Существуют следующие критерии проверки гипотезы нормальности распределения, имеющие ограничения по объему выборки:
· критерий Шапиро–Уилка для малых выборок c n < 50;
· критерий Хи-квадрат Пирсона для выборок с n > 30
· критерий Колмогорова–Смирнова для выборок c n > 50
1. Критерий Шапиро–Уилка используют, когда на основе исходных данных можно выбрать альтернативную гипотезу следующего вида: практически симметричное распределение с убывающей кривизной или ассиметричное распределение. Этот критерий применим при 8<n<50. Малые выборки с n<8 при обнаружении отклонений от нормального распределения не дают достоверных результатов.
Критерий основан на регрессионном анализе порядковых статистик по их ожидаемым значениям. Это критерий типа дисперсионного анализа для полной выборки. Статистика критерия W – отношение квадрата суммы линейной разности выборочных порядковых статистик к обычной оценке дисперсии
При уровне значимости α = р критическая область критерия образована значениями, меньшими чем квантиль для р = α. Если табличное значение Wтабл меньше расчетного значения Wрасч, то нулевая гипотеза о нормальном распределении не отклоняется при уровне значимости α.
2. Критерий Колмогорова–Смирнова является одновыборочным критерием проверки нормальности и основывается на максимуме разности между кумулятивным распределением выборки Fn (x) и предполагаемым кумулятивным распределением F (x)
D = max ∣Fn(x)−F(x)∣.
Полученное значение D расч сравнивают с критическим D табл, взятым из таблицы при заданном уровне значимости α. Если D-статистика Колмогорова–Смирнова значима, то 0-гипотеза о нормальности соответствующего распределения должна быть отвергнута. Таким образом, если табличное значение Dтабл меньше расчетного Dрасч, то нулевая гипотеза о нормальном распределении отвергается при уровне значимости α.
3. Критерий Хи-квадрат Пирсона используется для проверки гипотезы о нормальности закона распределения исследуемой случайной величины. Для проверки гипотезы о том, что исследуемая случайная величина x подчиняется нормальному закону распределения F(x), необходимо произвести выборку из n независимых наблюдений и по ней построить эмпирический закон распределения F’(x). Для сравнения эмпирического F’(x) и гипотетического F(x) законов используется критерий согласия Пирсона. Если вычисленное значение статистики 
превосходит квантиль распределения Хи-квадрат с k=n-p-1 степенями свободы для заданного уровня значимости α, то гипотеза нормальности распределения отвергается. В противном случае эта гипотеза принимается на заданном уровне значимости α. Здесь n – число наблюдений; p – число оцениваемых параметров закона распределения.
Задание 1. Для оценки уровня работоспособности необходимо проверить нормальность распределения показателей уровня распределения внимания у студентов до начала работы (Таблица 1).
Таблица 1
| № | сек | № | сек | № | сек | № | сек | № | сек |
Указание. Ввести данные в один столбец. Поскольку выборка имеет объем n = 90, необходимо выбрать
1) критерий Колмогорова–Смирнова: модуль Descriptive statistics. В окне модуля во вкладке Normality установить флажок в опции Kolrnogorov-Srnirnov & Lilliefors test for normality, далее Histograms (Гистограммы)
2) критерий Хи-квадрат Пирсона: модуль Distribution Fitting - Quick - группа Continuous Distributions - OK. Далее в появившемся окне Fitting Continuous Distributions выберем переменную Var 1, Plot of observed and expected distribution., В окне полученной гистограммы отображается значение статистики критерия. Если расчетное значение критерия меньше табличного значения для заданных k и α, то 0-гипотеза о нормальности распределения принимается.
Задание 2. Провести следующий анализ:
1. Рассчитать следующие основные описательные статистики выборок: среднее значение, размах, выборочную дисперсию, выборочное стандартное отклонение, стандартную ошибку среднего, выборочный коэффициент асимметрии, выборочный коэффициент эксцесса, доверит.интервал для среднего с вероятностью 95%. Сделать выводы о выборке.
2. Построить гистограмму.
3. Проверить гипотезы нормальности распределения выборки по критериям Шапиро–Уилка, Колмогорова–Смирнова и Хи-квадрат Пирсона.
Вариант 1. Результаты бега на 100 м спринтера, с: 10,8; 10,7; 10,7; 10,9; 10,6; 10,8; 10,7; 10,9; 10,8; 10,6
Вариант 2. Результаты измерения простой двигательной реакции у боксе-ров, с: 0,16; 0,19; 0,13; 0,21; 0,18; 0,19; 0,10; 0,15; 0,20; 0,17.
Вариант 3. Результаты прыжка на лыжах с трамплина квалифицированного лыжника, м: 91,5; 93; 89,5; 93; 90; 92; 95; 90,5; 92; 93,5; 93.
Вариант 4. Результаты соревнований в прыжках в длину одного спортсме-на, м: 8,07; 7,83; 7,77; 7,92; 7,75; 7,89; 7,95; 7,71; 8,00; 7,86.
Вариант 5. Результаты выступления на соревнованиях пловца на 25 м кро-лем, с: 25,3; 24,5; 24,3; 24,7; 24,0; 25,1; 24,6; 23,9; 24,1; 24,5.
Вариант 6. Результаты прыжка в длину с места одного испытуемого, см: 257; 262; 245; 253; 267; 258; 253; 246; 260; 256; 261; 249.
Вариант 7. Продолжительность кардиоинтервалов у спортсмена в покое составила, с: 0,97; 1,03; 1,07; 1,01; 0,95; 0,94; 0,99; 1,00; 1,12; 1,03.
Вариант 8. Результаты бега на коньках на 500 м у спортсмена в соревнова-ниях, с: 41,4; 41,9; 41,0; 40,9; 41,6; 40,7; 40,3; 41,2; 42,1; 40,8.
Вариант 9. Результаты выступления на соревнованиях по толканию ядра одного спортсмена, м: 15,00; 15,48; 14,93; 15,36; 15,00; 15,12; 15,24; 14,64; 14,88.
Вариант 10. Результаты выступления пловца в плавании на 100 м брассом, с: 69,7; 70,3; 68,9; 69,4; 68,8; 68,5; 69,0; 68,8; 70,4; 69,5.