Практическое занятие №10.. Краткие теоретические сведения.

Практическое занятие №10.

Тема «Нахождение производных функций в точке а по заданной табличной функции y = f (x) методом численного дифференцирования».

Цели. Научиться вычислять по табличным данным приближенно производные функций в точке а с использованием вычислительной техники.

Краткие теоретические сведения.

Конечный набор формул и правил дифференцирования являет собой точный метод решения. Потребность в приближенных методах возникает, например, когда нахождение точных производных требует сложных выкладок, а результат содержит громоздкие выражения, или когда надо найти производную табличной функции с неизвестным аналитическим выражением.

Пусть функция y = f (x) задана на некотором отрезке и имеет таблицу значений в точках a = x₀ < x₁ <…< x_n = b.

Табл. 1

Численным дифференцированием можно решать задачи двух видов:

1. Найти численное значение производной k- го порядка функции f в точке .

2. Найти таблично заданную функцию, являющуюся приближением к производной на отрезке .

Первая задача основная, так как после определения аргументов вторая сводится к первой. По этой причине будем заниматься только вычислением приближенных значений производных в точках и оценкой их погрешностей.

Будем считать, что функция f имеет таблицу значений с постоянным шагом h (таблица 1). Приближение ее производится первым интерполяционным многочленом Ньютона :

, (1)

где .

Узлы интерполирования выбираем таким образом, чтобы точка х, где вычисляются производные, находилась между узлами х₀ и х₁. Продифференцируем левую и правую части равенства (1) получим

. (2)

Если производная вычисляется в табличном аргументе, выбираем его в качестве начального узла. Тогда х = х_0, t = 0, и формула (2) упрощается:

(3)

Полученные соотношения позволяют достаточно легко вычислять приближенные значения производной первого порядка.

Замечание. Δy₀, Δ²y₀, Δ³y₀,… – конечные разности соответственно первого, второго, третьего и так далее порядков. Конечные разности первого порядка – это разности между соседними табличными значениями:

Разности второго порядка:

,

и т. д. Формула для конечных разностей k-го порядка (k > 1): .

Конечные разности удобно располагать в форме таблиц.

Табл. 2

При этом будет допущена погрешность .

Задания для самостоятельной работы.

Дана таблица значений функции f: f(x) = е^х - sin x с верными цифрами:

	f (x)		f (x)		f (x)		f (x)
		0,4	1,1024	0,8	1,5082	1,2	2,3881
0,1	1,0053	0,5	1,1693	0,9	1,6763	1,3	2,7057
0,2	1,0227	0,6	1,2575	1,0	1,8768	1,4	3,0696
0,3	1,0543	0,7	1,3695	1,1	2,1130	1,5	3,4842

1. Вычислите приближенное значение производной функции f(x) = е^х - sin x с помощью формулы

,

где .

2. Вычислите точное значение производной данной функции в точке а с максимальной точностью, которая возможна при используемых вычислительных средствах.

3. Сравните полученные разными способами результаты. Все исходные данные а считаются точными числами.

Данные значений а по вариантам (все исходные данные а считаются точными числами):

Контрольные вопросы.

1. Когда возникает задача приближенного вычисления производных?

2. В чем суть метода приближенного вычисления производных?

3. Как находят конечные разности?

4. По какой формуле находят производные функции, если производная вычисляется в табличном аргументе?

5. По каким формулам вычисляется погрешность вычисления?