ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ РАВНОВЕСНОГО РЫНКА

Вывод основного уравнения равновесного рынка

 

Пусть рынок находится в состоянии равновесия, то есть нерыночный риск диверсифицирован выбором соответствующего портфеля ценных бумаг и требуется определить влияние на доходность портфеля рыночного (системного) риска.

Рассмотрим рыночный портфель с оценкой и эффективной границей рисковых портфелей. Составим рисковый портфель p, представляющий собой комбинацию некоторого рискового актива (с оценкой ) и рыночного портфеля :

 

. (1)

 

Построим кривую риска , отвечающую всевозможным комбинациям активов с портфелем :

 

 

 

 

 

 

0

Рис.2.

 

Эта кривая риска находится «над» эффективной границей _, так как при получаем портфель p_a,, представляющий собой неэффективную комбинацию рискового актива и портфеля . А при обе кривые дают оценку (точку) рыночного портфеля , то есть касаются в этой точке с лучом , где – доходность безрискового актива.

Параметрическое уравнение (a - параметр) линии риска имеет вид:

 

(2)

где - доходность и риск актива _, - коэффициент корреляции актива с портфелем .

Вычислим угла наклона касательной как углового коэффициента прямой :

(3)

и как значение производной (2) при (то есть в точке ): Для этого выразим из первого уравнения системы (2)

 

, (4)

подставим во второе уравнение и вычислим производную как производную сложной функции :

.

Полагая , получаем выражение

 

,

которое подставим в равенство (3):

 

(5)

 

из которого можно вывести основное уравнение равновесного рынка:

 

. (6)

Или

, (7)

где

, (7')

(8)

 

называется бета вклада (актива ) относительно оптимального (рыночного) портфеля .

Разность называется премией за риск - это превышение ожидаемой эффективности рисковой ценной бумаги (или рискового портфеля) над эффективностью безрискового актива.

 

Линия рынка актива (SML)

Уравнение равновесного рынка позволяет оценивать неэффективные активы (или портфели) относительно эффективных портфелей. Оно говорит о том, что в состоянии равновесия ожидаемая доходность актива равна ставке (7') без риска плюс вознаграждение за рыночный риск, измеряемый величиной . Или премия за риск (см. (7)), связанная с ценной бумагой , пропорциональна премии за рыночный риск рыночного портфеля с коэффициентом пропорциональности .

Геометрически уравнение равновесного рынка представляет собой линию рынка актива (ценных бумаг) SML - Security Market Line.

 

SML

 

 

 

 

0 1

Рис.3.

 

Располагая такой прямой, можно по известному найти ожидаемую эффективность ценной бумаги Точка имеет координаты , так как здесь и .

Наклон SML определяет отношение инвесторов к риску. Если у инвесторов оптимистичные прогнозы на будущее, то наклон SML будет менее крутой (SML₁), так как инвесторы согласны на более высокие риски ,считая их маловероятными, при равных значениях ожидаемой доходности . А при неблагоприятных прогнозах, наклон SML будет более крутой (SML₂), так как инвесторы потребуют большую ожидаемую доходность , считая весьма вероятным более высокие риски .

SML₂

 

SML₁

 

 

 

0

 

Рис.4.

 

Свойства бета актива

 

Из курса теории вероятностей следует,что бета актива

 

,

 

есть не что иное, как коэффициент регрессии линейной корреляционной зависимости вида:

 

, (9)

 

где - условное математическое ожидание случайной величины , - математические ожидания случайных величин и соответственно.

Переходя в уравнении (9) к портфелю и активу можем записать уравнение среднеквадратической регрессии доходности актива относительно доходности рыночного портфеля :

 

, (10)

 

где - условное математическое ожидание случайной (реализованной) доходности актива , - средняя доходность актива за временных периодов, - случайная (реализованная) доходность рыночного портфеля, - средняя доходность рыночного портфеля:

 

, .

 

Последнее уравнение дает лучшую, с точки зрения метода наименьших квадратов, линейную оценку эффективности актива в зависимости от реализованного случайного значения - доходности рыночного портфеля. Тогда можно формулировать следующие свойства бета актива, исходя из свойств коэффициента среднеквадратической регрессии:

1. Если , то актив - безрисковый, так как .

2. Если , то актив (портфель) – рыночный.

3. Если , то доходности актива и рынка меняются в одном направлении, а при – в противоположных направлениях. Для большинства активов .

4. Активы с более рискованны, а с менее рискованны, чем рыночный портфель.

Таким образом, бета актива (портфеля) показывает, как будет реагировать доходность актива на действие рыночных сил. Если, например, , то изменение ожидаемой доходности рыночного портфеля на 1% вызовет изменение (соответствующее) доходности актива на 2%.

Следовательно, величина используется для характеристики (измерения) рыночного риска актива (портфеля), так как показывает зависимость между доходностью актива и доходностью рыночного портфеля, который является «вознаграждением» за рыночный риск.

Зная величины бета каждого из активов , входящих в портфель, можно найти и бету всего портфеля по формуле:

 

(11)

 

где - удельный вес - го актива в портфеле .

Активы с отрицательным значением являются ценным инструментом для диверсификации портфеля, так как позволяют построить портфель с нулевой бетой . Но такой портфель не является безрисковым, так как он сохранит нерыночный риск и не содержит только системного риска.

 

Альфа актива

Модель CAPM определяет эффективности тех ценных бумаг, которые покупаются и продаются на идеальном (равновесном) рынке и их оценки лежат на прямой SML. На практике же можно обнаружить активы, которые оценены рынком неверно, вследствие неидеальности рынка ценных бумаг или фактора времени.

Если некоторый актив переоценен рынком (высокая стоимость), то его доходность ниже доходности активов с аналогичной характеристикой риска. Если же некоторый актив недооценен рынком (низкая стоимость), то его доходность соответственно выше.

В качестве показателя величины переоценки (недооценки) актива принимают разность между действительной доходностью и равновесной доходностью :

, (12)

 

где – альфа -го актива, а – равновесная доходность, определяемая формулой (7). Тогда

 

, (13)

 

 

 

SML

 

 

 

 

0 1

Рис.5.

 

На рисунке изображены два актива и , неверно оцененные рынком. Актив имеет и недооценен рынком, его эффективность большая, следовательно, цена актива будет повышаться до тех пор, пока он не попадет в положение . Актив переоценен рынком, и его цена будет снижаться до положения равновесия .

Следовательно, одна из практических рекомендации финансового анализа сводится к покупке активов вида и продаже активов вида . Альфа портфеля определяется как сумма

, (14)

где – доля - го актива в портфеле .

 

ЛИНИЯ РЫНКА КАПИТАЛА

 

В CAPM зависимость между «полным» риском и ожидаемой доходностью задается в виде прямой, касательной к эффективной границе в точке рыночного портфеля М.

 

 

CML

 

 

 

 

0

Рис.6.

 

Эту прямую называют линией рынка капитала CML – Capital Market Line. Уравнение этой линии можно легко получить как уравнение прямой, проходящей через две данные точки и :

 

,

а именно

, (15)

 

где и - ожидаемые доходность и риск актива .

CML характеризует соотношение риска и доходности только для широко диверсифицированных портфелей, включающих в себя и рыночный портфель, поэтому CML не отвечает на вопрос: какой ожидаемой доходностью должны обладать менее диверсифицированные портфели и отдельные активы.

Если уравнение (15) записать в виде

 

,

то величину называют иногда рыночной ценой риска или премией за единицу риска .

Сравним характеристики CML и SML. В состоянии рыночного равновесия на CML лежат только эффективные портфели, остальные портфели и отдельные активы лежат ниже. СML учитывает весь риск портфеля и мерой риска выступает среднее квадратическое отклонение .

На SML же в состоянии рыночного равновесия расположены все портфели, SML учитывает только рыночный риск портфеля и мерой риска выступает величина бета (одинаковая рыночная составляющая риска).

Наглядно это можно увидеть на рисунках:

 

 

СML SML

 

 

 

0 0 1

Рис.7.

 

Так как при , , то лежит ниже CML и не является эффективным портфелем. Но лежит на SML, поскольку , хотя общий риск портфеля и больше общего риска портфеля , так как рынок оценивает портфели не с точки зрения их общего риска, а на основе рыночного риска .

CML ничего не говорит о взаимосвязи ожидаемой доходности отдельного актива (A ÏCML) и его полного риска, измеряемого стандартным отклонением. SML устанавливает зависимость между ожидаемой доходностью портфеля и его рыночным (систематическим) риском.

CML и SML можно сравнить и с помощью их уравнений. Для этого в уравнение (15) добавим коэффициент корреляции , а именно:

. (15¢)

 

Тогда уравнение (15¢) представляет собой практически уравнение SML, только здесь , так как в CML собраны только эффективные портфели, которые полностью коррелируются с рыночным портфелем .

 

МОДИФИКАЦИИ CAPM

 

В реальной жизни ставки по займам и кредитам отличаются. Тогда, как мы видели в предыдущей главе, эффективная граница не является линейной, а имеет вид , и любой портфель на рассматривается как рыночный.

 

 

 

 

 

0

Рис.8.

 

В этом случае рассматриваются две формулы SML, которые рассчитываются относительно двух рыночных портфелей и с оценками и .

Если инвестор формирует кредитный портфель , то SML имеет вид:

,

 

и для заемного портфеля :

 

.

 

Вторая модификация CAPM возникает тогда, когда на рынке имеется актив с нулевой бетой , то есть актив не содержит рыночного риска, а только нерыночный риск. Это, например, облигация крупной компании, которая при погашении ее в срок, гарантирует инвестору определенный уровень процента (дохода ), не зависящего от последующих колебаний стоимости этой облигации. В этом случае SML будет иметь вид:

,

 

то есть это прямая проходит через рыночный портфель и портфель с нулевой бетой (с доходностью ):

 

 

SML

 

 

 

 

0 1

Рис.9.