Практическое занятие № 1.
Тема «Действия над комплексными числами в алгебраической, тригонометрической и показательной формах».
Цели: научиться выполнять действия над комплексными числами в алгебраической, тригонометрической и показательной формах, научиться переходить от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической, показательной и обратно.
Литература
И.И. Валуце, Г.Д. Дилигул. Математика для техникумов.- М. Наука, 1990г.
гл.3 
параграфы 12-17.
Н.В.Богомолов. Практические занятия по математике.- М. «Высшая школа» Краткие теоретические сведения
Комплексным числом называется выражение а+bi где а и b – действительные числа. а i – некоторый символ. 
Определение 1. Cуммой комплексных чисел z1=а+bi и z2=с+di называется комплексное число (а+c)+(b+d)i т.е. z1+z2=(а+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i/
Пример 1. Найти сумму комплексных чисел z1 = 2 + (-1)i и z2 = (-1) + 3i.
z1+z2 = (2 + (-1)i) + ((-1) + 3i) = (2 + (-1)) + ((-1) + 3)i = 1 + 2i.
Определение 2. Разностью комплексных чисел z1 = а + bi и z2 = c + di называется число z =x + yi, которое удовлетворяет равенству z2 + z = z1 или 
, отсюда 
Пример 2. Найти разность комплексных чисел 
и 
Определение 3. Произведением комплексных чисел 
и 
называется комплексное число 
,
т.е. 
Пример 3. Найти произведение комплексных чисел 
и 
Определение 4. Частным комплексных чисел и 
называется комплексное число 
, которое удовлетворяет равенству 
или
Если 
то число 
называют сопряженным
числу 
Пример 4. Вычислить 
.
Умножим числитель и знаменатель дроби на 
, число сопряженное 
, имеем
Пример 5. Решить уравнение 
Определение 5. Модулем комплексного числа 
называется длина (модуль) соответствующего вектора 
.
Определение 6. Аргументом комплексного числа 
называется величина любого направленного угла, образованного положительным направлением действительной оси и вектором, соответствующему числу Аргумент числа 
обозначается символом 
или одной буквой 
Аргумент комплексного числа находится из условия 
(1)
Пример 6. Найти аргумент числа 
Найдем модуль комплексного числа 
По формулам (1) имеем 
, так 
>0 и 
, то аргумент числа равен 
, т.е. 
.
Для определения аргумента комплексного числа часто сначала находят наименьший неотрицательный угол, удовлетворяющий вспомогательному уравнению, и с учетом квадранта, в котором находится точка , определяют значение аргумента 
, если находится в первом квадранте, то 
, если во втором, то 
, если в третьем, то 
, если в четвертом, то 
.
Пример 7. Найти модуль и аргумент комплексного числа 
Имеем 
, для данного числа получим вспомогательное уравнение 
. Так находится во втором квадранте, то 
.
Из (1) имеем 
Следовательно 
(2) Полученное выражение 
называется 
Пример 8. Записать числа из примеров 6 и 7 в тригонометрической форме. Подставляя в (2) полученные значения 
и 
, будем иметь
, 
.
Тригонометрическая форма комплексного числа удобна для выполнения операций умножения и связанных с нею операций деления, возведения в степень и извлечения корня. Если 
то
Если 
,то 
= 
, 
Пример 9. Умножить числа 
.
Пример 10. Даны комплексные числа 
.
Найти частное 
Пример 11. Вычислить 
.
Найдем тригонометрическую форму числа 
, 
, т.к. - угол первой четверти, то 
, следовательно
, тогда 
Пример 12. Вычислить 
Найдем тригонометрическую форму числа 
, 
,
т.к. 
,то - угол четвертой четверти, т.е. 
. Имеем
, тогда 
, где 
Тогда получим
Выражение 
называется формулой Эйлера. Пусть дано комплексное число
Заменяя по формуле Эйлера 
получим 
. Полученная форма комплексного числа называется 
Показательная форма комплексного числа удобна для выполнения ряда операций над комплексными числами.
Приведенные выше формулы умножения, деления, возведения в степень, извлечения корня записываются следующим образом. Пусть 
Тогда
. Пусть 
; тогда 
; 
где 
Пример 13. Найти показательную форму комплексного числа 
(см. пример 11), следовательно, 
Пример 14. Найти алгебраическую форму числа 
Имеем 
Пример 15. Найти произведение 
и частное 
комплексных чисел 
и результат записать в тригонометрической форме.
.
Пример 16. Вычислить а) 
; б) 
, где 
, и результат представить в алгебраической форме.
а) 
б) 
Задания для самостоятельной работы.
1. Решите квадратное уравнение, изобразите его решения на комплексной плоскости:
1.1 
1.11 
1.21 
1.2 
1.12 
1.22 
1.3 
. 1.13 
. 1.23 
1.4 
1.14 
1.24 
1.5 
. 1.15 
1.25 
1.6 
. 1.16 
1.26 
1.7 
1.17 
1.27 
1.8 
1.18 
1.28 
1.9 
1.19 
1.29 
1.10 
1.20 
1.30 
2. Найти сумму, разность, произведение и частное комплексных чисел 
и 
, если:
2.1 
; 
. 2.11 
; . 2.21 
; 
.
2.2 
; 
. 2.12 
; 
. 2.22 ; 
.
2.3 
; 
; 2.13 
; 
. 2.23 
; 
.
2.4 
; 
. 2.14 
; 
. 2.24 
; 
.
2.5 
; 
. 2.15 
; .2.25 
; 
.
2.6 
; 
. 2.16 
; 
. 2.26 
; 
.
2.7 
; 
. 2.17 
; 
. 2.27 ; 
.
2.8 
; 
. 2.18 
; 
. 2.28 
;. 
2.9 
; 
. 2.19 ; 
. 2.29 
; 
.
2.10 
; 
. 2.20 
; 
. 3.30 
; 
.
3. Выполните действия над комплексными числами и ответ запишите в алгебраической и показательной формах.
3.1 
. 3.11 
3.21 
3.2 
3.12 
3.22 
3.3 
3.13 
. 3.23 
3.4 
3.14 
3.24 
3.5 
3.15 
3.25 
3.6 
3.16 
3.26 
3.7 
3.17 
3.27 
3.8 
3.18 
3.28 
3.9 
3.19 
3.29 
3.10 
3.20 
3.30 
.
4. Извлеките корни:
4.1 
4.11 
4.21 
4.2 
4.12 
. 4.22 
4.3 
. 4.13 
. 4.23 
4.4 
4.14 
. 4.24 
4.5 
4.15 
4.25 
4.6 
4.16 
. 4.26 
.
4.7 
4.17 
4.27 
4.8 
4.18 
4.28 
4.9 
4.19 4.29 
4.10 
4.20 
4.30 
5. Выполните действия над комплексными числами:
5.1 
. 5.11 
5.21 
5.2 
. 5.12 
5.22 
.
5.3 
. 5.13 
5.23 
5.4 
. 5.14 
5.24 
5.5 
. 5.15 
5.25 
5.6 
. 5.16 
5.26 
5.7 
. 5.17 
5.27 
5.8 
5.18 
5.28 
5.9 
5.19 
5.29 
5.10 
5.20 
5.30 
Контрольные вопросы.
1. Как определяется равенство комплексных чисел?
2. Как производится сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел?
3. Какими свойствами обладают сложение и умножение комплексных чисел?
4. Всякие ли два комплексных числа можно перемножить, разделить?
5. Укажите числа, квадрат которых равен отрицательному числу?
6. Какие числа называют чисто мнимыми?
7. Какие числа называют сопряженными числами?
8. Могут ли числа, 
и 
быть корнями какого-нибудь квадратного уравнения с действительными коэффициентами?
9. Как записываются комплексные числа в тригонометрической форме?
10. Запишите формулу Эйлера.
11. Как записываются комплексные числа в показательной форме?
12. Сформулируйте правила умножения, деления, возведения в степень, извлечение корня для комплексных чисел, записанных в тригонометрической и показательной формах?
13. Как определяется комплексная степень числа е? Каковы ее свойства?
14. Укажите на комплексной плоскости точки, соответствующие числам 
.