1. Квадратичная модель: однофакторное ортогонализированное уравнение регрессии второго порядка, в котором все три фактора: 
ортогональны:
. (27)
2. Ортогонализация квадратичного фактора 
осуществляется с помощью ортогонализирующего коэффициента 
:
. (28)
3. М атрица планирования с числом опытов N с числом дублей n в каждом опыте, созданная для построения однофакторного уравнения регрессии первого порядка в полной мере выполняет свои функции и для построения однофакторного ортогонализированного уравнения регрессии второго порядка. Так как для построения однофакторного ортогонализированного уравнения регрессии второго порядка используются те же самые экспериментальные данные, что и для построения однофакторного уравнения регрессии первого порядка, то параметры 
одинаковы для обоих типов уравнений.
Кроме того, так как факторы Х 0, Х 1 и (
), необходимые для построения однофакторного ортогонализированного уравнения регрессии второго порядка ортогональны (
, 
, 
), то это позволяет рассчитать коэффициенты уравнения регрессии 
и дисперсии их значимости 
независимо друг от друга. Следовательно, уже рассчитанные параметры 
для однофакторного уравнения регрессии первого порядка без всяких изменений справедливы и для однофакторного ортогонализированного уравнения регрессии второго порядка. Для окончательного построения однофакторного ортогонализированного уравнения регрессии второго порядка следует рассчитать только те параметры, которые связаны с вновь введённым коэффициентом регрессии b 11.
4. Матрица моделирования для построения однофакторного ортогонализированного уравнения регрессии второго порядка отличается от матрицы моделирования для построения однофакторного уравнения регрессии первого порядка дополнительным столбцом фактора . Таблица матрицы моделирования в этом случае состоит из N опытов и включает в себя столбцы: N, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, значения которых позволяют провести обработку экспериментальных данных (расчёт квадратичного коэффициента уравнения регрессии 
и проверка его на значимость, проверка уравнения регрессии на адекватность, расчёт абсолютной погрешности и оптимизация в случае адекватности уравнения регрессии).
3.1. Квадратичный коэффициент b 11 однофакторного ортогонализированного уравнения регрессии второго порядка рассчитывается по формуле:
. (29)
3.2. Дисперсия значимости коэффициента b 11 однофакторного ортогонализированного уравнения регрессии второго порядка рассчитывается по формуле:
. (30)
3.3. Доверительный интервал коэффициента b 11 однофакторного ортогонализированного уравнения регрессии второго порядка рассчитывается критерию Стьюдента:
, (31)
где 
‑ табличное значение критерия Стьюдента при числе степеней свободы 
и доверительной вероятности р находится из таблицы Приложения 2.
3.4. Коэффициент b 11 однофакторного ортогонализированного уравнения регрессии второго порядка значим, если:
. (32)
3.5. Дисперсия адекватности 
однофакторного ортогонализированного уравнения регрессии второго порядка и число её степеней свободы 
рассчитываются по формулам:
, (33)
, (34)
где n – число дублей в каждом опыте; 
‑ остаточная сумма квадратов; 
‑ значение параметра Y, рассчитанное по однофакторному ортогонализированному уравнению регрессии второго порядка 
, в котором оставлены только значимые коэффициенты (
); N ‑ число опытов; В – число значимых коэффициентов однофакторного ортогонализированного уравнения регрессии второго порядка.
3.6. Адекватность однофакторного ортогонализированное уравнение регрессии второго порядка проверяется по критерию Фишера, точно так же, как и адекватность однофакторного уравнения регрессии первого порядка (см. уравнения (24) – (26)). Если полученное однофакторного ортогонализированное уравнение регрессии второго порядка неадекватно, следует перейти к построению однофакторного ортогонализированного уравнения регрессии третьего порядка.
4. Предельная абсолютная погрешность D Y (Х 1) параметра Y (Х 1), рассчитанного по однофакторному ортогонализированному уравнению регрессии второго порядка 
в случае его адекватности, определяется по формуле:
, (35)
где ‑ табличное значение критерия Стьюдента при числе степеней свободы и доверительной вероятности р находится из таблицы Приложения 2.
5. Параметр Y, описываемый однофакторным ортогонализированным уравнением регрессии второго порядка, всегда имеет экстремум: максимум, если 
, или минимум, если 
. Необходимое условие максимума (минимума) – это равенство нулю первой производной 
:
; откуда
. (36)
Натуральное значение фактора х 1 опт рассчитывают по уравнению (см. уравнение (2)):
. (37)
Максимум (минимум) параметра Y (Х 1 опт) рассчитывается по формуле:
. (38)
Предельная абсолютная погрешность 
рассчитывается по формуле (см. уравнение (35):
. (39)
6. Если полученное однофакторное ортогонализированное уравнение регрессии второго порядка неадекватно, следует перейти к построению однофакторного ортогонализированного уравнения регрессии третьего порядка.
Типовая задача
Цель типовой задачи: Освоить методы моделирования и оптимизации однофакторных стохастических систем.
Формулировка типовой задачи. Условия задачи полностью совпадают с условиями типовой задачи раздела 2.1. Исходные данные приведены в таблице 11. Так как полученное в разделе 2.1 однофакторное уравнение регрессии первого порядка неадекватно, то перейдём к построению однофакторного ортогонализированного уравнения регрессии второго порядка.
В связи с тем, что для построения однофакторного ортогонализированного уравнения регрессии второго порядка используются те же самые экспериментальные данные, которые были использованы для построения однофакторного уравнения регрессии первого порядка (тот же РСП, с тем же количеством опытов 
и числом их дублей 
), то рассчитанные по экспериментальным данным параметры 
остаются теми же самыми. Кроме того, так как многочлены Х 0, Х 1 и 
ортогональны, то и параметры уравнения регрессии второго порядка 
, остаются такими же и в уравнении регрессии первого порядка (см. раздел 2.1, Типовая задача, пп. 2 ‑ 6). Поэтому план решения задачи по построению однофакторного ортогонализированного уравнения регрессии второго порядка будет содержать только пункты, направленные на расчет дополнительных параметров, связанных с появлением ортогонализированного квадратичного многочлена .
План решения типовой задачи.
1. Внимательно прочитать условия задачи, осмыслить ее цель, выбрать параметры, которые следует рассчитать.
2. Используя план эксперимента РСП для и соответствующую ему матрицу моделирования (см. раздел 2.1, Типовая задача, пп. 3, 5, таблицы 12, 13) создать матрицу моделирования для построения однофакторного ортогонализированного уравнения регрессии второго порядка и рассчитать коэффициенты .
3. Произвести статистическую оценку качества полученного однофакторного уравнениярегрессии второго порядка: значимость регрессионного коэффициента 
на значимость по критерию Стьюдента, адекватность уравнения регрессии по критерию Фишера.
4. Провести оптимизацию изучаемого объекта.
5. По результатам моделирования и оптимизации изучаемого объекта сделать окончательный вывод.
Решение задачи согласно по намеченному плану.
1. Пункт выполнить самостоятельно.
2. Создадим матрицу моделирования для построения однофакторного ортогонализированного уравнения регрессии второго порядка (таблица 22).
2.1. Рассчитаем ортогонализирующий коэффициент 
для числа опытов :
.
2.2. Создадим столбец ортогонализированного многочлена () (внести в таблицу 22).
Например: 
.
Перенесем столбцы факторов 
из таблицы 12 в таблицу 22.
Таблица 22. ‑ Матрица моделирования для построения однофакторного
уравнения регрессии второго порядка и результаты обработки данных
| N | X 0 j | X 1 j | 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|
| – 1.0 | 0.50 | 74.10 | 74.10 | – 74.10 | 37.05 | 73.92 | 0.0324 | ||
| – 0.5 | ‑ 0.25 | 61.45 | 61.45 | –30.725 | ‑ 15.36 | 62.21 | 0.5776 | ||
| ‑ 0.50 | 57.00 | 57.00 | 0.00 | ‑ 28.50 | 55.87 | 1.2769 | |||
| 0.5 | ‑ 0.25 | 54.13 | 54.13 | 27.065 | ‑ 13.53 | 54.90 | 0.5929 | ||
| 1.0 | 0.50 | 59.48 | 59.48 | 59.48 | 29.74 | 59.30 | 0.0324 | ||
| 2.5 | 0.875 | 
| 306.2 | ‑ 18.28 | 9.394 | 
| ||
Уравнение адекватно
| 
| 61.24 | ‑ 7.312 | 10.74 | 
|
2.3. Убедимся в том, что факторы 
ортогональны многочлену (), то есть 
и 
:
,
.
2.4. Рассчитаем вспомогательную величину 
(результат внести в таблицу 22):
.
2.5. Вспомогательные величины 
и 
, а также значения 
перенесем из таблицы 13 в таблицу 22.
2.6. Рассчитаем регрессионный коэффициент для однофакторного ортогонализированного уравнения регрессии второго порядка .
Образуем столбец 
и рассчитаем вспомогательную сумму 
(результат расчета внести в таблицу 22):
.
Рассчитаем коэффициент :
.
4. Произведём статистическую оценку качества полученного однофакторного уравнениярегрессии второго порядка.
4.1. Проверим регрессионный коэффициент на значимость по критерию Стьюдента:
‑ рассчитаем дисперсию значимости 
(с учетом того, что 
):
,
.
‑ рассчитаем доверительный интервал коэффициента 
.
,
где 
‑ значение критерия Стьюдента при числе степеней свободы 
и доверительной вероятности 
выбирается из таблицы Приложения 2.
Следовательно, коэффициент значим, так как:
Вывод: все три коэффициента ортогонализированного однофакторного уравнения регрессии второго порядка значимы.
С учетом правил корректной записи результатов расчета (см. раздел 1.1, Кратко теория, п.4) запишем значение коэффициента (внести в таблицу 22):
4.2. Проверим однофакторное уравнение регрессии второго порядка на адекватность по критерию Фишера:
‑ рассчитаем столбец параметра в каждом опыте по однофакторному ортогонализированному уравнению регрессии второго порядка 
(результаты расчета внести в таблицу 22). Например:
.
‑ рассчитаем значения столбца (результаты расчета внести в таблицу 22). Например:
.
‑ рассчитаем остаточную сумму квадратов 
(результат расчёта внести в таблицу 22):
‑ рассчитаем дисперсию адекватности 
и число её степеней свободы f ад:
,
.
‑ рассчитаем экспериментальное значение критерия Фишера:
, так как 
;
‑ критическое значение критерия Фишера при числах степеней свободы 
, 
и доверительной вероятности р = 0.95 выберем из таблицы Приложения 4:
.
С учетом доверительных интервалов и правила округления коэффициенты 
запишем в следующем виде (раздел 1.1, Кратко теория, п. 4):
,
,
Вывод: Полученное однофакторное ортогонализированное уравнение регрессии второго порядка
адекватно, так как 
.
5. Проведем оптимизацию изучаемого объекта:
6.1. Параметр Y (Х 1) достигает минимум, так как 
. Необходимое условие минимума 
. Рассчитаем оптимальное значение фактора 
:
,
.
Оптимальное значение фактора 
равно:
.
6.2. Рассчитаем минимальное значение изучаемого параметра Y min:
6.3. Абсолютную 
и относительную погрешность 
параметра Y min, значение которого определили по однофакторному ортогонализированному уравнению регрессии второго порядка , рассчитаем по формулам:
кВтч/т.
.
С учетом правил округления результатов расчета (раздел 1.1, Кратко теория, п. 4) 
.
7. Окончательный вывод. О днофакторное ортогонализированное уравнение регрессии второго порядка со значимыми регрессионными коэффициентами адекватно описывает изучаемый объект. Минимальные энергозатраты при сушке зерна 
достигаются при температуре воздуха 
.