Практическое занятие №3.

 

Тема «Интегрирование простейших функций (вычисление определенных и неопределенных интегралов), вычисление площадей плоских фигур, решение прикладных задач».

 

Цели: научиться: вычислять неопределенные и определенные интегралы, площади плоских фигур; решать прикладные задачи.

 

Краткие теоретические сведения.

Определение. Дифференцируемая функция , определенная на некотором промежутке Х, называется для функции , определенной на этом же промежутке, если для всех Х из этого промежутка

Теорема. Если функция есть первообразная для функции на некотором промежутке , то функция , где - произвольная постоянная, также является первообразной для функции на этом же промежутке.

Определение. Совокупность всех первообразных для функции , определенных на некотором промежутке , называется неопределенным интегралом от функции на этом промежутке и обозначается символом (читается: интеграл эф от икс де икс).

Если является первообразной для функции на промежутке , то .

Функция называется подынтегральной функцией, - подынтегральным выражением, - переменной интегрирования, символ - знаком неопределенного интеграла, - постоянной интегрирования.

Основные свойства неопределенного интеграла.

1) Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.

2) Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению.

3) Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная.

4) Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

5) Интеграл от суммы непрерывных функций равен сумме интегралов слагаемых.

Таблица основных интегралов.

1. при .

2. . 3. . 4. .

5. . 6. . 7. .

8. . 9. . 10. .

11. . 12. . 13. .

 

14. . 15. . 16. .

17. .18. . 19. 20. .

21. .

При вычислении интегралов, кроме формул интегрирования и основных свойств неопределенного интеграла, полезно применять следующее правило.

.

Методы интегрирования.

1) Непосредственное интегрирование.

Под непосредственным интегрированием понимают такой способ интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам.

Пример 1.Найти .

Используем свойства 5) и 4):

= .

Далее, используя соответственно формулы 4), 1), 2), 8) таблицы основных интегралов, находим:

.

Пример 2. Вычислить интеграл .

Интеграл табличный. Поэтому можно переходить к непосредственному интегрированию. По формуле 18), где , получим

.

Пример 3. Вычислить интеграл .

Интеграл не табличный, поэтому преобразуем его. Так как , то интеграл можно записать в виде

.

Применим свойство 5), имеем

.

Получили два табличных интеграла. По формулам 5) и 6) находим

.

Пример 4. Вычислить интеграл .

Так как , то

.

По формулам 1) и 8) получим

 

.

Пример 5. Вычислить интеграл .

Предварительно числитель подынтегральной функции разделим на знаменатель, затем последовательно применим свойства 4), 5) и формулу 1), получим

 

= .

Пример 6. Вычислить интеграл .

Раскроем скобки и применим табличные интегралы 2) и 10).

 

 

.

Метод подстановки.

Во многих случаях введение новой переменной интегрирования позволяет свести нахождение данного интеграла к нахождению табличного интеграла, т. е. прейти к непосредственному интегрированию. Такой метод называется методом подстановки или методом замены переменной, который основан на применении формулы .

Пример 7. Вычислить интеграл .

Положим . Теперь переходим под знаком интеграла к новой переменной, берем получившийся интеграл и, наконец, возвращаемся к старой переменной. Получим .

Пример 8. Вычислить интеграл .

Положим ; тогда . Следовательно

. Заменим его выражением из подстановки, получим .

Пример 9. Вычислить интеграл .

Положим ; тогда . Следовательно . Перейдя к переменной , окончательно получим .

Пример 10. Вычислить интеграл .

Положим ; тогда , Следовательно =

. Перейдя к переменной , окончательно получим .

Пример 11. Вычислить интеграл .

 

Из квадратного трехчлена выделим полный квадрат суммы:

.

Положим ; тогда , Следовательно,

.

Пример 12. Вычислить интеграл .

 

Так как , то, положив ; , найдем . Следовательно,

Перейдем в полученном результате снова к переменной . Имеем . Так как , а , то . Таким образом

.

Интегрирование по частям.

Формулой интегрирования по частям в неопределенном интеграле называется формула

,

Где и - дифференцируемые функции от .

Пример 13. Вычислить интеграл .

Положим , . Тогда ; , . Тогда по формуле имеем . В интеграле положим

тогда . Значит . Перейдем к переменной . . Окончательно имеем .

Пример 14. Вычислить интеграл .

Положим , найдем .

По формуле получим .

Пример 15. Вычислить интеграл .

Положим . Тогда по формуле имеем

. В последнем интеграле положим ,

. Имеем -

-2 . Таким образом вычислен двукратным интегрированием по частям.

 

Определение. Приращение любой из первообразных функций при изменении аргумента от до называется определенным интегралом от до и обозначается (читается: «интеграл от до эф от икс де икс»). Числа и называются пределами интегрирования, - нижним, - верхним. Отрезок называется пределом интегрирования. Функция называется подынтегральной функцией, а переменная - переменной интегрирования.

Таким образом, по определению .

Это равенство называется формулой Ньютона-Лейбница.

Если интегрируемая на отрезке функция неотрицательна, то определенный интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции , осью абсцисс и прямыми и , т.е. . (1)

Основные свойства определенного интеграла.

1. По определению

2. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла, т.е.

.

3. Определенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме их интегралов т.е.

.

 

4. Каковы бы ни были числа имеет место равенство

. 5. Если функция неотрицательна на отрезке , где , то

 

Чтобы вычислить определенный интеграл , нужно:

1) Найти соответствующий неопределенный интеграл ;

2) В полученном выражении подставить вместо сначала верхний предел , а затем нижний предел , и из результата первой подстановки вычесть результат второй.

Коротко это правило записывается в виде формулы так:

.

Пример 15. Вычислить .

Методы вычисления определенного интеграла.

1. Вычисление определенного интеграла методом подстановки.

При вычислении определенного интеграла методом подстановки определенный интеграл преобразуется с помощью подстановки в определенный интеграл относительно новой переменной . При этом старые пределы интегрирования и заменяются соответственно новыми пределами интегрирования и , которые находятся из исходной подстановки.

Пример 16. Вычислить .

Положим , тогда . Найдем новые пределы интегрирования. Подставляя в соотношение значения и , соответственно получим . Следовательно,

.

2. Интегрирование по частям в определенном интеграле.

Если функции и и их производные и непрерывны в промежутке , то формула интегрирования по частям для определенного интеграла имеет вид

.

Пример 17. Вычислить .

Положим , тогда . Следовательно,

.

Вычисление площадей плоских фигур.

Площадь плоских фигур вычисляется по формуле (1).

Пример 18. Вычислить площадь фигуры, ограниченной

линиями .

Сделаем чертеж. Фигура, площадь которой нужно

определить, есть криволинейная трапеция, ограниченная

сверху кривой , снизу осью , а слева и справа

прямыми и , Поэтому для решения задачи применим формулу (1).

.

Если фигура ограничена графиками двух непрерывных на отрезке функций и и прямыми и , где и , то искомая площадь вычисляется по формуле . (2)

Пример 19. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями и .

Сделаем чертеж. Пределы интегрирования

найдем из уравнения , т.е.

, откуда или . Следовательно,

и . Так как на отрезке для

имеем , то по

формуле (2) находим

Применение определенного интеграла для решения физических и технических задач.

1) Вычисление пути, пройденного точкой.

Путь, пройденный точкой при неравномерном движении по прямой с переменной скоростью за промежуток времени от до , вычисляется по формуле . (3)

Пример 20. Скорость движения точки изменяется по закону . Найти путь, пройденный точкой за 10с от начала движения.

Согласно условию, . По формуле (3) находим

.

2) Вычисление работы силы.

Работа, произведенная переменной силой при перемещении по оси материальной точки от до , находится по формуле . (4)

Пример 21. Вычислить работу силы при сжатии пружины на 0,04м, если для сжатия ее на 0,01м нужна сила 10Н.

Для решения задачи на нахождение работы силы воспользуемся законом Гука: , Так как м при , то, подставляя эти значения в закон Гука получим , откуда . Подставляя в это же равенство значение находим , т.е. .

Искомую работу найдем по формуле (4), полагая , :

3) Вычисление силы давления жидкости.

Значение силы давления жидкости на горизонтальную площадку зависит от глубины погружения этой площадки. Сила давления на горизонтальную площадку вычисляется по формуле , где - плотность жидкости, - площадь площадки, - глубина погружения площадки. Если площадка, испытывающая давление, не горизонтальна, то давление на нее различно на разных глубинах, следовательно, сила давления на площадку есть функция глубины ее погружения .

 

Пример 22. Вычислить силу давления на вертикальный прямоугольный шлюз с основанием 20 м и высотой 5 м (уровень воды совпадает с верхним обрезом шлюза).

На глубине выделим горизонтальную полоску шириной . Сила давления на стенку шлюза есть функция от . Изменение глубины на малую величину вызывает изменение силы давления на малую величину . Продифференцировав переменную , получим приближенное значение приращения . Находим приближенное значение силы давления воды на эту полоску . Но . Интегрируя при изменении от 0 до 5, получим .

 

Задания для самостоятельной работы.

 

1. Найти интегралы.

1.1 а) ; б) ; в) .

1.2 а) ; б) ; в) .

1.3 а) ; б) ; в) .

1.4 а) ; б) ; в) .

1.5 а) ; б) ; б) .

1.6 а) ; б) ; в) .

1.7 а) ; б) ; в) .

1.8 а) ; б) ; в) .

1.9 а) ; б) ; в) .

1.10 а) ; б) ; в) .

 

1.11 а) ; б) ; в) .

1.12 а) ; б) ; в) .

1.13 а) ; б) ; в) .

1.14 а) ; б) ; в) .

1.15 а) ; б) ; в) ;

1.16 а) ; б) ; в) .

1.17 а) ; б) ; в) .

1.18 а) ; б) ; в) .

1.19 а) ; б) ; в) .

1.20 а) ; б) ; в) .

1.21 а) ; б) ; в) .

1.22 а) ; б) ; в) .

1.23 а) ; б) ; в) .

1.24 а) ; б) ; в) .

1.25 а) ; б) ; в) .

1.26 а) ; б) ; в) .

1.27 а) ; б) ; в) .

1.28 а) ; б) ; в) .

1.29 а) ; б) ; в) .

1.30 а) ; б) ; в) .

 

2. Вычислить площади фигур ограниченных линиями.

2.1 , ; 2.2 , ;

2.3 , ; 2.4 , ;

2.5 , ; 2.6 , .

2.7 ; 2.8 ; 2.9 .

2.10 ; 2.11 ; 2.12 ; 2.13 ;

2.14 ; 2.15 ; 2.16 ; 2.17 ;

2.18 ; 2.19 ; 2.20 ;

2.21 ; 2.22 ; 2.23 ;

2.24 ; 2.25 ;

2.26 ; 2.27 ; 2.28 ;

2.29 ; 2.30 .

3. Решите задачи.

3.1 Вычислите работу совершенную при сжатии пружины на 0, 04м, если для сжатия ее на 0, 01м нужна сила 20Н.

3.2 Скорость точки, движущейся прямолинейно, задана уравнением . Вычислить путь, пройденный точкой за четвертую секунду и путь, пройденный точкой до остановки.

3.3 Вычислить силу давления на вертикальную прямоугольную пластину с основанием 2м и высотой 4м. Уровень воды совпадает с верхним основанием пластины.

3.4 Пружина растянута на 0,02м под действием силы 60Н. Какую работу производит эта сила, растягивая пружину на 0,12м?

3.5 Скорость движения точки . Найдите: а) путь, пройденный точкой за третью секунду; б) путь, пройденный точкой до остановки.

3.6Цилиндрический стакан наполнен маслом. Вычислите силу давления масла на боковую поверхность стакана, если высота его , радиус его основания м, плотность масла .

3.7 Найти силу давления масла на квадратную вертикально расположенную пластинку со стороной 0,3м, если верхний край пластинки горизонтален и лежит на 0,5м ниже поверхности масла (Плотность масла 900кг/ ).

3.8 Прямоугольная пластинка размерами 6 4 погружена в воду так, что большая ее сторона лежит на поверхности воды, а меньшая занимает вертикальное положение. Найти силу давления воды на пластинку.

3.9 Найти путь , пройденный телом за 10 с после начала движения, если скорость тела задается формулой .

3.10 Какую работу нужно затратить, чтобы растянуть пружину на 4 см, если сила в 1 Н растягивает её на 2 см?

3.11 Материальная точка движется со скоростью, определяемой формулой . Найти путь, пройденный этой точкой с момента до момента .

3.12 Вычислить путь, пройденный свободно падающим телом за 14 с, если известно, что скорость свободного падения определяется формулой . Сопротивление воздуха не учитывается.

3.13 Вычислить работу, произведенную при сжатии пружины на 6 см, если для сжатия ее на 1см нужна сила в 1 Н.

3.14 Вычислить работу растяжения на 0,001 м медной проволоки длиной 1 м с радиусом сечения . Модуль упругости для меди 12 000 .

3.15 Скорость движения точки изменяется по закону . Найти путь пройденный точкой за 10 с от начала движения.

3.16 Пружина растягивается на 0,02 м под действием силы 100 Н. Какую производит эта сила, растягивая пружину на 0,12 м.

3.17 Вычислить силу давления воды на вертикальную прямоугольную стенку с основанием 2 м и высотой 6 м. Уровень воды совпадает с верхним обрезом стенки.

3.18 Под действием силы 80 Н пружина растягивается на 0,02 м. Первоначальная длина пружины равна 0,15 м. Какую работу надо совершить, чтобы растянуть ее до 0,2 м?

3.19 Скорость движения точки . Найдите ее путь за 2-ю секунду.

3.20 Скорость движения точки .Найдите путь, пройденный точкой от начала движения до ее полной остановки.

3.21 Скорость движения точки . Найдите путь пройденный точкой за 3 с от начала движения и за 3-ю секунду.

3.22 Для сжатия пружины на 0,03 м необходимо совершить работу 16 Дж. На какую длину можно сжать пружину, совершив работу в 144 Дж?

3.23 Два тела начали двигаться одновременно из одной точки в одном направлении по прямой. Первое тело движется со скоростью , второе – со скоростью . На каком расстоянии друг от друга они окажутся через 10 с?

3.24 Тело брошено с земли вертикально вверх со скоростью