Контрольные задания по математике для студентов заочной формы обучения
Курс, 3 семестр
Контрольные работы содержат задания по темам «Ряды» и «Теория вероятностей с элементами математической статистики».
Студент выполняет вариант, номер которого совпадает с последней цифрой его шифра (номера зачётной книжки).
| № варианта | номера задач для контрольных работ | |||||||||
| № 5 | № 6 | |||||||||
Каждая контрольная работа выполняется в отдельной тетради в клетку. В заголовке работы на обложке тетради должны быть написаны название учебного заведения, название института, фамилия студенты, его инициалы, номер группы, направление подготовки, учебный номер/шифр (номер зачётной книжки), название дисциплины, номер контрольной работы, фамилия и инициалы преподавателя.
Решения задач надо располагать в порядке возрастания их номеров, указанных в заданиях, сохраняя номера задач и полностью переписывая условия заданий. Решения должны быть подробными, аккуратными, содержащими все необходимые пояснения.
Контрольная работа № 5
Ряды
221 - 230. Исследовать на сходимость числовые ряды 
221. а) 
; б) 
.
222. а) 
; б) 
.
223. а) 
; б) 
.
224. а) 
; б) 
.
225. а) 
; б) 
.
226. а) 
; б) 
.
227. а) 
; б) 
.
228. а) 
; б) 
.
229. а) 
; б) 
.
230. а) 
; б) 
.
231 – 240. Исследовать на абсолютную и условную сходимость.
231. 
. 232. 
.
233. 
. 234. 
.
235. 
. 236. 
.
237. 
. 238. 
.
239. 
. 240. 
.
241 – 250. Найти область сходимости степенного ряда 
.
241. 
. 242. 
.
243. 
. 244. 
.
245. 
. 246. 
.
247. 
. 248. 
.
249. 
. 250. 
.
251 – 260. Разложить в степенной ряд по степеням х функции
251. 
. 252. 
.
253. 
. 254. 
.
255. 
. 256. 
.
257. 
. 258. 
.
259. 
. 260. 
.
261 – 270. Найти три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения у = у (х) дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям.
261. 
; у(0) = 1. 262. 
; у(0) = 4.
263. 
; у(0) = 1. 264. 
; у(0) = 2.
265. 
; у(0) = 1, 
(0) = 1. 266. 
; у(0) = 1, (0) = 1.
267. 
; у(0) = 1. 268. 
; у(0) = 1, (0) = 1.
269. 
; у(0) = 1. 270. 
; у(0) = 2, (0) = 2.
Контрольная работа № 5
Теория вероятностей и элементы математической статистики.
271. Двухосный автомобиль имеет 6 колес. Одно из них спущено. Найти вероятность того, что из наудачу взятых двух колес одно окажется спущенным.
272. На машинном дворе стоят 16 строительных машин. Из них 6 автогрейдеров, 2 скрепера, остальные – бульдозеры. Постановка на капитальный ремонт равновозможна для любой строительной машины. На капитальном ремонте стоят 4 машины. Найти вероятность того, что оба скрепера находятся на капитальном ремонте.
273. Из чисел 1, 2, 3, 4, …, 10 наугад выбираются два числа. Какова вероятность того, что: а) сумма их будет нечётной; б) произведение будет чётным.
274. В ящике лежат 10 красных, 4 синих и 6 зелёных шаров. Из ящика наудачу извлекают 2 шара. Найти вероятность того, что они одного цвета.
275. Вероятность того, что бульдозер во время работы выйдет из строя из-за обрыва ременного привода, равна 0,1; из-за отсутствия масла в картере – 0,3; из-за поломки коробки передач – 0,2. Какова вероятность того, что бульдозер выйдет из строя хотя бы по одной из этих причин?
276. Имеется 15 дорстроймашин, из них 6 универсальных экскаваторов. На помощь соседнему СМУ случайным образом отправлено пять машин. Какова вероятность того, что среди них будут 3 экскаватора?
277. Игральную кость бросают один раз. Какова вероятность выпадения четвёрки? Какова вероятность выпадения числа очков больше четырёх?
278. Вероятность попадания в мишень при первом выстреле равна 0,7, при втором – 0,8, при третьем – 0,9. Найти вероятность того, что при трёх выстрелах будет: а) одно попадание; б) хотя бы одно попадание в мишень.
279. Имеется 12 образцов горных пород. Из них 3 образца метаморфического происхождения, 4 – осадочного, остальные – магматического. Найти вероятность того, что взятые наудачу 2 образца будут не магматического происхождения.
280. Электрическая цепь состоит из трёх последовательно включённых и независимо работающих приборов. Вероятности выхода из строя первого, второго и третьего приборов равны, соответственно, 0,25, 0,05 и 0,1. Найти вероятность того, что тока в цепи не будет.
281. В одном ящике 5 белых и 10 красных шаров, в другом 10 белых и 5 красных шаров. Из каждого ящика случайным образом взято по одному шару. Найти вероятность того, что хотя бы из одного ящика был вынут белый шар.
282. На базе имеется 20 изделий из прокатной стали, из них 8 швеллеров и 6 двутавров. Для построения конструкции достаточно иметь швеллер или двутавр. С базы на стройку привезли случайно одно изделие. Найти вероятность того, что конструкция будет построена.
283. Студент знает 45 из 60 вопросов программы. Каждый экзаменационный билет содержит три вопроса. Найти вероятность того, что студент знает: а) все три вопроса; б) только два вопроса; в) только один вопрос экзаменационного билета.
284. Балка испытывает деформацию под действием внешних сил. Вероятность того, что деформация балки вызвана продольной силой, равна 0,3, а крутящим моментом – 0,5. Найти вероятность того, что деформация балки не вызвана ни одной из этих сил.
285. Производится стрельба по некоторой цели, вероятность попадания в которую при одном выстреле равна 0,2. Стрельба прекращается при первом попадании. Найти вероятность того, что будет произведено ровно 4 выстрела.
286. Вероятность наличия нефти в районе А равна 0,6, в районе В – 0,7. Определить вероятность наличия нефти хотя бы в одном из этих районов.
287. Три стрелка в одинаковых и независимых условиях произвели по одному выстрелу по одной и той же цели. Вероятность поражения первым стрелком равна 0,9, вторым – 0,8, третьим – 0,7. Найти вероятность того, что: а) только один из стрелков попал в цель; б) только два стрелка попали в цель; в) три стрелка попали в цель; г) хотя бы один из стрелков попал в цель.
288. На полке стоят 20 учебников, два из которых по математике. Наугад выбираются 4 учебника. Найти вероятность того, что хотя бы один из них – по математике.
289. Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих устройства. Вероятность того, что при аварии сработает первое устройство, равна 0,9, второе – 0,95, третье – 0,85. Найти вероятность того, что при аварии сработает: а) только одно устройство; б) только два устройства; в) все три устройства; г) хотя бы одно устройство.
290. На складе имеется 30 банок краски: 13 белой и 17 коричневой. Берутся подряд две банки. Найти вероятность того, что: а) первая банка с коричневой краской, вторая – с белой; б) обе банки с белой краской.
291. В строительной бригаде 20 маляров, 6 каменщиков, 4 сварщика. Вероятность выполнить разряд повышения квалификации таковы: для маляров – 0,9, для каменщиков – 0,8, для сварщиков – 0,75. Известно, что выбранный наудачу рабочий выполнил разряд. Рабочий какой профессии вероятнее всего выполнил разряд?
292. При перекладывании в урну тщательно перемешанных 20 шаров, из которых 12 белых и 8 красных, один шар неизвестного цвета затерялся. Из оставшихся 19 шаров наудачу извлекают один шар. Какова вероятность того, что он окажется белым?
293. Три группы образцов, находящихся в разных ящиках, проверяются на предел выносливости. В первой группе из 4-х стальных образцов испытание выдержали 3 образца. Во второй группе из 3-х железных образцов испытание выдержали 2 образца. В третьей группе из 4-х алюминиевых образцов испытание выдержали 2 образца. Найти вероятность того, что взятый наудачу образец выдержал испытание на предел выносливости.
294. В двух ящиках имеются радиолампы. В первом содержится 10 ламп, из них три нестандартных, во втором 15 ламп, из них две нестандартных. Из первого ящика наудачу взяты две лампы и переложены во второй. Найти вероятность того, что наудачу извлечённая лампа из второго ящика будет стандартной.
295. Три автомата штампуют одинаковые детали, которые поступают на конвейер. Производительности первого, второго и третьего автоматов относятся как 2:3:5. Вероятности изготовления бракованной детали этими автоматами равны, соответственно, 0,05; 0,1 и 0,2. С конвейера случайно взяли деталь. Найти вероятность того, что она не является бракованной.
296. Вероятности выхода из строя первой, второй, третьей цементообжиговых печей равны, соответственно, 0,1; 0,2 и 0,3. Вероятность невыполнения плана цехом при выходе из строя первой печи равна 0,25, второй – 0,6, третьей – 0,9. Найти вероятность того, что цех выполнит план, при условии выхода из строя одной печи.
297. 30% приборов собирали рабочие первого участка автозавода, 70% приборов – рабочие второго участка. Надёжность приборов, собранных рабочими первого участка, 0,9; второго – 0,8. Наудачу взятый прибор оказался надёжным. Найти вероятность того, что он изготовлен рабочими первого участка.
298. Испытываются на прочность железобетонные перекрытия. 30% из них сделано из цемента первого сорта, 70% – из цемента второго сорта. Надёжность перекрытия, сделанного из цемента первого сорта, равна 0,9; из цемента второго сорта – 0,8. При испытании перекрытие оказалось надёжным. Найти вероятность того, что оно сделано из цемента первого сорта.
299. На сборку автомашины поступают детали с трёх конвейеров. С первого конвейера в среднем поступает 20% брака, со второго – 15%, с третьего – 25% брака. С наудачу выбранного конвейера случайно берут одну деталь. Найти вероятность того, что она бракованная.
300. На фабрике, изготовляющей болты, первая машина производит 25% всех изделий, вторая 35% и третья – 40%. Брак в их продукции составляет, соответственно: 5%, 4% и 2%. Вся продукция поступает на конвейер, с которого взяли случайно один болт, оказавшийся бракованным. Какова вероятность того, что он был изготовлен первой машиной?
301. В цехе находятся три независимо работающих станка. Вероятность поломки каждого из них в течение смены равна 0,1. Найти вероятность того, что в течение смены из строя выйдут два станка. Построить закон распределения числа сломанных за смену станков. Найти математическое ожидание и дисперсию числа вышедших из строя станков.
302. Испытывается станок, в котором три малонадёжные детали. Вероятности отказа для этих деталей независимы и равны, соответственно: р1 = 0,3, р2 = 0,6, р3 = 0,4. Найти математическое ожидание и дисперсию числа отказавших деталей.
303. Из урны, содержащей 4 белых и 6 чёрных шаров, случайным образом и без возвращения извлекаются три шара. Случайная величина Х – число белых шаров в выборке. Найти закон распределения, М(Х) и D(Х) этой случайной величины.
304. Два стрелка независимо друг от друга делают по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,5, для второго – 0,6. Случайная величина Х – суммарное число попаданий в мишень в данном эксперименте. Составить закон распределения данной случайной величины и найти М(Х) и D(Х).
305. В партии из шести деталей имеется четыре стандартных. Наудачу отобраны три детали. Составить закон распределения случайной величины Х – числа стандартных деталей среди отобранных. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.
306. В лаборатории проводится измерение индуктивности катушек. Вероятность того, что опытные данные совпадут с теоретическими, равна 0,75. Составить ряд распределения числа катушек, прошедших испытание, если испытанию подвергнуты четыре катушки. Найти математическое ожидание и дисперсию числа катушек, прошедших испытание.
307. В партии из 10 тракторов имеется 8 гусеничных. Наудачу из партии выбраны два трактора. Составить закон распределения числа гусеничных тракторов среди отобранных. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
308. На пути движения автомашины четыре светофора. Каждый из них с вероятностью 0,5 либо разрешает, либо запрещает автомашине дальнейшее движение. Построить закон распределения и многоугольник распределения вероятностей случайной величины Х – числа светофоров, пройденных машиной без остановки. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
309. Наблюдениями установлено, что в некоторой местности в сентябре бывает в среднем 12 дождливых дней. Какова вероятность того, что из случайно взятых в этом месяце 8 дней три дня окажутся дождливыми?
310. Для данного баскетболиста вероятность забросить мяч в корзину при броске равна 0,4. Произведено три броска. Построить ряд распределения случайной величины Х – числа попаданий мячом в корзину при трёх бросках. Найти наивероятнейшее число попаданий мячом в корзину и его вероятность, М(Х) и D(Х).
311 – 320. Случайная величина Х задана интегральной функцией распределения F(х).
Найти: а) плотность распределения вероятностей; б) определить математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х; в) вероятность попадания случайной величины в интервал (a; b).
311. F(х) = 
(a; b) = (3; 3,5).
312. F(х) = 
(a; b) = (0; 0,5).
313. F(х) = 
(a; b) = (0,5; 1).
314. F(х) = 
(a; b) = 
.
315. F(х) = 
(a; b) = (0,25; 0,75).
316. F(х) = 
(a; b) = (1,5; 1,75).
317. F(х) = 
(a; b) = (1/3; 1/2).
318. F(х) = 
(a; b) = (1,5; 2).
319. F(х) = 
(a; b) = (1; 2).
320. F(х) = 
(a; b) = (0,5; 1).
Литература
1. Данко П. Е., Попов А. Г. Высшая школа в упражнениях и задачах. - М.: Высшая школа. Ч. 2. 1980.
2. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учеб. Пособие – 12-е изд., перераб. – М.: Высшее образование, 2006.
3. Агафонова В. Н. Высшая математика в задачах Ряды. - Курган: КГУ, 2004.
4. https://mathprofi.ru/