Магнитное поле на оси короткой катушки с током.

Теоретические основы лабораторной работы

Магнитное поле прямолинейного проводника с током.

Проводник, по которому протекает электрический ток, создает магнитное поле. Магнитное поле характеризуется вектором напряженности H (рис.2), который можно вычислить по формуле

H = òd H.

Cогласно закону Био-Савара-Лапласа,

,

где I – сила тока в проводнике, d l – вектор, имеющий длину элементарного отрезка проводника и направленный по направлению тока, r – радиус вектор, соединяющий элемент с рассматриваемой точкой P.

Рассмотрим магнитное поле, создаваемое прямолинейным проводником с током конечной длины (рис.3). Отдельные элементарные участки этого проводника создают поля d H, направленные в одну сторону (перпендикулярно плоскости чертежа), поэтому напряженность магнитного поля в точке P может быть найдена интегрированием:

Имеем l = r _o сtga, так что Кроме того, Поэтому

После интегрирования получим

, (1)

где r _o – кратчайшее расстояние от точки P до проводника с током, a₁ и a₂ - углы между крайними элементами проводника и соответствующими радиус-векторами PA и PB.

Если определять напряженность в точках, расположенных на перпендикуляре, восстановленном к середине проводника, то cosa₂ = cos(180° -a₁) = - cosa₁ и, следовательно,

(cosa₁ - cosa₂) = 2cosa₁ = . (2)

С учетом выражения (2) формулу (1) можно записать в виде

. (3)

Учитывая, что в настоящей работе длина проводника 2 b много больше расстояния r ₀ от проводника до точки наблюдения магнитного поля, формулу 3 можно записать в виде

(4)

Поэтому индукция магнитного поля рассчитывается по формуле:

, (5)

где m ₀ – магнитная постоянная, m – магнитная проницаемость среды (для воздуха m =1)

Магнитное поле на оси короткой катушки с током.

Проводник, по которому протекает электрический ток, создает магнитное поле которое характеризуется вектором напряженности H (рис.4). Напряженность магнитного поля подчиняется принципу суперпозиции

а, согласно закону Био-Савара-Лапласа,

, (6)

где I – сила тока в проводнике, d l – вектор, имеющий длину элементарного отрезка проводника и направленный по направлению тока, r – радиус вектор, соединяющий элемент с рассматриваемой точкой P.

Одной из часто встречающихся конфигурации проводников с током является виток в виде кольца радиуса R (рис.4,а). Магнитное поле такого тока в плоскости, проходящей через ось симметрии, имеет вид (см. рис.4,б). Поле в целом должно иметь вращательную симметрию относительно оси z (рис.4,б), а сами силовые линии должны быть симметричны относительно плоскости петли (плоскости xy). Поле в непосредственной близости от проводника будет напоминать поле вблизи длинного прямого провода, так как здесь влияние удаленных частей петли относительно невелико. На оси кругового тока поле направлено вдоль оси Z.

Вычислим напряженность магнитного поля на оси кольца в точке расположенной на расстоянии z от плоскости кольца. По формуле (6) достаточно вычислить z-компоненту вектора d H:

. (7)

Интегрируя по всему кольцу, получим òd l = 2p R. Поскольку, согласно теореме Пифагора r ² = R ² + z², то искомое поле в точке на оси по величине равно

. (8)

Направление вектора H может быть направлено по правилу правого винта.

В центре кольца z = 0 и формула (8) упрощается:

(9)

Нас интересует короткая катушка – цилиндрическая проволочная катушка, состоящая из N витков одинакового радиуса. Из-за осевой симметрии и в соответствии с принципом суперпозиции магнитное поле такой катушки на оси H представляет собой алгебраическую сумму полей отдельных витков H _i: . Таким образом, магнитное поле короткой катушки, содержащей N _к витков, в произвольной точке оси рассчитывается по формулам

, , (10)

где H – напряженность, B – индукция магнитного поля.