Комментарии
К списку вопросов к экзамену по курсу «Высшая математика. Геометрия и алгебра», часть 2
На оценки «4» и «5» доказательства не обязательны (кроме вопросов 22, 24), нужно знать определения, формулировки лемм, теорем, следствий и свойств, уметь приводить примеры и решать задачи. На оценки «6»–«10» дифференцированно требуются также и доказательства утверждений, что указано в приведенной ниже таблице (см. табл. 1). В случае отсутствия названия утверждения в табл. 1 на все оценки требуется лишь его формулировка, это касается тех утверждений, которые приводились на лекциях (в теоретическом разделе) без доказательств.
Таблица 1
Комментарии к списку вопросов
| № вопроса | Названия утверждений (их номера) | На какую оценку требуются доказательства |
| Теорема о делении с остатком (1.1.1) | «6»–«10» | |
| Свойства делимости целых чисел (1–7) | «6»–«10» | |
| Свойства НОД целых чисел (1–4). Теорема о нахождении НОД из теоремы о делении с остатком (1.2.1) | «6»–«10» | |
| Теорема-алгоритм Евклида нахождения НОД целых чисел (1.2.2). Соотношение Безу для НОД целых чисел (1.2.3) и следствие | «6»–«10» | |
| Свойства НОК целых чисел (1–4) | «6»–«10» | |
| Теорема о наименьшем делителе натурального числа, большего 1 (1.3.1). Свойства простых чисел (1, 2). Теорема Евклида (1.3.2) | «6»–«10» | |
| Теорема об отрезке натурального ряда, все числа которого составные (1.3.4) | «6»–«10» | |
| Критерий взаимной простоты чисел (1.4.1). Свойства взаимно простых чисел (1–4) | «6»–«10» | |
| Основная теорема арифметики (1.4.2) | «6»–«10» | |
| Критерий разрешимости диофантова линейного уравнения (1.5.1) | «6»–«10» | |
| Теорема о нахождении решений диофантова линейного уравнения с двумя неизвестными (1.5.2) | «7»–«10» | |
| Теорема о трех эквивалентных условиях сравнимости целых чисел по натуральному модулю (1.6.1). Свойства сравнений (1–9) | «6»–«10» | |
| Свойства операций сложения и умножения классов вычетов (1–5) | «6»–«10» |
Продолжение табл. 1
| Леммы о свойствах классов вычетов с представителями, взаимно простыми (1.7.1) и не взаимно простыми с модулем (1.7.2). Теорема о необходимом и достаточном условии обратимости класса вычетов и произведении обратимых классов (1.7.1). Следствие об обратимости классов вычетов по простому модулю | «6»–«10» | |
| Теорема о вычислении значений функции Эйлера (1.7.2) | «8»–«10» | |
| Теорема Эйлера (1.7.3) | «7»–«10» | |
| Следствие из теоремы 1.7.3. Малая теорема Ферма (1.7.4), следствия 1 и 2 из нее | «6»–«10» | |
| Решение линейных сравнений с одним неизвестным в целых числах (описание методики) | «6»–«10» | |
| Лемма о тождественной композиции функций (2.1.1). Теорема-критерий существования обратной функции (2.1.1) | «6»–«10» | |
| Свойства функций и их композиций (1–7). Теорема о связи инъективности и сюръективности преобразования конечного множества (2.1.2) | «6»–«10» | |
| Критерий равномощности конечных множеств (2.2.1). Теорема об общем числе взаимно однозначных соответствий для двух n -элементных множеств (2.2.2) | «6»–«10» | |
| Теорема о мощности декартова произведения конечных множеств (2.2.3). Теорема о мощности булеана конечного множества (2.2.4) | «6»–«10» | |
| Счетность бесконечного подмножества множества натуральных чисел, множеств целых и рациональных чисел. Свойства счетных множеств: конечное объединение счетных множеств и счетное объединение конечных множеств счетны | «4»–«10» | |
| Теорема Кантора (2.2.5) | «6»–«10» | |
| Доказательства равномощности интервала (0; 1) и по-луинтервала (0; 1], интервала (0; 1) и отрезка [0; 1], интервалов (0; 1) и (a; b), (c; d) и (a; b). Доказательство континуальности множества R | «4»–«10» | |
| Доказательство континуальности булеана счетного множества | «6»–«10» | |
| Критерий подгруппы (3.3.1) | «6»–«10» | |
| Теорема о существовании циклической подгруппы (3.3.2). Теорема о порядке циклической подгруппы (3.3.3). Теорема о подгруппе циклической группы (3.3.4) | «6»–«10» | |
| Теорема о разбиении группы на левые (правые) смежные классы по подгруппе (3.4.1) | «6»–«10» | |
| Теорема Лагранжа (3.4.2) и следствия 1 и 2 из нее | «6»–«10» | |
| Критерий нормальности подгруппы (3.4.3) | «7»–«10» | |
| Теорема о порядке группы Sn (3.5.1) | «6»–«10» | |
| Теорема о разложении подстановки в произведение независимых циклов (3.5.2) | «7»–«10» |
Продолжение табл. 1
| Следствие из теоремы 3.5.2 о порядке подстановки в Sn | «6»–«10» | |
| Теорема о разложении подстановки в произведение транспозиций (3.5.3). Теорема о знакопеременной группе Аn (3.5.4) и следствие из нее | «6»–«10» | |
| Теорема о существовании факторгруппы (3.6.1) | «6»–«10» | |
| Свойства факторгрупп (1, 2) | «6»–«10» | |
| Свойства гомоморфизмов групп (1, 2) | «7»–«10» | |
| Свойства гомоморфизмов групп (3, 4) | «7»–«10» | |
| Первая теорема о гомоморфизмах групп (3.7.1) | «6»–«10» | |
| Вторая теорема о гомоморфизмах групп (3.7.2) | «7»–«10» | |
| Теорема об изоморфизме циклических групп (3.7.3). | «6»–«10» | |
| Теорема Кэли (3.7.4) | «8»–«10» | |
| Теорема о мономорфизме из Sn в GLn (Q) (3.7.5) | «7»–«10» | |
| Теорема о группе автоморфизмов Aut(G) (3.7.6) | «6»–«10» | |
| Теорема об автоморфизмах конечной абелевой группы (3.7.7) | «7»–«10» | |
| Свойства колец (1–6) | «6»–«10» | |
| Теорема о мультипликативной группе кольца (4.1.1). Свойства полей (1, 2) | «6»–«10» | |
| Теорема об идеалах кольца целых чисел (4.2.1). Критерий максимальности идеала кольца целых чисел (4.2.2) | «6»–«10» | |
| Теорема о делении с остатком в кольце полиномов над полем (4.3.2) | «6»–«10» | |
| Свойства делимости полиномов (1–7). Теорема о мультипликативной группе кольца полиномов над полем (4.3.1) | «6»–«10» | |
| Теорема о нахождении НОД из теоремы о делении с остатком (4.3.4). Теорема-аналог алгоритма Евклида нахождения НОД полиномов (4.3.5) | «6»–«10» | |
| Соотношение Безу для НОД двух полиномов (4.3.6) и следствие для произвольного числа полиномов. Теорема-критерий взаимной простоты полиномов (4.3.7) и следствия 1 и 2 из нее | «6»–«10» | |
| Теорема о разложении на множители в кольце полиномов (4.4.1). Теорема о бесконечности множества неприводимых над полем полиномов (4.4.2) | «6»–«10» | |
| Теорема об идеалах кольца полиномов над полем (4.3.3). Критерий максимальности идеала кольца полиномов над полем (4.4.3) | «6»–«10» | |
| Теорема Безу (4.4.4) и следствия 1–4 из нее. Теорема о числе корней многочлена (4.4.5). Следствие 1 из основной теоремы алгебры (4.4.6) | «6»–«10» | |
| Следствие 2 из основной теоремы алгебры (4.4.6). Теорема о корнях в Q полиномов из Z[ x ] (4.4.7) и следствие из нее. Признак Эйзенштейна (4.4.8) | «7»–«10» | |
| Теорема о существовании факторкольца по двустороннему идеалу кольца (4.5.1). Лемма о мощности фактор-множества Fq [ x ]/(f (x)) (4.5.1) | «6»–«10» |
Окончание табл. 1
| Критерий поля для факторкольца ассоциативного и коммутативного кольца с единицей по собственному идеалу (4.5.2) | «8»–«10» | |
| Следствия 1 и 2 из теоремы 4.5.2 | «6»–«10» | |
| Свойства гомоморфизмов колец (1–4) | «6»–«10» | |
| Свойства гомоморфизмов колец (5, 6). Первая теорема о гомоморфизмах колец (4.6.1) | «6»–«10» | |
| Вторая теорема о гомоморфизмах колец (4.6.2) | «7»–«10» | |
| Теорема существования корня полинома (4.6.3) | «8»–«10» | |
| Следствия 1–3 из теоремы 4.6.3 | «6»–«10» | |
| Теорема о взаимно однозначном соответствии между идеалами колец при эпиморфизме (4.6.4) | «8»–«10» | |
| Следствие из теоремы 4.6.4 | «6»–«10» | |
| Теорема о значении ненулевой характеристики кольца (4.7.1). Формула бинома Ньютона в кольцах ненулевой характеристики (4.7.2) | «6»–«10» | |
| Теорема о минимальных полях нулевой и ненулевой характеристик (4.7.3). | «7»–«10» |