ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОДНОЙ

	ВЕЛИЧИНЫ	ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ
	S -путь, перемещение -скорость ускорение	=S./(t)
	=. /(t)
	A -работа F -cила N -мощность	F(X)=A./(x)
	N(t)= A./(t)
	q-электрический заряд, количество электричества I-сила тока	I(t)=q/(t)
	m-масса тонкого стержня -линейная плотность	=m./(x)
	Q-количество теплоты c-теплоёмкость	C(t)=Q/(t)
	V-Объём продукции f(t)-производительность труда	f(t)=V./(t)
	W-Расход электроэнергии p-потребность в электроэнергии	P(t)=W./(t)

Задача 1. Тело движется по прямой так, что расстояние S от начальной точки изменяется по закону

S=10t -0.2t² (м),

где t-время движения в секундах. Найдите скорость движения тела через а) t₁= 2сек б) t₂= 8сек после начала движения.

РЕШЕНИЕ: Скорость – производная пути по времени =S^./(t)

S=10t -0.2t²

=S^./(t)= 10-0,4 t

а) При t₁= 2сек = 10-0,4*2=0,2м/с

б) При t₁= 8сек = 10-0,4*8= 6,2м/сОтвет: а) 0.2м/с; б)6.2м/с

Задача 2. Тело движется по прямой так, что расстояние S от начальной точки изменяется по закону

S=12t -0.3t² (м),

где t-время движения в секундах В какой момент времени а) тело остановиться; б) скорость будет равна 6 м/с

РЕШЕНИЕ: Скорость – производная пути по времени =S^./(t)

S=12t -0.3t²

=S^./(t)= 12-0,6 t
а) Тело остановиться, значит скорость в этот момент времени будет равна 0

12-0,6 t=0

12 = 0,6 t, тогда t =12:0,6=20сек
б) Скорость =6м/с.

12- 0,6 t= 6

-0,6 t= - 6, тогда t = 10cек

Ответ: а) 20сек, б) 10сек

ЗАДАЧА 3. Тело движется так, что расстояние S от начальной точки изменяется по закону

S=t³- 5t² -8 (м),

где t-время движения в секундах. Найдите ускорение тела через 2 сек от начала движения

Скорость – производная пути по времени =S^./(t)

=S^./(t)= 3 t²- 10t м/c

Ускорение – производная скорости по времени =^{. /}(t):

=^{. /}(t)= 6 t- 10 м/с²

При t=2 сек м/с²

Ответ: м/с²

Задача4: Затраты на производство продукции объёма х задаются функцией . Производитель реализует продукцию по цене 25 ден.ед. Найдите максимальную прибыль П и соответствующий объём продукции х.

Решение: Записываем исходную формулу для вычисления величины, экстремальное значение которой надо найти

Прибыль равна разности между выручкой U и затратами С.

П= U – С

Находим соответствующую функцию, зависящую от х

Реализовав продукцию объёма х по цене 25 ден.ед., предприниматель имеет выручку, . При этом затраты составят . Значит,

Определяем (по смыслу задачи) область определения функции

По смыслу задачи объём продукции х может принимать любое положительное значение, т.е.

Формулируем математическую задачу

Найти наибольшее значение функции

при

Функцию аргумента х исследуем на экстремум на найденном промежутке

, следовательно

стационарная точка функции

Производная меняет свой знак при переходе через эту точку с «+» на «–», значит – точка максимума.

Интерпретируем результаты и записываем ответ

Максимальная прибыль, равная 96 ден.ед., достигается при объёме производства 10 у.е.
ЗАДАЧА 5. Заряд в электрической цепи изменяется по закону

q(t) = 0,6 cos 2 ).Найти силу тока в момент времени t= 2/3 секунды

РЕШЕНИЕ:

Сила тока –это производная заряда по времени I(t)=q^/(t)

I(t)=q^/(t)= - 0,6* 2 Sin 2 = -1,2 Sin 2

При t= 2/3 секунды I(2/3)=q^/(2/3)= -1,2 Sin (2 = -1,2 Sin

= 0,6 *3,14* 3,3 (А)

Ответ: 3,3 Ампера

РЕШИТЬ ЗАДАЧИ:

1. Тело движется по прямой так, что расстояние S от начальной точки изменяется по закону

S=8t -0.4t² (м),

где t-время движения в секундах. Найдите скорость движения тела через

а) t₁= 2сек б) t₂= 5сек после начала движения.

2. Тело движется по прямой так, что расстояние S от начальной точки изменяется по закону

S=0.5t²- 12t (м),

где t-время движения в секундах В какой момент времени а) тело остановиться; б) скорость будет равна 20м/с

3. Объём продукции V, произведённой бригадой рабочих,задаётся уравнением

V(t)= - t³+7.5 t²+100t +50, 0 8
где t-рабочее время в часах. Вычислить производительность труда через час после начала работы и за час до её окончания.

4. Заряд в электрической цепи изменяется по закону

q(t) = 4 cos 2 ).Найти силу тока в момент времени t= 3/4 секунды