Тригонометрические уравнения

Методическое пособие

По решению задания №13

По математике

Елпанова А.Е.

Советы от автора при решении №13:

Если сомневаешься в формуле, то пользуйся справочными материалами.

2) В идеале необходимо привести к одному аргументу или свести к виду «произведение равно нулю», к квадратному уравнению в тригонометрии, к одному основанию, к удобной замене в смешанных уравнениях. Ни в коем случае нельзя делить на то, что равняется нулю!

3) Нужно помнить об ограничения! Их необходимо записывать в первую очередь и не забывать к ним возвратиться.

Записывай целые числа в связках корней разными буквами, не упусти логику решения.

5) Решай как тебе удобно – окружностью, неравенством – главное правильно!

Помни, что интервал всегда идет от меньшего угла к большему, в сторону возрастания угла.

№13 включает в себя:

Тригонометрические уравнения
Тригонометрические уравнения с ОДЗ
Уравнения смешанного типа
Логарифмические уравнения
Показательные уравнения
Иррациональные уравнения
Рациональные уравнения

Тригонометрические уравнения

Алгебраический метод.

Замена переменной и сведение к квадратному уравнению

Это универсальный способ. Применяется в любых уравнениях — степенных, показательных, тригонометрических, логарифмических, каких угодно. Замена не всегда видна сразу, и уравнение нужно сначала преобразовать.

Рассмотрим уравнение:

Преобразуем его, применив основное тригонометрическое тождество:

Заменяя sin x на t, приходим к квадратному уравнению:

Решая его, получим:

Теперь вспоминаем, что мы обозначили за t. Первый корень приводит нас к уравнению . Оно не имеет решений, поскольку
Второй корень даёт простейшее уравнение

Решаем его: Это и есть ответ.

Разложение на множители.

Очень хорошо, если уравнение удаётся представить в таком виде, что в левой части стоит произведение двух или нескольких множителей, а в правой части — ноль. Произведение двух или нескольких множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Сложное уравнение, таким образом, распадается в совокупность более простых.

Начнём с уравнения

Применяем формулу синуса двойного угла:

Ни в коем случае не сокращайте на косинус! Ведь может случиться, что cos x обратится в нуль, и мы потеряем целую серию решений. Переносим всё в одну часть, и общий множитель — за скобки:

Полученное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

и
Решаем каждое из них и берём объединение множества решений.

Ответ:

Решить уравнение: cos ² x + sin x · cos x = 1.

cos ² x + sin x · cos x – sin ² x – cos ² x = 0,

sin x · cos x – sin ² x = 0,

sin x · (cos x – sin x) = 0,

Ответ: х1=Пk; х2=П/4 + Пn

Решить уравнение: cos 2 x – cos 8 x + cos 6 x = 1.

cos 2 x + cos 6 x = 1 + cos 8 x,

2 cos 4 x cos 2 x = 2 cos ² 4 x,

cos 4 x · (cos 2 x – cos 4 x) = 0,

cos 4 x · 2 sin 3 x · sin x = 0,

1). cos 4 x = 0, 2). sin 3 x = 0, 3). sin x = 0,

Ответ: х1=П/8 + Пk/4; х2=Пn/3; х3=Пm

Приведение к однородному уравнению.

Уравнение называется однородным относительно sin и cos, если все его члены одной и той же степени относительно sin и cos одного и того же угла. Чтобы решить однородное уравнение, необходимо:

а) перенести все его члены в левую часть;

б) вынести все общие множители за скобки;

в) приравнять все множители и скобки нулю;

г) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на cos (или sin) в старшей степени;

д) решить полученное алгебраическое уравнение относительно tg.

Решить уравнение: 3sin ² x + 4 sin x · cos x + 5 cos ² x = 2.

3sin ² x + 4 sin x · cos x + 5 cos ² x = 2sin ² x + 2cos ² x,

sin ² x + 4 sin x · cos x + 3 cos ² x = 0,

tan ² x + 4 tan x + 3 = 0, отсюда y ² + 4 y +3 = 0,

корни этого уравнения: y ₁ = -1, y ₂ = -3, отсюда

1) tan x = –1, 2) tan x = –3,

Ответ: х1= -П/4 + Пk; х2= -arctg 3 +Пn

Введение дополнительного угла.

Этот метод применяется для уравнений вида: a sin x + b cos x = c,

где a, b, c – коэффициенты; x – неизвестное.

Он присутствует в школьных учебниках. Правда, в них рассматриваются только частные случаи — когда числа a и b являются значениями синуса и косинуса углов в 30°, 45° или 60°.