ВЫСКАЗЫВАНИЕ - это повествовательное предложение, о котором можно сказать, что оно или истинно или ложно. Не всякое предложение является высказыванием.
1) Восклицательные и вопросительные предложения высказываниями не являются.
- «Какого цвета этот дом?»
- «Пейте томатный сок!»
- «Стоп!»
2) Не являются высказываниями и определения.
«Назовем медианой отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны».
Определения не бывают истинными или ложными, они лишь фиксируют принятое использование терминов.
3) Не являются высказываниями и предложения типа «Он сероглаз» или «х- 4х + 3=0» - в них не указано, о каком человеке идет речь или для какого числа х верно равенство. Такие предложения называются высказывательными формами.
• Высказывательная форма - это повествовательное предложение, которое прямо или косвенно содержит хотя бы одну переменную и становится высказыванием, когда все переменные замещаются своими значениями.
Составьте сложное высказывание, используя простые:
А=«Сейчас идет дождь»
В=«Форточка открыта» с помощью логических связок
1. A и B
2. A или не B
3. если A, то B
4. не A и B
5. A тогда и только тогда, когда B
Ответ:
1.Сейчас идет дождь и открыта форточка.
2. Сейчас идет дождь или форточка закрыта.
3. Если сейчас идет дождь, то форточка открыта.
4. Сейчас нет дождя и форточка открыта.
5. Дождь идет тогда и только тогда, когда открыта форточка.
В алгебре высказываний, как и в обычной алгебре, вводится ряд операций. Логические связки И, ИЛИ и НЕ заменяются логическими операциями: конъюнкцией, дизъюнкцией и инверсией. Это основные логические операции, при помощи которых можно записать любую логическую функцию. Логическое умножение (конъюнкция) образуется соединением двух (или более) высказываний в одно с помощью союза «и». Логическое сложение (дизъюнкция) образуется соединением двух (или более) высказываний в одно с помощью союза «или». Логическое отрицание (инверсия) образуется из высказывания с помощью добавления частицы «не» к сказуемому или использования оборота речи «неверно, что…». Логическое следование (импликация) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «если…, то…».
Укажите, какие из высказываний истинны, какие – ложны, а какие относятся к числу тех, истинность которых трудно или невозможно установить:
1. Солнце есть спутник Земли
2. 2+3=4
3. Сегодня отличная погода
4. В романе Л.Н. Толстого «Война и мир» 3 432 536 слов
5. Санкт–Петербург расположен на Неве
6. Музыка Баха слишком сложна
7. Первая космическая скорость равна 7.8 км/сек
8. Железо – металл
9. Если один угол в треугольнике прямой, то треугольник будет тупоугольным
10. Если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей, то он прямоугольный
Ответ:
Являются высказываниями: 1–л, 5–и, 8–и, 9–л, 10–и; 4, 7(где л- ложь, и – истина)
Не являются высказываниями: 2; 3; 6.
Истинность трудно установить: 4;
Можно рассматривать и как истинное, и как ложное (в зависимости от требуемой точности представления): 7
Запишите рядом с высказыванием его вид (общее, частное, единичное):
1.Некоторые мои друзья собирают марки.
2.Все лекарства неприятны на вкус.
3.Некоторые лекарства приятны на вкус.
4.Я — последняя буква в алфавите.
Ответ:
1,3 – частные высказывания;
2 – общее высказывание
4 – частное высказывание
Алгоритм построения таблицы истинности:
1. подсчитать количество переменных n в логическом выражении;
2. определить число строк в таблице по формуле m=2n, где n – количество переменных;
3. подсчитать количество логических операций в формуле;
4. установить последовательность выполнения логических операций с учетом скобок и приоритетов;
5. определить количество столбцов: число переменных + число операций;
6. выписать наборы входных переменных;
7. провести заполнение таблицы истинности по столбцам, выполняя логические операции в соответствии с установленной в пункте 4 последовательностью.
Заполнение таблицы:
1. разделить колонку значений первой переменной пополам и заполнить верхнюю часть «0», а нижнюю «1»;
2. разделить колонку значений второй переменной на четыре части и заполнить каждую четверть чередующимися группами «0» и «1», начиная с группы «0»;
3. продолжать деление колонок значений последующих переменных на 8, 16 и т.д. частей и заполнение их группами «0» или «1» до тех пор, пока группы «0» и «1» не будут состоять из одного символа.
Пример. Определите истинность логического выражения F(А, В) = (А\/ В)/\(А\/В).
1. В выражении две переменные А и В (n=2).
2. mстрок=2n, m=22=4 строки.
3. В формуле 5 логических операций.
4. Расставляем порядок действий
1) А\/ В; 2) А; 3) В; 4) А\/В; 5) (А\/ В)/\(А\/В).
5. Кстолбцов=n+5=2+5=7 столбцов.
| А | В | А\/ В | А | В | А\/В | F |
Вывод: логическое выражение принимает значение истина при наборах F(0,1)=1 и F(1,0)=1.
Разнообразие логических задач очень велико. Способов их решения тоже немало. Но наибольшее распространение получили следующие три способа решения логических задач:
- средствами алгебры логики;
- табличный;
- с помощью рассуждений.
Познакомимся с ними поочередно.