Лекция 15. Производная.
Понятие производной.
Пусть функция 
определена в некоторой окрестности точки 
. Дадим аргументу некоторое приращение 
(положительное или отрицательное). Тогда функция получит приращение 
. Рассмотрим отношение 
.
Определение 15.1. Конечный предел отношения приращения 
функции к приращению аргумента при условии 
называется производной функции 
в точке .
Этот предел обозначается символом 
:
. (15.1)
Наряду с обозначением производной 
в произвольной точке x употребляются и другие обозначения: 
, 
, 
.
Конкретные значения производной при 
обозначаются через 
, , 
.
Формулу (15.1) можно записать в виде
. (15.2)
J Пример 15.1. 
. J
Геометрическая интерпретация производной.
Пусть на плоскости xOy задана кривая, описываемая уравнением . Проведём касательную к кривой в точке 
. Возьмём на кривой точку M1 и проведём секущую M0M1 (рис. 15.1). При изменении точки M1 положение секущей будет меняться.
| Рис. 15.1. |
Определение 15.2. Если при стремлении точки 
к фиксированной точке 
секущая 
не зависимо от способа стремления точки к точке стремится к одному и тому же предельному положению, то прямая, являющаяся этим предельным положением, называется касательной к кривой в точке .
Получим уравнение этой касательной. Обозначим координаты точки M1 через 
и пусть 
– угол наклона секущей к оси Ox. Тогда (см. рис. 15.1) угловой коэффициент секущей M0M1 равен
. (15.3)
Если же устремить точку M1 к точке M0, то есть устремить к нулю, то в случае существования производной 
угол будет стремиться к некоторому пределу 
, где 
. Следовательно, прямая, составляющая с положительным направлением оси Ox угол и проходящая через точку M0 и будет касательной. Её угловой коэффициент 
.
Запишем уравнение касательной к графику в точке :
. (15.4)
Определение 15.3. Прямая называется перпендикулярной к кривой в точке , если она перпендикулярна касательной к кривой в точке . Эта прямая называется также нормалью к этой кривой.
Угловой коэффициент нормали к кривой в точке M0 
при 
, и уравнение нормали к графику функции, проходящему через точку запишется в следующем виде:
. (15.5)
Если 
, то уравнение нормали 
.
☼ Замечание 15.1. Если в точке 
и 
, то касательная к кривой в точке существует, она вертикальна и её уравнение . Уравнение соответствующей нормали 
.☼
Физический смысл производной.
1) Пусть задан закон движения точки 
. Средняя скорость движения 
. Мгновенная скорость движения 
.
Среднее ускорение движения 
. Мгновенное ускорение движения 
.
2) Сила тока в момент времени t: 
, где 
– количество электричества.
3) 
– количество вещества, вступающего в химическую реакцию за время t. Скорость химической реакции в момент времени t: 
.
4) 
– масса неоднородного стержня между точками 
и 
. Линейная плотность стержня в точке x есть 
.
5) Барометрическая формула (зависимость атмосферного давления от высоты над уровнем моря).
|  – давление воздуха на высоте h
 – давление воздуха на высоте 
 – плотность воздуха на высоте h
 , 
|
С учётом закона Менделеева-Клапейрона 
(
– количество вещества, m – масса воздуха, M – молярная масса воздуха, R – универсальная газовая постоянная), получаем 
. Обозначая 
, получаем далее:
, 
, 
.
Так как производные равны, то 
, где 
– давление воздуха на уровне моря. Окончательно, барометрическая формула выглядит как
.