряжения Du к приращению тока Di):
. (2.3)
Это сопротивление называется дифференциальным (динамическим) и представляет собой сопротивление нелинейного элемента переменному току малой амплитуды. Обычно переходят к пределу этих приращений и определяют дифференциальное сопротивление в видеRдиф=du/di. Приборы, имеющие падающие участки на ВАХ, называются приборами с отрицательным сопротивлением, так как на этих участках производные di/du < 0 и du/di < 0.
Одной из важнейших особенностей нелинейных цепей является то, что в них не выполняется принцип наложения. Поэтому невозможно предсказать результат воздействия суммы сигналов, если известны реакции цепи на каждое слагаемое воздействие. Из сказанного вытекает непригодность для анализа нелинейных цепей временного и спектрального методов, которые применялись в теории линейных цепей.
Действительно, пусть вольт-амперная характеристика (ВАХ) нелинейного элемента описывается выражением i = au2. Если на такой элемент действует сложный сигнал u = u1 + u2, то отклик i = a (u1 + u2)2 = a u12 + a u22 + 2 a u1u2 отличается от суммы откликов на действие каждой составляющей в отдельности (au12 + au22) наличием компоненты 2au1u2, которая появляется только в случае одновременного воздействия обеих составляющих.
Рассмотрим вторую отличительную особенность нелинейных цепей. Пустьu = u1 + u2 = Um1cosw0t + Um2cosWt, где Um1 и Um2 – амплитуды напряжений u1 и u2.
Тогда ток в нелинейном элементе с ВАХ i = au2 будет иметь вид:
(2.4)
На рисунке 2.2 построены спектры напряжения и тока. Все спектральные компоненты тока оказались новыми, не содержащимися в напряжении. Таким образом, в нелинейных цепях возникают новые спектральные компоненты. В этом смысле нелинейные цепи широко используются для преобразований сигналов, связанных с изменением их спектров.
Рисунок 2.3 – Спектр тока квадратичного нелинейного элемента