Основные сведения о матрицах
Матрицейразмера называется прямоугольная таблица чисел, содержащая т строк и п столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.
Для обозначения матриц используются прописные латинские буквы, например, А, В, С,..., а для обозначения их элементов - соответствующие строчные буквы с двойной индексацией: , где i - номер строки, j - номер столбца.
Общий вид матрицы размерности следующий:
(1)
или, в сокращенной записи, ; ;
Например,
.
Наряду с круглыми скобками используются и другие обозначения матрицы: , .
Две матрицы A и В одинаковой размерности называются равными, если они совпадают поэлементно, т.е. для любых ;
Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей (вектором)-строкой,а из одного столбца - матрицей (вектором)-столбцом: - матрица-строка;
.
Определение. Матрица называется квадратной n -го порядка (), если число ее строк равно числу столбцов и равно п.
Элементы матрицы , у которых номер столбца равен номеру строки (i=j), называются диагональными и образуют главную диагональ матрицы. Для квадратной матрицы главную диагональ образуют элементы , , …, .
Если все недиагональные элементы квадратной матрицы равны нулю, то матрица называется диагональной.
Если у диагональной матрицы n -го порядка все диагональные элементы равны единице, то матрица называется единичной матрицей n -го порядка, она обозначается .
Матрица любого размера называется нулевой, если все ее элементы равны нулю:
Операции над матрицами
1. Умножение матрицы на число.
Произведением матрицы на число называется матрица , каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента матрицы на число , т.е. для ; .
Следствие. Общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы.
В частности, произведение матрицы А на число 0 есть нулевая матрица, т.е .
2. Сложение матриц.
Суммой двух матриц и одинакового размера называется матрица , каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц и , т.е. для ; (т.е. матрицы складываются поэлементно).
3. Вычитание матриц.
Разность двух матриц одинакового размера определяется через предыдущие операции: .
Умножение матриц.
Произведение матриц и определено, когда число столбцов матрицы равно числу матрицы . Произведением матриц называетсятакая матрица , каждый элемент которой равен суммепроизведений элементов -й строки матрицы на соответствующие элементы -го столбца матрицы : , ; .
(Иными словами, матрицы умножаются строка на столбец).
Операции над матрицами обладают следующими свойствами:
1) ;
2) ;
3) .
4) ;
5) ;
6) ;
7) .
Однако имеются и специфические свойства матриц. Так, операция умножения матриц имеет некоторые отличия от умножения чисел:
а) Если произведение матриц существует, то после перестановки сомножителей местами произведения матриц может и не существовать.
б) Если даже произведения и существуют, то они могут быть матрицами разных размеров.
в) В случае, когда оба произведения и существуют и оба - матрицы одинакового размера (это возможно только при умножении квадратных матриц и одного порядка), коммутативный (переместительный) закон умножения, вообще говоря, не выполняется, т.е. .
В частном случае коммутативным законом обладает произведение любой квадратной матрицы -го порядка на единичную матрицу того же порядка, причем это произведение равно :
Таким образом, единичная матрица играет при умножении матриц ту же роль, что и число 1 при умножении чисел.
г) Произведение двух ненулевых матриц может равняться нулевой матрице, т.е. из того, что , не следует, что или .
5. Возведение в степень. Целой положительной степенью квадратной матрицы называется произведение матриц, равных , т.е.
.
Заметим, что операция возведения в степень определена только для квадратных матриц. Полагают , . Нетрудно показать, что , . Если , то это не означает, что матрица .
6. Транспонирование матрицы - переход от матрицы к матрице , в которой строки и столбцы поменяны местами с сохранением порядка. Матрица называется транспонированной относительно матрицы :
, . (2)
Из определения следует, что если матрица имеет размер , то транспонированная матрица имеет размер .
Свойства операции транспонирования:
1)
2)
3)
4) .
Определители квадратных матриц
Определитель квадратной матрицы – это число, характеризующего эту матрицу. Он обозначается или .
Определителем матрицы первого порядка , или определителем первого порядка, называется число, определяемое по формуле: .
Например, пусть , тогда .
Определителем матрицы второго порядка , или определителем второго порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:
(3).
Произведения и называются членами определителя второго порядка.
Пусть дана квадратная матрица третьего порядка:
.
Определителем матрицы третьего порядка, или определителем третьего порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:
(4).
Это число представляет алгебраическую сумму, состоящую из 6 слагаемых, или 6 членов определителя. В каждое слагаемое входит ровно по одному элементу из каждой строки и каждого столбца матрицы. Знаки, с которыми члены определителя входят в формулу (4), легко запомнить, пользуясь схемой (рис. 1), которая называется правилом Сарруса.
Для того чтобы ввести понятие определителя более высокого порядка, потребуются некоторые дополнительные понятия.
Рассмотрим квадратную матрицу n-го порядка:
.
Из общего числа элементов этой матрицы выберем набор, содержащий n элементов, таким образом, чтобы в него входило по одному элементу из каждой строки и каждого столбца. Например, наборы элементов или соответствуют главной и побочной диагоналям матрицы.
Любой такой набор можно упорядочить, записав сначала элемент из 1-й строки, затем из 2-й и т.д., т.е.
. (5)
Номера столбцов образуют при этом перестановку J из n чисел: 1, 2,..., n. Всего существует различных перестановок из n.
Введем понятие беспорядка, или инверсии, в перестановке J. Это наличие пары чисел, в которой большее число предшествует меньшему. Например, в перестановке из трех чисел J =(2; 1; 3) имеется одна инверсия (2; 1), а в перестановке J =(3; 2; 1) - три: (3; 2), (3; 1), (2; 1). Обозначим через r(J) количество инверсий в перестановке J.
Возвращаясь к наборам (5) из элементов матрицы А, мы можем каждому такому набору поставить в соответствие произведение его элементов:
. (6)
и число r(J), равное количеству инверсий в перестановке из номеров соответствующих столбцов.
Определителемквадратной матрицы п-го порядка, или определителем п-го порядка, называется число, равное алгебраической сумме членов, каждый из которых является произведением п элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, причем знак каждого члена определяется как где r(J) - число инверсий в перестановке J из номеров столбцов элементов матрицы, если при этом номера строк записаны в порядке возрастания:
(7)
где сумма берется по всем перестановкам J.
Заметим, что с ростом n резко увеличивается число членов определителя (), поэтому даже для n = 4 использование формулы (7) весьма трудоемко (получим 24 слагаемых).
На практике при вычислении определителей высоких порядков используют другие формулы. Для их рассмотрения необходимо ввести новые понятия.
Пусть дана квадратная матрица А n -го порядка.
Минором элемента матрицы n -го порядка называется определитель матрицы (n-1)-го порядка, полученной из матрицы А вычеркиванием i -й строки и j- гo столбца.
Каждая матрица n -го порядка имеет миноров (n-1)-го порядка. Алгебраическим дополнением элемента матрицы n -го порядка называется его минор, взятый со знаком :
, (8)
т.е. алгебраическое дополнение совпадает с минором, когда сумма номеров строки и столбца (i+j) - четное число, и отличается от минора знаком, когда (i+j) - нечетное число.
Для вычисления определителей квадратных матриц удобно пользоваться следующей теоремой:
Теорема Лапласа (частный случай). Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения:
(9)
(разложение по элементам i -й строки; i = 1,2,… n;
(10)
(разложение по элементам j -го столбца; j =1,2,..., n).
Таким образом, применение теоремы Лапласа позволяет свести вычисление определителей n- гопорядка к вычислению более простых определителей (n- 1)-го порядка.
Свойства определителей
1. Если какая-либо строка (столбец) матрицы состоит из одних нулей, то ее определитель равен 0.
2. Если все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы умножить на число , то ее определитель умножится на это число .
Замечание. За знак определителя можно выносить общий множитель элементов любой строки или столбца в отличие от матрицы, за знак которой можно выносить общий множитель лишь всех ее элементов.
3. При транспонировании матрицы ее определитель не изменявется: .
4. При перестановке двух строк (столбцов) матрицы ее определитель меняет знак на противоположный.
5. Если квадратная матрица содержит две одинаковые строки {столбца), то ее определитель равен 0.
6. Если элементы двух строк {столбцов) матрицы пропорциональны, то ее определитель равен 0.
6. Сумма произведений элементов какой-либо строки {столбца) матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки{столбца) этой матрицы равна 0, т.е.
при . (11)
Замечание. Объединяя результат теоремы Лапласа и свойство 7, получаем:
. (12)
7. Определитель матрицы не изменится, если к элементам какой-либо строки {столбца) матрицы прибавить элементы другой строки {столбца), предварительно умноженные на одно и то же число.
9. Сумма произведений произвольных чисел на алгебраические дополнения элементов любой строки (столбца) равна определителю матрицы, полученной из данной заменой элементов этой строки (столбца) на числа .
10. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей: , где ; А и В - матрицы п-го порядка.
Замечание. Из свойства 10 следует, что даже если , то .
Перечисленные свойства определителей позволяют существенно упростить их вычисление, особенно для определителей высоких порядков. При вычислении определителей целесообразно так преобразовать исходную матрицу с помощью свойств 1-9, чтобы преобразованная матрица имела строку (или столбец), содержащую как можно больше нулей, а потом найти определитель разложением по этой строке (столбцу).
Обратная матрица
Матрица называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица:
(13)
Из определения следует, что только квадратная матрица имеет обратную; в этом случае и обратная матрица является квадратной того же порядка.
Для существования матрицы таким условием является требование .
Если определитель матрицы отличен от нуля (), то такая квадратная матрица называется невырожденной, или неособенной; в противном случае (при ) - вырожденной, или особенной.
Теорема (необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы). Обратная матрица существует (и единственна) тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденная.
Пусть . Рассмотрим квадратную матрицу n -го порядка , называемую присоединенной, элементы которой являются алгебраическими дополнениями элементов матрицы АT, транспонированной к А: , , .
Тогда обратную матрицу определяют как
(), (14)
Алгоритм вычисления обратной матрицы:
1. Находим определитель исходной матрицы. Если , то матрица А - вырожденная и обратной матрицы не существует. Если , то матрица А - невырожденная и обратная матрица существует.
2. Находим матрицу , транспонированную к А.
3. Находим алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы и составляем из них присоединенную матрицу : (; ).
4. Вычисляем обратную матрицу по формуле (1.14).
Для невырожденных матриц выполняются следующие свойства:
1.
2.
3.
4.
5. .
Ранг матрицы
В матрице А размера вычеркиванием каких-либо строк и столбцов можно вычленить квадратные подматрицы k -го порядка, где . Определители таких подматриц называются минорами k-го порядка матрицы А.
Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.
Ранг матрицы А обозначается rang А, или r(А).
Из определения следует:
а) ранг матрицы не превосходит меньшего из ее размеров, т.е. ;
б) тогда и только тогда, когда все элементы матрицы равны нулю, т.е. ;
в) для квадратной матрицы n -го порядка тогда и только тогда, когда матрица невырожденная.
В общем случае определение ранга матрицы перебором всех миноров достаточно трудоемко. Для облегчения этой задачи используются преобразования, сохраняющие ранг матрицы.
Назовем элементарными преобразованиями матрицы следующие:
1) Отбрасывание нулевой строки (столбца).
2) Умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на число, не равное нулю.
3) Изменение порядка строк (столбцов) матрицы.
4) Прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число.
5) Транспонирование матрицы.
Теорема. Ранг матрицы не изменяется при ее элементарных преобразованиях.
С помощью элементарных преобразований можно привести матрицу к так называемому ступенчатому виду, когда вычисление ее ранга не представляет труда.
Матрица А называется ступенчатой, если она имеет вид:
, (15)
где , ; .
Замечание. Условие всегда может быть достигнуто транспонированием матрицы.
Очевидно, что ранг ступенчатой матрицы равен r так как имеется минор r- гопорядка, не равный нулю:
,
Для рангов матриц справедливы следующие соотношения:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) , если В - квадратная матрица и ;
6) ,где п - число столбцов матрицы А или строк матрицы В.
В матрице А обозначим ее строки следующим образом:
; , … .
Две строки матрицы называются равными, если равны их соответствующие элементы:
, если , .
Арифметические операции над строками матрицы (умножение строки на число, сложение строк) вводятся как операции, проводимые поэлементно:
;
.
Строка е называется линейной комбинацией строк матрицы, если она равна сумме произведений этих строк на произвольные действительные числа:
, (16)
где - любые числа.
Строки матрицы называются линейно зависимыми, если существуют такие числа , не равные одновременно нулю, что линейная комбинация строк матрицы равна нулевой строке:
, (17)
где .
Линейная зависимость строк матрицы означает, что хотя бы дна строка матрицы является линейной комбинацией остальных.
Если линейная комбинация строк (17) равна нулю тогда и только тогда, когда все коэффициенты равны нулю, т.е. , то строки называются линейно независимыми.
Теорема о ранге матрицы. Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк или столбцов, через которые линейно выражаются все остальные ее строки {столбцы). Их называют базисными.
Теорема о ранге матрицы играет принципиальную роль в матричном анализе, в частности при исследовании систем линейных уравнений.