Представление информации в цифровой форме

Импульсной и цифровой техникой называют отрасль радиоэлектроники, использующую импульсные и цифровые схемы для решения широкого круга практических задач.

Преобразование аналогового сигнала в цифровую форму включает три этапа:

‒ дискретизацию по времени;

‒ квантование по уровню;

‒ присвоение квантованным значениям двоичного кода (кодирование).

В основе дискретизации лежит теорема Котельникова.

Теорема. Непрерывный аналоговый сигнал, ограниченный по спектру, может быть представлен последовательностью коротких импульсов (выборок), амплитуда которых повторяет огибающую аналогового сигнала, а частота их следования должна быть минимум в 2 раза больше верхней частоты в спектре исходного сигнала.

Таким образом, частота дискретизации должна удовлетворять следующему неравенству (условие теоремы Котельникова):

,

(1)

где ‒ верхняя частота в спектре аналогового сигнала

Данное условие, экспериментально найденное Найквистом, было строго обосновано В. А. Котельниковым. При выполнении указанного неравенства исходный аналоговый сигнал может быть восстановлен из дискретного без искажений с помощью фильтра нижних частот (ФНЧ).

Рассмотрим процесс дискретизации и условия возникновения искажений при восстановлении аналогового сигнала со спектральной точки зрения. Пусть спектр исходного сигнала занимает полосу частот от 0 до . В результате выполнения дискретизации в спектре полученного сигнала будут присутствовать составляющие исходного спектра аналогового сигнала и побочные составляющие, которые совпадают по форме с исходным спектром и располагаются симметрично относительно частот , , и т.д.

Пример 1. Выполним дискретизацию аналогового сигнала приведенного на рис. 1, с частотой превышающей в 10 раз наивысшую частоту в спектре исходного сигнала. Аналоговый сигнал представляет собой сумму постоянной составляющей и гармоники с частотой равной 50 Гц.

Согласно условиям задачи, выбираем частоту дискретизации равную 500 Гц. Полученный дискретный сигнал приведен на рис. 2.

Рис. 1. Временная диаграмма аналогового сигнала

Рис. 2. Временная диаграмма дискретного сигнала

Пример 2. Построим спектры аналогового и дискретного сигналов, приведенных на рис. 1 и 2 соответственно.

На рис. 4 приведен спектр аналогового сигнала, а на рис. 5 – дискретного.

Рис. 4. Спектр исходного аналогового сигнала

Рис. 5. Спектр дискретного сигнала

При выполнении условия теоремы Котельникова частотные составляющие исходного спектра сигнала не пересекается с побочными составляющими, которые возникли при дискретизации, поэтому можно выделить исходный сигнал без искажений.

Если условие теоремы Котельникова не выполняется, то в таком случае спектр исходного сигнала перекрывается со спектром хотя бы одной из побочных составляющих. В результате при восстановлении сигнала возникнут необратимые искажения.

На практике частота дискретизации обычно выбирается больше чем в 2 раза (сверхдискретизация), что позволяет применять более простые ФНЧ для восстановления исходного сигнала.

Для представления дискретных отсчетов сигнала двоичным кодом их предварительно квантуют по уровню. В процессе квантования весь диапазон возможных изменений амплитуд аналогового сигнала от минимального до максимального значений разбивается на конечное число уровней напряжения (уровней квантования ). Величина, равная интервалу между соседними уровнями квантования называется шагом квантования Δ.

Общее число уровней квантования определяется из следующего выражения:

,

(2)

где k – разрядность двоичного кода, которым будет закодирован каждый дискретный отсчет.

Различают равномерное и неравномерное квантование. В первом случае шаг квантования является постоянной величиной, а во втором ‒ переменной. При равномерном квантовании значение одного шага квантования связано с числом разрядов двоичного кода формулой:

(3)

В процессе квантования каждому дискретному отсчету присваивается значение ближайшего к нему уровня со шкалы квантования. В результате может возникнуть ошибка квантования (шум квантования), представляющая собой разность между квантованным и истинным значением сигнала. Шум квантования оказывает на процесс передачи информации, по существу, такое же влияние, как и помехи в канале связи.

При равномерном квантовании шум квантования является одинаковой величиной для всех амплитуд сигнала. Следовательно, отношение сигнал/шум для сигналов с малой амплитудой будет хуже, чем для больших амплитуд, что в свою очередь влияет на качество. Данная проблема может быть решена посредством использования неравномерного квантования, когда меньшие уровни сигнал квантуются с меньшим шагом, а большие уровни – большим. На рис. 6 приведена структура неравномерного квантования.

Рис. 6. Структура неравномерного квантования

В блоке 1 выполняется сжатие входного сигнала, который затем подается на равномерный квантователь (блок 2). Характеристика сжатия является логарифмической функцией, она позволяет устранить нежелательную зависимость отношения сигнал/шум от уровня входного сигнала. Для расширения сигнала он пропускается через устройство (блок 3) с проходной характеристикой, обратной к устройству сжатия. Пара преобразований сигнала – сжатие и расширение – называется компандированием.

После квантования выполняется кодирование квантованных уровней сигнала путем присвоения двоичного кода каждому уровню. Таким образом, аналоговый сигнал представляется последовательностью двоичных чисел (цифровой код), соответствующих величине сигнала в определенные моменты времени. Преобразование аналогового сигнала в цифровой код называется импульсно-кодовой модуляцией (ИКМ).

Пример 3. Выполним равномерное квантование дискретного сигнала, приведенного на рис. 2, с последующим кодированием квантованных значений трехразрядным двоичным кодом (k=3). Пусть диапазон возможных изменений амплитуды сигнала составляетот 0 до 2 В.

Согласно выражению (2), получаем число уровней квантование равное N _кв = 8. Разобьем диапазон изменения амплитуды сигнала на восемь уровней, как показано на рис. 7.

Рис. 7. Квантование дискретного сигнала

Каждому отсчету дискретного сигнала присвоим со шкалы квантования ближайший к нему номер и отобразим полученные значения на временной диаграмме. Далее выполним кодирование полученных квантованных значений сигнала трехразрядным двоичным кодом. Результаты кодирования сведем в таблицу 1.

Таблица 1

Результаты кодирования аналогового сигнала

Зная частоту дискретизации и разрядность двоичного кода k, определяем скорость передачи цифровой информации [8]:

(4)

Из выражения (4) следует, что увеличение частоты дискретизации или разрядности двоичного кода приводит к росту скорости передачи информации.

Длительность одного бита информации τ определяется следующим образом:

(5)

Чем выше скорость передачи информации, тем меньше длительность бита, а, следовательно, шире полоса частот, занимаемая цифровым сигналом.

Пример 4. Рассчитаем скорость передачи двоичного кода, полученного в предыдущем примере, и вычислим длительность бита информации.

Для частоты дискретизации сигнала и разрядности двоичного кода k = 3, скорость передачи равна

а длительность бита

Преобразование аналоговых сигналов в цифровую форму осуществляется с помощью аналого-цифровых преобразователей (АЦП), а обратное преобразование ‒ с помощью цифроаналоговых преобразователей (ЦАП).