Зону контакта круга с заготовкой представляют в виде сплошного источника.
Плотность теплового потока определяют:
где 
площадь теплового источника,
где 
высота шлифовального круга,
Источник тепла перемещается в положительном направлении оси Zсо скоростью Vs. Система координат связана с источником тепла.
Уравнение теплопроводности:
Граничные условия:
;x = 0; 
В некоторых случаях теплообмен с жидкостью не учитывается. Если теплообмен происходит с одинаковой интенсивностью в зоне контакта круга с заготовкой и за её пределами, то граничные условия:
; х = 0; 
Если считать что теплообмен происходит со свободной поверхности, то граничные условия 
; х = 0;
Решение задачи сводится к нахождению функции Грина (фундаментального решения). Фундаментальное решение позволяет найти toв точке 
неограниченной области в момент времени τ от мгновенного точечного источника действующего в точке 
в момент времени τ = 0. Температурное поле равно сумме полей от элементарных источников распределенных по полосе. Решение при теплообмене со всей поверхности имеет вид:
где 
коэффициент учитывающий теплообмен, 
безразмерный комплекс характеризующий интенсивность теплообмена, 
безразмерные координаты, 
; 
; 
модифицированная функция Бесселя второго рода нулевого порядка.
Если теплообмен не учитывается k = 1. Температурное поле при отсутствии теплообмена.
Для облегчения расчетов функции 
табулированы.
Чтобы судить о структурных превращениях в поверхностном слое заготовки необходимо знать скорость нагрева и охлаждения.
где 
безразмерная to,
Температурное поле при шлифовании полученное Евсеевым и Сальниковым.
_____ - если безразмерная ширина источника Н = 5,2,
- - - - - если безразмерная ширина источника Н = 2,6.
С увеличением глубины Х, то 
уменьшается. С увеличением Н (время действия источника) приводит к увеличению .
Максимальная температура на поверхности при использовании СОЖ незначительно ниже чем при охлаждении, следовательно, условия охлаждения незначительно влияют на среднюю температуру.
Глубина нагрева до определенной температуры при охлаждении меньше чем без охлаждения. При охлаждении уменьшается скорость нагрева и увеличивается скорость охлаждения после прохождения источника. По мере удаления от поверхности влияние охлаждения на скорость снижается. С увеличением глубины шлифования температура и скорость тепловых процессов увеличивается. Характеры зависимости температуры на поверхности от скорости заготовки определяется значением показателя степени функции.
,
если 
следовательно температура увеличивается,
если 
следовательно с увеличением 
температура вначале увеличивается затем уменьшается,
если 
следовательно температура остаётся постоянной.
При небольших отношениях 
увеличение приводит к росту температуры и росту тепловых процессов. При 
это увеличение становится несущественным.
§РАСЧЕТ ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ НА
ОСНОВЕ АНАЛИТИЧЕСКОГО
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Рассчитать температуру металлической иголки щетки в процессе иглофрезерования.
; 
ГУ2 (граничные условия),
; 
ГУ1.
Теплоотдача с боковой поверхности стержня пренебрегаем, то есть считаем эту поверхность адиабатической:
Рассмотрим установившийся (стационарный) процесс:
Температура в стержне меняется по линейному закону.
Исходные данные:
Н, V = 120 м/мин = 2 м/с,
L = 0,02 м,
T0 = 20 oC,
Вт/м*оС,
d = 1*10-3м,
В иголку переходит 30% от выделившейся теплоты.
; 
; 
1) Варьировать можно 
и 40, 60 
2) L = 0,005 и 0,05 м
Предположим, что коэффициент теплопроводности зависит от to 
Предположим что зависимость 
; 
; 
§МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
Он основан на замене производных их приближениями значениями выраженными через разности значений функции в отдельных дискретных точках – узлах сетки. Дифференциальное уравнение заменяют эквивалентными соотношениями конечных разностей.
Если разности 
; 
достаточно малы, то 
можно заменить на 
и 
(разностное выражение назад)
(разностное выражение вперед)
(разностное выражение симметричное)
Рассмотрим уравнение теплопроводности для изолированного тонкого стержня.
Так как Tзависит от 2-х переменных используем сетку прямоугольного типа.
§ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ
МЕТОДА КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
Разделим стержень на мелкие отрезки и пронумеруем.
Дифференциальное уравнение теплопроводности:
шаг по времени (2…N-1), N – общее число точек.
Устойчивость решения обеспечивается если:
, 
; с, 
; ρ, 
; L, 
; q0, 
; T0 – температура окружающей среды; N – общее число точек; 
максимальное время.
2) 
3) Расчет шагов 
– число промежутков времени
§МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Исследуемую систему заменяют дискретным множеством конечных элементов, для каждого элемента составляют баланс тепловой энергии, представляющее уравнение, совокупность этих уравнений являются аналогом исходной задачи, этот метод дает тем больше, чем больше конечных элементов.
Пример:
Пластину толщиной «Н» имеющую начальную температуру Тн, охлаждают с двух противоположных сторон потоком жидкости или газа имеющую температуру Tf1иTf2, и коэффициент теплоотдачи α1 и α2, необходимо найти распределение температуры в момент времени 
если теплофизические характеристики не зависят от температуры.
Дифференциальное уравнение теплопроводности:
1) 
; 
; T = Tн
Граничные условия:
2) 
;
3) ; 
Разобьём на N+1 конечных элементов с шагом 
, полагая что температура внутри каждого элемента однородна. Обозначим температуру i-го элемента в анализируемый момент времени через Ti, а в последующий момент времени смещенный относительно анализируемого на 
, через 
составим тепловой баланс внутреннего элемента (1,…,N-1)
Левая часть уравнения выражает приращение энтальпии i-го элемента за время 
, слагаемое в правой части выражает тепловой поток поступивший в элемент от соседнего слева (i-1)-го элемента и от правого (i+1)-го элемента
Составим тепловой баланс нулевого и N-го элемента:
Аналогичное уравнение можно записать для N-ой точки. Аналоги ДУ теплопроводности 0-го и N-го элемента:
Шаг по времени нужно выбрать минимальным:
