Заостряю ваше внимание, что здесь речь уже идёт только о положительных числовых рядах (с неотрицательными членами).
Существуют два признака сравнения, один из них я буду называть просто признаком сравнения, другой – предельным признаком сравнения.
Сначала рассмотрим признак сравнения, а точнее, первую его часть:
Рассмотрим два положительных числовых ряда 
и 
. Если известно, что ряд – сходится, и, начиная с некоторого номера 
, выполнено неравенство 
, то ряд тоже сходится.
Иными словами: Из сходимости ряда с бОльшими членами следует сходимость ряда с меньшими членами. На практике неравенство часто выполнено вообще для всех значений 
:
Пример 8
Исследовать ряд на сходимость 
Во-первых, проверяем (мысленно либо на черновике) выполнение необходимого признака сходимости:
, а значит, «отделаться малой кровью» не удалось.
Внимание! Далее такая проверка будет подразумеваться по умолчанию, и далее я на этом не останавливаюсь!
Заглядываем в «пачку» обобщенного гармонического ряда и, ориентируясь на старшую степень, находим похожий ряд: 
Из теории известно, что он сходится.
Для всех натуральных номеров справедливо очевидное неравенство:
а бОльшим знаменателям соответствуют мЕньшие дроби:
, значит, по признаку сравнения исследуемый ряд сходится вместе с рядом .
Готово.
Если у вас есть какие-то сомнения, то неравенство всегда можно расписать подробно! Распишем построенное неравенство для нескольких номеров «эн»:
Если 
, то 
Если 
, то 
Если 
, то 
Если 
, то 
….
и теперь-то уж совершенно понятно, что неравенство выполнено для всех натуральных номеров «эн».
Проанализируем признак сравнения и решенный пример с неформальной точки зрения. Все-таки, почему ряд сходится? А вот почему. Если ряд сходится, то он имеет некоторую конечную сумму 
: 
. И поскольку все члены ряда меньше соответствующих членов ряда , то ясен пень, что сумма ряда не может быть больше числа , и тем более, не может равняться бесконечности!
Аналогично можно доказать сходимость «похожих» рядов: 
, 
, 
и т.д.
! Обратите внимание, что во всех случаях в знаменателях у нас находятся «плюсы». Наличие хотя бы одного минуса может серьёзно осложнить использование рассматриваемого признака сравнения. Например, если ряд 
таким же образом сравнить со сходящимся рядом 
(выпишите несколько неравенств для первых членов), то условие не будет выполняться вообще! Здесь можно извернуться и подобрать для сравнения другой сходящийся ряд, например, 
, но это повлечёт за собой лишние оговорки и другие ненужные трудности. Поэтому для доказательства сходимости ряда гораздо проще использовать предельный признак сравнения (см. следующий параграф).
Пример 9
Исследовать ряд на сходимость 
И в этом примере я предлагаю вам самостоятельно рассмотреть вторую часть признака сравнения:
Если известно, что ряд – расходится, и, начиная с некоторого номера (часто с самого первого), выполнено неравенство 
, то ряд тоже расходится.
Иными словами: Из расходимости ряда с меньшими членами следует расходимость ряда с бОльшими членами.
Что нужно сделать?
Нужно сравнить исследуемый ряд с расходящимся гармоническим рядом 
. Для лучшего понимания постройте несколько конкретных неравенств и убедитесь в справедливаости неравенства .
Решение и образец оформления в конце урока.
Как уже отмечалось, на практике только что рассмотренный признак сравнения применяют редко. Настоящей «рабочей лошадкой» числовых рядов является предельный признак сравнения, и по частоте использования с ним может конкурировать разве что признак Даламбера.