Обработка полученных данных




Свободные колебания

Курсовая работа по программированию

и информатике.

Выпонила студентка 204 группы

Е. М. Мухоян

Преподаватель

А. А. Лукашёв

 

Москва – 2017

 

 

Аннотация

В курсовой работе рассмотрена задача о свободных негармонических колебаниях математического маятника.

Показано:

1) при малой амплитуде координата и скорость зависят от времени движения по гармоническому закону, фазовый портрет системы имеет форму эллипса

2) с увеличением амплитуды колебания перестают быть гармоническими, фазовый портрет теряет форму эллипса

3) в случае негармонических колебаний частота колебаний зависит от их амплитуды

 

Содержание

Введение.

Физическая постановка задачи ………………………………………………………………… 4

Анализ основных уравнений

Основное уравнение движения………………………………………………………………...…. 4

Описание метода моделирования

3.1 Выбор численного метода…………………………………………………………………….. 4

3.2 Метод Рунге-Кутта…………………….………………………………………………………. 4

Результаты численных расчётов

Обработка полученных данных……………………………………………................................... 5


5 Выводы … ……… ………………………. ……………………

..……….………………………..... 9


Введение.

Физическая постановка задачи

Задача о колебании математического маятника. Математический маятник – это осциллятор, представляющий собой механическую систему, состоящую из материальной точки, находящейся на невесомой нерастяжимой нити или на невесомом стержне в однородном поле сил тяготения [1].

Анализ основных уравнений

Основное уравнение движения

Основное уравнение движения – второй закон Ньютона [2], который записывается в виде:

. (1)

Описание метода моделирования

Выбор численного метода

Для численного решения поставленной задачи наилучшим оказывается применение метода Рунге-Кутта 4-го порядка. Потому что метод 4-го порядка имеет преимущество перед методами 1-го и 2-го порядков, так как он обеспечивает малую локальную ошибку. Это позволяет увеличить шаг интегрирования и, следовательно, сократить время расчета [3].

 

Метод Рунге-Кутта

Для численного решения поставленной задачи применялся метода Рунге-Кутта 4-го порядка. Метод Рунге-Кутта – это класс численных методов для решения задачи Коши для дифференциальных уравнений и их систем [4]. Первые методы данного класса были предложены около 1900 года немецкими математиками К. Рунге и М. В. Куттой [5]. В данной задаче применяется метод Рунге-Кутта 4-го порядка при вычислениях с постоянным шагом интегрирования. Этот метод имеет четвёртый порядок точности.

В нашем случае численная схема выглядит следующим образом:

,

(2)

,

 

 

 

где

 

,

(3)

,

 

,

 

,

 

,

 

,

(4)

,

 

,

 

,

 

.

 

 

Результаты численных расчётов

Обработка полученных данных

В результате проведения численного эксперимента были получены несколько серий, анализ которых показывает:

1. Зависимости координаты и скорости от времени периодические (см. Рис.1, Рис.3, Рис.5 и Рис.7);

2. При малой амплитуде (при малом угле отклонения маятника от положения равновесия) колебания системы близки к гармоническим (см. Рис.1, Рис.3 и Рис.5), и с увеличением амплитуды (угла отклонения) перестают быть гармоническими (см. Рис.7);

3. При гармонических колебаниях фазовый портрет системы имеет форму эллипса (см. Рис.2, Рис.4 и Рис.6), и теряет форму эллипса, когда колебания перестают быть гармоническими (см. Рис.8);

4. В условии негармонических колебаний частота колебаний уменьшается с ростом амплитуды (см. Рис.1, Рис.3, Рис.5, Рис.7 и Рис.9).

 

 

Рис. 1. Зависимости координаты и скорости от времени при (отн. ед.), (отн. ед.), (рад./c.).

 

Рис.2. Зависимость скорости от координаты при (отн. ед.), (отн. ед.),

(рад./c.).

 

Рис.3. Зависимости координаты и скорости от времени при (отн. ед.), (отн. ед.), (рад./c.).

 

Рис.4. Зависимость скорости от координаты при (отн. ед.), (отн. ед.),

(рад./c.).

 

Рис.5 Зависимости координаты и скорости от времени при (отн. ед.), (отн. ед.), (рад./c.).

 

Рис.6. Зависимость скорости от координаты при (отн. ед.), (отн. ед.),

(рад./c.).

 

Рис.7. Зависимости координаты и скорости от времени при (отн. ед.), (отн. ед.), (рад./c.).

 

Рис.8. Зависимость скорости от координаты при (отн. ед.), (отн. ед.),

(рад./c.).

 

Рис.9. Зависимость частоты колебаний от амплитуды.

 

 

Выводы

По результатам проделанной работы можно сделать следующие выводы:

· Колебания математического маятника при данных условиях – это свободные незатухающие колебания, которые при малой амплитуде являются гармоническими.

· При малой амплитуде колебаний координата и скорость зависят от времени по гармоническому закону, фазовый портрет системы имеет форму эллипса.

· С увеличением амплитуды колебания перестают быть гармоническими, фазовый портрет теряет форму эллипса.

· В случае негармонических колебаний частота колебаний уменьшается с увеличением их амплитуды.

 

Список литературы

1. А. Н. Матвеев «Механика и теория относительности» 1-ое изд. М.: Высшая школа, 1976.

2. Д. В. Сивухин «ОБЩИЙ КУРС ФИЗИКИ. Том 1. МЕХАНИКА» М.: Наука, 1979.

3. Б. П. Демидович, И. А. Марон, Э. З. Шувалова «Численные методы анализа» 3-е изд. М.: Наука, 1967.

4. Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков «Численные методы» М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001.

5. В. А Ильина, П. К. Силаев «Численные методы для физиков-теоретиков Ч. 2» Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004.

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-06-13 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: