ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫРЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ.
МЕТОД РИТЦА ДЛЯ РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
ИЗГИБА БАЛКИ
Решение многих краевых задач для дифф. уравнений можно свести к задаче нахождения 
некоторого функционала 
(см. лекцию 6) при соответствующих граничных условиях. При этом дифф. уравнение является уравнением Эйлера-Лагранжа для функционала . Методы решения дифф. уравнений путем минимизации функционалов называют прямыми методами вариационного исчисления.
Например, функционалы 
, (8)
(12)
для которых уравнения Эйлера-Лагранжа имеют вид:
(9)
(12¢)
и соответствуют дифф. уравнениям 2-го порядка (обыкновенным и в частных производных) при граничных условиях:
а) 
и б) 
.
Таким образом, решение дифф. уравнения (краевой задачи) можно получить путем минимизации соответствующего функционала , поскольку минимизирующая функция функционала является решением соответствующего уравнения Эйлера-Лагранжа – исходного дифф. уравнения.
Рассмотрим два из них.
Метод Ритца
Пусть 
есть точное решение задачи (12) или (8) и 
.Если удастся построить функцию 
, которая удовлетворяет граничным условиям и для которой 
весьма близко к 
, то следует ожидать, что будет хорошим приближением к истинному решению задачи. Если же удастся построить минимизирующую последовательность 
, то есть основание ожидать, что такая последовательность 
будет в том или ином смысле сходиться к решению.
Для физического нахождения функции 
, дающей значение , близкое к минимальному, Ритцем был предложен следующий метод (1908 г.).
Рассматривается семейство функций, зависящее от нескольких параметров и удовлетворяющее граничным условиям краевой задачи:
(1)
Найдем среди допустимых функций ту, которая дает функционалу 
наименьшее значение. Эта задача является уже несравненно более легкой, чем первоначальная. Действительно, подставив в функционал вместо 
выражение (1) и выполнив необходимые операции дифференцирования и интегрирования, получим функцию 
переменных 
, т.е. 
. Так как мы должны добиться этой функции, то числа 
должны удовлетворять системе уравнений
(2)
Решив эту систему, получим определенные значения параметров 
дающие функции 
) абсолютный минимум. В результате среди функций (1), выбрав функцию, отвечающую именно этим значениям параметров, получим требуемое приближенное решение
(3)
Наиболее практически важных случаях в интеграле подинтегральное выражение представляет собой многочлен второй степени относительно 
. Если семейство (1) берется линейно зависящим от параметров 
:
, (4)
то квадратичный функционал будет квадратичной функцией параметров 
. Поэтому задача нахождения минимума квадратичной функции ) посредством дифференцирования (2) по сводится к системе минимальных алгебраических уравнений. Система линейных алгебраических уравнений нетрудно решается при ~ 102. Практически бывает достаточным 
.
Примеры. 1) Пусть имеется 
и т.д.
Тогда 
.
Систему уравнений 
, где 
; 
.
2) 
. Тогда
.
Остановимся теперь на вопросе о том, в каком случае методом Ритца можно получить сколь угодно близкое приближение к действительному 
. Получаем 
причем 
. Когда последовательность 
стремится к истинному минимуму:
(5)
Достаточным условием для этого является полнота системы семейств (1), которая состоит в следующем: каковы бы ни были функция непрерывна вместе с 
и 
и удовлетворяющая граничному условию 
и 
, можно будет указать такое и такую функцию среди 
семейства (1): 
, что повсюду в области D будут справедливы неравенства:
, 
, т.е. любая функция может быть сколь угодно аппроксимирована вместе с частными производными посредством функций из семейств (1). Полноту системы обычно удается обнаруживать, пользуясь обобщенной теоремой Вейерштрасса:
Т. Если для 
непрерывна в замкнутой ограниченной области D вместе с частными производными 
и 
, то можно по указать такой полином 
, что в области будут выполнены неравенства:
(6)
С помощью этой теоремы можно установить полноту исследующей системы функций: пусть 
- непрерывная и имеющая внутри D ограниченные и непрерывные производные 
и 
; и 
внутри D и 
. Тогда в качестве основной системы функций (1) можно принять:
(7)
Функции 
называются базисными (координатными функциями).
Для прямоугольника [ 
] 
Если уравнение границы Г: 
где F - непрерывна вместе с частными производными, то 
. Иногда берут комбинации тригонометрических функций. Замечание. Пусть имеется операторное уравнение АУ = 
. Если А положительно определенный 
и 
или 
-самосопряженный оператор (линейный оператор, совпадающий со своим сопряженным оператором А=А*® 
аналогично симметрии матриц, то метод Ритца позволяет получить решение уравнения (*)
Метод Бубнова-Галеркина (1915 г.)