ТЕМА 4. ВАРИАЦИОННЫЙ АНАЛИЗ
Вариация признака и показатели ее оценки.
Дисперсия, ее свойства и методы расчета.
Виды дисперсии. Правило сложения дисперсий.
ВАРИАЦИЯ ПРИЗНАКА И ПОКАЗАТЕЛИ ЕЕ ОЦЕНКИ
Вариация – колеблемость, многообразие, изменяемость величины признака у отдельных единиц совокупности.
Рис. 1. Факторная классификация вариаций
Рис. 2. Классификация показателей вариации признака
Абсолютные показатели вариации – это размах вариации, среднее линейное отклонение, среднее квадратическое отклонение и дисперсия.
Относительные показатели вариации – это коэффициенты осцилляции, вариации, относительное линейное отклонение и др.
Средняя арифметическая:
- для первичного ряда (простая средняя арифметическая):
;
- для ранжированного вариационного ряда (взвешенная средняя арифметическая):
.
Мода и медиана – структурные средние.
Мода – значение изучаемого признака, повторяющееся с наибольшей частотой.
Для интервального распределения с равными интервалами:
где
- нижняя граница модального интервала;
- величина модального интервала;
- частота модального интервала;
- частота интервала, предшествующего модальному;
- частота интервала, следующего за модальным.
Модальное значени е является валидной мерой центральной тенденции асимметричного распределения социально-экономических показателей.
Для интервального распределения с неравными интервалами:
где
- начальная граница модального интервала, в котором достигает максимума величина - отношение частоты интервала к его величине;
- величина соответствующего модального, до- и послемодального интервалов;
- частота модального, до- и послемодального интервалов соответственно.
Медиана – значение признака, приходящееся на середину ранжированной совокупности. Структурные средние могут быть определены по дискретным и интервальным рядам распределения.
Формулы для исчисления медианы вариационного ряда:
- при нечетном числе вариантов - ;
- при четном числе вариантов - .
Формула для исчисления медианы интервального ряда:
где
- нижняя граница медианного интервала;
- величина медианного интервала;
- накопленная частота интервала, предшествующего медианному;
- частота медианного интервала.
Размах вариации () – разность между наибольшим и наименьшим значениями варьирующего признака.
Среднее линейное отклонение – средняя арифметическая из абсолютных значений отклонений вариант признака от их средней. Эта величина вычисляется как средняя арифметическая из абсолютных значений отклонений вариант и :
простая -
взвешенная –
Дисперсия – средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины и в зависимости от исходных данных вычисляется по формулам:
- простой дисперсии –
- взвешенной дисперсии -
Среднее квадратическое отклонение (нормированное или стандартизированное отклонение) рассчитывается как корень квадратный из дисперсии. Оно может быть:
- простым -
- взвешенным -
Если распределение признака близко к нормальному или симметричному распределению, то или .
В условиях нормального распределения существует следующая взаимосвязь между величиной среднего квадратического отклонения и количеством наблюдений:
- в пределах располагается 68,3% количества наблюдений;
- в пределах располагается 95,4%;
- в пределах располагается 99,7% количества наблюдений.
Это положение называют правилом трех сигм.
Коэффициент осцилляции – процентное отношение размаха вариации к средней величине признака.
Линейный коэффициент вариации – процентное отношение среднего линейного отклонения к средней величине признака.
Коэффициент вариации – процентное отношение среднего квадратического отклонения к средней величине признака, т.е. это относительный показатель вариации признака.
В этой связи валидной мерой вариабельности асимметричного распределения социально-экономических показателей является среднее квадратическое отклонение.
Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33% (для распределений, близких к нормальному). Различают следующие коэффициенты вариации.
Кривая распределения – графическое изображение в виде непрерывной линии изменения частот в вариационном ряду, функционально связанном с изменением вариант; кривую распределения применяют в качестве обобщающей характеристики особенностей формы распределения.
Нормальное распределение – это распределение, в котором средняя арифметическая, мода и медиана равны между собой. Формула функции плотности нормального распределения такова:
.
Следовательно, кривая нормального распределения может быть построена по двум параметрам – средней арифметической и среднему квадратическому отклонению .
Эмпирическая кривая распределения – это фактическая кривая распределения, полученная по данным наблюдения, в которой отражаются как общие, так и случайные условия, определяющие распределение.
Теоретическая кривая распределения – кривая, выражающая общую закономерность данного типа распределения в чистом виде, исключающем влияние случайных факторов.
Коэффициент асимметрии () равен отношению центрального момента третьего порядка () к среднему квадратическому отклонению в кубе:
.
Оценка существенности проводится на основе средней квадратической ошибки, коэффициента асимметрии , которая зависит от числа наблюдений () и рассчитывается по формуле: .
Если асимметрия существенна и распределение признака в генеральной совокупности несимметрично. В противном случае асимметрия несущественна и ее наличие может быть вызвано случайными обстоятельствами. Распределение показателя с правосторонней асимметрией приводится к симметричному путем обратного преобразования показателя.
Для симметричных распределений с использованием центрального момент четвертого порядка () может быть рассчитан показатель эксцесса (), который определяют по формуле:
Рис.5. Островершинное (, а)) и плосковершинное (, б)) распределения
Среднеквадратическая ошибка эксцесса () рассчитывается по формуле:
где - число наблюдений.
Для аппроксимации (выравнивания) эмпирических кривых распределения и сопоставления их с теоретическими в статистике часто пользуются нормальным распределением, функция которого имеет вид:
где - ордината кривой нормального распределения;
- стандартное отклонение;
- варианты вариационного ряда;
- их средняя величина;
- среднее квадратическое отклонение.
Плотность вероятности находится по формуле:
В математической статистике существуют специальные таблицы для любых значений . На основании полученных значений можно найти частоты нормального распределения ():
.
Критерии согласия – особые статистические показатели, характеризующие соответствие эмпирического и теоретического распределений. Критерий согласия Пирсона () вычисляется по формуле: где и - эмпирические и теоретические частоты соответственно.
В системе структурных показателей в качестве показателей особенностей формы распределения выступают варианты, занимающие определенное место в ранжировано вариационном ряду.
Квартили – значения признака, делящие ранжированную совокупность на четыре равновеликие части нижний квартиль () отделяет часть совокупности с наименьшим значением признака; верхний квартиль () отсекает часть с наибольшими значениями признака.
Децили – значение признака, делящие ранжированную совокупность на десять равных частей.
Перцентили – значения признака, делящие ранжированную совокупность на сто равных частей.
Показатели дифференциации. По первичным данным может быть рассчитан коэффициент фондовой дифференциации, который представляет собой соотношение двух средних, полученных из 10% наибольших и наименьших значений признака:
.
Если представлены сгруппированные данные, то для характеристики дифференциации можно воспользоваться соотношением девятой и первой децили, которое характеризует коэффициент децильной дифференциации:
.
(децили делят все число единиц в совокупности на десять равных частей). Для определения децилей используются формулы аналогичные формулам расчета квартилей.
Децильный коэффициент дифференциации доходов населения (КD), показывающий, во сколько раз минимальные доходы 10% самого богатого населения превышают максимальные доходы 10% наименее обеспеченного населения:
,
где D9, D1 – девятый (самые высокие доходы) и первый (самые низкие доходы) дециль соответственно. Дециль – вариант ранжированного ряда, отсекающий десятую часть совокупности.
,
.
Рис. 4.12. Кривая Лоренца концентрации доходов населения
Коэффициент концентрации доходов (коэффициент Джини), характеризующий степень неравенства в распределении доходов населения, определяется по формуле:
где хi — доля населения, принадлежащая к i-той социальной группе в общей численности населения;
yi — доля доходов, сосредоточеннаяу i-той социальной группы населения;
n — число социальных групп;
cum yi — кумулятивная (исчисленная нарастающим итогом) доля дохода.
Коэффициент Джини изменяется в пределах от 0 до 1. При равномерном распределении этот коэффициент стремится к нулю, а чем выше поляризация доходов в обществе, тем он ближе к единице.