Числовые последовательности. Предел числовой последовательности.
Числовая последовательность – это функция переменной n, которая принадлежит множеству натуральных чисел N.
Существованием функции, по которой можно вычислить любой член последовательности, она и отличается от случайного набора чисел.
Обычно последовательность обозначают буквой x, хотя можно применять и другие.
Различают:
постоянную, или монотонную последовательность: 1, 1, 1, 1, 1...
возрастающую последовательность, в которой каждый следующий элемент больше предыдущего
убывающую последовательность, в которой каждый следующий элемент меньше предыдущего
Также последовательности делятся на сходящиеся и расходящиеся. Сходящаяся последовательность имеет конечный предел. А предел расходящейся последовательности равен бесконечности, либо последовательность вообще не имеет предела.
Примеры последовательности:
Арифметическая прогрессия
Посмотрим на числа:
Что у них общего? Они все нечетные и каждое следующее можно получить из предыдущего, прибавляя к нему одно и то же число. Назовем его d. В данном случае d =2.
Описанная выше последовательность – арифметическая прогрессия. Приведем основные формулы для нее:
Элемент a с номером n называется общим членом последовательности. А число d – разностью афифметической прогрессии.
Сумма первых n членов прогрессии вычисляется по формуле:
Также африфметическая прогрессия обладает характреристическим свойством:
Геометрическая прогрессия
Геометрической прогрессией называется последовательность чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число q – знаменатель прогрессии. Элементы геометрической прогрессии задаются соотношением:
Основные формулы для геометрической прогрессии приведены ниже. Формула n -го члена прогрессии:
Сумма первых n членов прогрессии:
Характеристическое свойство геометрической прогрессии:
Последовательности делятся на сходящиеся и расходящиеся. Сходящаяся последовательность имеет конечный предел. А предел расходящейся последовательности равен бесконечности, либо последовательность вообще не имеет предела. Но о пределах немного позже.
Предел последовательности – это такой объект, к которому стремятся члены последовательности с ростом порядкового номера n.
Скажем иначе. Это число, в окрестности которого лежат все члены последовательности, начиная с некоторого.
Переменная n в последовательностях всегда стремится к бесконечности, в сторону увеличения натуральных чисел.
Что нужно помнить, вычисляя пределы последовательностей
1. Последовательность может иметь только один предел.
2. Если последовательность имеет предел, то она ограничена. Обратное верно не всегда!
3. Если члены некоторой последовательности zn заключены между соответствующими членами двух последовательностей xn, yn, сходящихся к одному пределу, то и эта последовательность сходится к тому же пределу.
4. Предел постоянной последовательности равен ее постоянному.
5. Если две последовательности x и y равны между собой, то пределы этих последовательностей также равны между собой, если они существуют.
6. Если каждый член сходящейся последовательности не превосходит соответствующего члена другой сходящейся последовательности, то и предел первой не превосходит предела второй.
7. Предел суммы (разности) двух последовательностей равен сумме (разности) их пределов. При условии, что обе последовательности имеют пределы.
8. Предел произведения двух последовательностей, имеющих пределы, существует и равен произведению пределов последовательностей.
9. Постоянный множитель можно выносить за знак предела.
10. Предел частного двух последовательностей, имеющих пределы, равен частному пределов этих последовательностей, если предел знаменателя не равен нулю.