Тема: Разложение функции в ряд Тейлора и в ряд Фурье
Разложение функции в ряд Тейлора
Пример. Разложить в ряд Тейлора f(x) = 
по степеням (x – 2).
1. Записать формулу ряда Тейлора (Шилкина, с. 108, 4.16)
2. Определить, чему равен х0:
х – х0 = х – 2 => х = 2.
3. Определить формулу общего элемента ряда. Для этого нужно найти несколько элементов ряда, чтобы понять закономерность. На практике достаточно найти 4 – 5 элементов.
1) а0 = f(x0) = f(2) = = 
= 
= e;
2) а1 = f ´(x0) = f ´(2);
f ´(x) = ()´ = 
;
f ´(2) = = e;
3) а2 = f ´´(x0) = f ´´(2);
f ´´(x) = (f ´(x))´ = ( ) ´ = 
;
f ´´(2) = = 
e;
4) а3 = f ´´´(x0) = f ´´´(2);
f ´´´(x) = (f ´´(x))´ = ( ) ´ = 
;
f ´´´(2) = = 
e.
| n | аn в общем виде | аn для случая х0 = 2 |
| e | |
|
|
e
| |
|
|
e
| |
|
|
e
| |
| n | 
|  e
|
4. Подставить значения аn в формулу ряда Тейлора:
e + 
(x – 2) + 
(x – 2)2 + 
(x – 2)3 + … + 
(x – 2)n
5. Найти радиус сходимости ряда
R = 
= 
= 
=
= 
= ∞ – такой же радиус сходимости, как и у стандартного разложения функции ex в ряд Маклорена (Шилкина, с. 109). Если функция не относится к стандартным, радиус сходимости может быть любой. Обязательно нужно проверять на границах промежутка.
6. Записать ответ:
= e + (x – 2) + (x – 2)2 + (x – 2)3 + … + (x – 2)n
на промежутке (− ∞; + ∞).
Пример разложения функции в ряд Тейлора см. [Марков, Станишевская, с. 199 – 200].
Разложение функции в ряд Фурье
Разложение в ряд Фурье периодической функции f(x), с периодом Т.
Рассмотрим некоторую функцию f(x), которая определена по крайне мере на промежутке [−π, π], (а, возможно, и на большем промежутке). Если данная функция интегрируема на отрезке [−π, π], то её можно разложить в тригонометрический ряд Фурье:
,
где a0, an, bn – так называемые коэффициенты Фурье.
При этом число T=2π называют периодом разложения, а число 
– полупериодом разложения.
Очевидно, что в общем случае ряд Фурье состоит из синусов и косинусов:
Действительно, распишем ряд подробно:
Нулевой член ряда принято записывать в виде 
.
Коэффициенты Фурье рассчитываются по следующим формулам:
Пример. Разложить функцию f(x) = x + 1 в ряд Фурье на промежутке [−π, π]. Построить график данной функции при [−4π, 4π].
1. Построить график функции на промежутке [−π, π]. Для этого определим вид функции – прямая, и найдем ее значения на краях промежутка:
f(−π) = −π + 1 ≈ − 2,14
f(π) = π + 1 ≈ 4,14
Построить отрезок прямой, проходящей через две точки (−3,14; − 2,14) и (3,14; 2,14)
Скопировать этот график вправо и влево на промежутке [−4π, 4π]:
2. Найти коэффициенты ряда Фурье
Второй интеграл берется по частям и равен нулю. Сделать самостоятельно.
Третий интеграл также берется по частям и равен
bn = − 
.
Подробный разбор по ссылке
https://mathprofi.ru/ryady_furie_primery_reshenij.html
3. Подставим их в формулу :
При этом не забываем разделить a0 пополам. На последнем шаге константа («минус два»), не зависящая от n, вынесена за пределы суммы.
Таким образом, мы получили разложение функции 
в ряд Фурье на промежутке [−π, π]:
x – 1 ≈ 1 – 2 · 
Решение данного задания включает в себя график и разложение.
Домашнее задание:
1, взять интегралы; 2, с. 195 – 202; 3, с. 105 – 110.
Литература по теме:
1. Ряды Фурье. Примеры решений [электронный ресурс] // Матпрофи. – Режим доступа: https://mathprofi.ru/ryady_furie_primery_reshenij.html
2. Сборник задач и упражнений по высшей математике для студентов экономических специальностей: в 2 ч. / Л.Н.Гайшун, Н.В.Денисенко, А.В.Марков (и др.). – Минск: БГЭУ, 2014. – Ч.2. – 270 с.
3. Шилкина, Е. И. Высшая математика: Часть 2. Учеб.-практ. пособие / Е. И. Шилкина, М. П. Дымков, В. А. Рабцевич. – Мн.: БГЭУ, 2014. – 167 с.