Статистика Бозе-Эйнштейна.

Модуль 2 Лекция 7

Элементы статистической термодинамики. Понятие фазового пространства. Микро и макро состояния системы. Различные виды статистик. Методы Больцмана, Бозе-Эйнштейна, Ферми-Дирака, Гиббса. Сумма по состояниям и термодинамические функции. Молекулярная спектроскопия. Колебательно-вращательное движение молекул и термодинамические функции.

Статистическая интерпретация энтропии

Классическая термодинамика рассматривает происходящие процессы безотносительно к внутреннему строению системы; поэтому в рамках классической термодинамики показать физический смысл энтропии невозможно. Для решения этой проблемы Л.Больцманом в теорию теплоты были введены статистические представления. Каждому состоянию системы приписывается термодинамическая вероятность (определяемая как число микросостояний, составляющих данное макросостояние системы), тем большая, чем более неупорядоченным или неопределенным является это состояние. Т.о., энтропия есть функция состояния, описывающая степень неупорядоченности системы. Количественная связь между энтропией S и термодинамической вероятностью W выражается формулой Больцмана:

(I.58)

С точки зрения статистической термодинамики второе начало термодинамики можно сформулировать следующим образом:

Система стремится самопроизвольно перейти в состояние с максимальной термодинамической вероятностью.

Статистическое толкование второго начала термодинамики придает энтропии конкретный физический смысл меры термодинамической вероятности состояния системы.

Статистика Бозе-Эйнштейна.

Квантовая статистика (бозе-статистика), применяемая к системам тождественных частиц с нулевым или целым спином (в единицах ). Предложена в 1924 Ш. Бозе (Sh. Bose) для фотонов и в том же году развита А. Эйнштейном (A. Einstein) применительно к молекулам идеального газа. Характерная особенность статистики Бозе - Эйнштейна заключается в том, что в одном и том же квантовом состоянии может находиться любое число частиц. В. Паули (W. Pauli) доказал (Паули теорема), что тип квантовой статистики однозначно связан со значением спина частиц, так что совокупности частиц с нулевым или целым спином (ядра с чётным числом нуклонов, фотоны, p -мезоны и другие так называемые бозоны) подчиняются Б-Э. статистике, а системы частиц с полуцелым спином (электроны, нуклоны, ядра с нечётным числом нуклонов и другие так называемые фермионы) подчиняются Ферми - Дирака статистике.

При квантовомеханич. описании состояние системы определяется волновой функцией, которая в случае тождественных частиц либо симметрична по отношению к перестановкам любой пары частиц (для частиц с целым спином), либо антисимметрична (для частиц с полуцелым спином). Для системы частиц, подчиняющихся статистике Бозе - Эйнштейна, состояния описываются симметричными функциями, что является другой эквивалентной формулировкой статистики Бозе - Эйнштейна. Подобные системы называются бозе-системами, например бозе-газ.

Для идеального бозе-газа в случае статистического равновесия (при температуре выше вырождения температуры) ср. число частиц в состоянии г определяется Бозе - Эйнштейна распределением

где - энергия частицы в состоянии Г (для частиц с импульсом р и массой т, равная ), T - абсолютной температуpa, - химический потенциал, определяемый из следующего условия: сумма всех должна быть равна полному числу частиц в системе. Химический потенциал бозе-газа не может быть положительным, иначе функция распределения частиц по энергиям была бы для некоторых состояний отрицательной, что невозможно по самому определению Для систем с переменным числом частиц . При , когда все малы, распределение Бозе - Эйнштейна переходит в распределение Болъцмана . При низких температуpax (ниже температуры вырождения бозе-газа) часть частиц переходит в состояние с нулевым импульсом и наступает конденсация Бозе - Эйнштейна.

Формула для следует из распределения Гиббса для идеального квантового газа с уровнями энергии где , согласно статистике Бозе - Эйнштейна, могут принимать лишь значения 0, 1, 2,....

Распределение Бозе - Эйнштейна можно получить и другим методом, если рассматривать статистически равновесное состояние квантового газа как наиболее вероятное состояние и с помощью комбинаторики, учитывая неразличимость частиц, найти термодинамическую вероятность (статистический вес) такого состояния, т.е. число способов реализации данного состояния газа и заданной энергией и числом частиц N. Для больших систем, когда N велико, уровни энергии расположены очень плотно и стремятся к непрерывному распределению при стремлении числа частиц и объёма системы к бесконечности. Пусть уровни сгруппированы по малым ячейкам, содержащим уровней в ячейке, число предполагается очень большим. Каждой i -й ячейке соответствует средняя энергия и число частиц . Состояние системы определяется набором чисел ,где -сумма по уровням ячейки. Для статистики Бозе - Эйнштейна атомы предполагаются неразличимыми и в каждой ячейке может находиться произвольное число частиц. Поэтому статистический вес равен числу различных распределений частиц по ячейкам:

он определяет вероятность распределения частиц по ячейкам. Энтропия такого состояния равна Наиболее вероятному состоянию отвечает максимум энтропии (при заданных ) и распределение Бозе - Эйнштейна . Энтропия идеального газа, подчиняющегося статистике Бозе - Эйнштейна, равна

Одним из применений статистики Бозе - Эйнштейна является теория теплоёмкости твёрдых тел. Тепловые колебания твердого тела описываются как возбуждения совокупности осцилляторов, соответствующих нормальным колебаниям кристаллической решётки. Возбуждённые состояния системы осцилляторов можно описывать как идеальный газ квазичастиц - фононов, подчиняющихся статистике Бозе - Эйнштейна. На основании этого представления удаётся правильно описать поведение твёрдых тел при низких температурах, в частности получить закон теплоёмкости Дебая. К важным приложениям статистики Бозе - Эйнштейна относится также теория излучения чёрного тела, опирающаяся на представление о квантах электро магнитного поля - фотонах. Последние подчиняются статистике Бозе - Эйнштейна: в этом случае , а ( - частота излучения). При этом распределение Бозе - Эйнштейна даёт закон излучения Планка для спектрального распределения энергии излучения абсолютного чёрного тела.

Статистика Бозе - Эйнштейна для системы взаимодействующих частиц основана на методе Гиббса для квантовых систем. Она может быть реализована, если известны квантовые уровни системы и поддаётся вычислению статистическая сумма

где суммирование ведётся по всем квантовым уровням системы для состояний, удовлетворяющих условиям квантовой симметрии. Последнее условие определяет тип квантовой статистики. Задача вычисления Z не сводится к простой комбинаторной задаче и очень сложна, если взаимодействие между частицами не мало. Её можно несколько упростить, если выразить гамильтониан системы в представлении вторичного квантования (в представлении чисел заполнения квантовых уровней) через операторы вторичного квантования , удовлетворяющие перестановочным соотношениям статистики Бозе – Эйнштейна.

где - дельта-функция Дирака. Тогда требования статистики Бозе - Эйнштейна оказываются выполненными и в статистической сумме будут учитываться лишь симметричные состояния. Но и в такой постановке задача вычисления статистической суммы очень сложна и допускает приближённое решение лишь для слабовзаимодействующих систем (слабонеидеальный бозе-газ).

Для подготовки к лекции применялась следующая литература:

Ландау Л. Д., Лифшиц E. M., Статистическая физика, ч. 1, 3 изд.,М., 1976; Майер Дж., Гепперт-Mайер M., Статистическая механика, пер. с англ., 2 изд., M., 1980, гл. 7; Xуанг К., Статистическая механика, пер с англ., M., 1966; Боголюбов H. H., Лекции по квантовой статике. Избр. труды, т. 2, К., 1970 Д. H. Зубарев.