Раздел «Ряды»
Напоминание: Весь раздел «Ряды» состоит из 3-х частей:
1. «Числовые ряды. Признаки сходимости» (было в 1 семестре)
2. «Функциональные ряды. Степенные ряды» (практ. занятия 1, 2, 3)
3. «Функциональные ряды. Ряды Фурье» (будет позднее, в конце семестра)
******************************************************************
Практическое занятие № 3 (дистанционно)
Тема:«Функциональные ряды. Степенные ряды»
Что используем:
Ø Записи лекций, материалы практических занятий 1-2 по теме.
Ø Сборник инд. заданий по математике А.П. Рябушко и др., ч. 3, гл.12.
Ø Другие доступные источники (учебники, интернет и т.д.)
Что должны знать:
v Перечень вопросов к тесту, вопросов к экзамену и типовых задач будет выслан позднее.
Как организуем работу:
v Материалы для работы на практическое занятие № 3 см. в этом файле.
v Инструктаж по выполнению дом. задания ДЗ-3 см. в специальном файле.
v План-график всех дальнейших занятий с указанием всех видов занятий, заданий для самостоятельной работы и сроков их выполнения будет выслан в ближайшее время.
**************************************************************************
Материалы и задания для работы на
Практическое занятие № 3
Берём за основу задания из таблицы, высланные вам ранее для дом.заданий:
| Стр. Тема | Теория | Примеры | дляДЗ | №№ | |
| ... | ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ с.18 Степенные ряды | п.12.2 Равномерно сходящиеся ряды. Область и радиус R сходимости ст. ряда. | 2-5 | АЗ-12.3 | № 1(б,г). С/р № 3.1. |
| 1 2 | с.22 Разложение функций в степенные ряды. | п.12.3 Формулы Тейлора, Маклорена. Разложение в ряд ОСНОВНЫХ элемент. функций(с.25) | ПР 1-2, Пр-ры на с.26 (перед пр 4), ПР 4. Пример 5 | АЗ-12.4 | № 1, 3(б), с/р № 1.1, № 1.2. |
| 3 | с.28 Приближённые вычисления с помощью степенных рядов | п.12.4 Приближённое значение функции Приближённые вычисления интегралов | ПР 1*-2* ПР 3,4 ПР 5 -6 | АЗ-12.5 | С/р № 1.1, № 2.1. № 2г), С/р № 3.1 |
| 4 | с.31 Приближённое решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов | п.12.4 Разложение в степенной ряд решения дифференциального уравнения при заданных начальных условиях | ПР 7 (ДУ 1пор.) ПР 8 (ДУ 2пор.) | АЗ-12.5 | С/р № 3.2, № 2.2. |
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. Степенные ряды
Разложение ОСНОВНЫХ функций в степенные ряды.
а) Выпишите на отдельный разворот тетрадного листа формулы разложения ОСНОВНЫХ функций в степенной ряд (формулы 1-6 из лекции), а также частные случаи для биномиального ряда 4.1, 4.2, 4.3.
б) Самостоятельно, по аналогии со случаями 4.1-4.3, получите формулу 4.4 для функции у=(1+х)1/3 (задание с лекции) и дополните ваш список ОСНОВНЫХ разложений функций в ряд.
в) Пользуясь способом вывода формулы разложения в степенной ряд функции
y=ln (1+x) (см. лекцию №2 от 13.03.20), вывести формулу разложения в степенной ряд функции y=arctg x. (СМ. п.12.3, пример 5, Сб. Рябушко). Запишите вывод в рабочую тетрадь.
Вопросы для поиска плана решения:
1) Чему равна производная этой функции?
2) С помощью какой ОСНОВНОЙ функции можно разложить в ряд эту производную?
3) Запишите производную функции y=arctg x через переменную t.
4) Разложите производную в ряд. Каков интервал сходимости этого ряда?
5) С помощью какого интеграла от функции с переменной t можно получить функцию y=arctg x? Убедитесь в этом.
6) Найдите этот интеграл как интеграл от суммы ряда. Какое свойство равномерно сходящихся рядов в области сходимости используется при этом?
7) Установите область сходимости полученного ряда для функции y=arctg x, исходя из области сходимости ряда для её производной. Какова теоретическая основа для этого вывода?
г)* Запишите в список разложения ОСНОВНЫХ функций в степенной ряд разложение в ряд для функции y=arcsin x, используя любые источники (учебники, интернет и т.д.).
Разложение различных функций в степенной ряд по формулам Тейлора и Маклорена.
а) Изучите материалы лекций и СБ. Рябушко (п.12.3. Формулы и ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функций в степенные ряды);
б) познакомьтесь с примерами разложения функций в ряды, а именно:
пр.1-2, пр.4
и примерами трёх функций, помещёнными перед примером 4 (СБ. п.12.3.с. 24-26)
ПРИМЕЧАНИЕ: примеры из текста можно записывать в тетрадь по желанию;
обязательно записывать в тетрадь те примеры, которые выделены в таблице и в этом тексте тёмно-красным цветом. В п. 12.3 – это Пример 5.
в) В ДЗ-3 выполните дом задания: АЗ-12.4 № 1, 3(б), с/р № 1.1, 1.2.
(СМ. Инструктаж по выполнению дом. задания ДЗ-3)
Применение степенных рядов.
Приближённые вычисления с помощью степенных рядов
а) Изучите материалы лекций и СБ. Рябушко (п.12.4, со с.28.);
б) познакомьтесь с примерами приближённых вычислений значений функций с помощью степенных рядов, а именно: ПР 3,4; ПР 1*-2*(для повышенной отметки)
в) познакомьтесь с примерами приближённых вычислений интегралов с помощью степенных рядов, а именно: ПР 5 -6 (СБ. п.12.3.с. 30-31)
г) В ДЗ-3 выполните дом задания:
АЗ-12.5 С/р № 1.1, № 2.1; № 2г), С/р № 3.1
(СМ. Инструктаж по выполнению дом. задания ДЗ-3)
Применение степенных рядов.
Приближённое решение дифференциальных уравнений.
а) Изучите материалы лекций и СБ. Рябушко (п.12.4, со с.31.);
б) познакомьтесь с примерами разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения при заданных начальных условиях, а именно:
ПР 7 (ДУ 1пор.)
ПР 8 (ДУ 2пор.)
в) В ДЗ-3 выполните дом задания:
АЗ-12.5, С/р № 3.2, № 2.2.
(СМ. Инструктаж по выполнению дом. задания ДЗ-3)