Огюстен Луи Коши – еще более знаменитый французский математик. Биографию Коши вам может рассказать любой студент технической специальности. В самых живописных красках. Не случайно эта фамилия высечена на первом этаже Эйфелевой башни.
Признак сходимости Коши для положительных числовых рядов чем-то похож на только что рассмотренный признак Даламбера.
Радикальный признак Коши: Рассмотрим положительный числовой ряд 
. Если существует предел: 
, то:
а) При 
ряд сходится. В частности, ряд сходится при 
.
б) При 
ряд расходится. В частности, ряд расходится при 
.
в) При 
признак не дает ответа. Нужно использовать другой признак. Интересно отметить, что если признак Коши не даёт нам ответа на вопрос о сходимости ряда, то признак Даламбера тоже не даст ответа. Но если признак Даламбера не даёт ответа, то признак Коши вполне может «сработать». То есть, признак Коши является в этом смысле более сильным признаком.
Когда нужно использовать радикальный признак Коши? Радикальный признак Коши обычно использует в тех случаях, когда корень 
«хорошо» извлекается из общего члена ряда. Как правило, этот перец находится в степени, которая зависит от 
. Есть еще экзотические случаи, но ими голову забивать не будем.
Пример 7
Исследовать ряд на сходимость 
Мы видим, что дробь полностью находится под степенью, зависящей от «эн», а значит, нужно использовать радикальный признак Коши:
Таким образом, исследуемый ряд расходится.
(1) Оформляем общий член ряда под корень.
(2) Переписываем то же самое, только уже без корня, используя свойство степеней 
.
(3) В показателе почленно делим числитель на знаменатель, указывая, что 
(4) В результате у нас получилась неопределенность 
. Здесь можно было пойти длинным путем: возвести 
в куб, возвести 
в куб, потом разделить числитель и знаменатель на «эн» в кубе. Но в данном случае есть более эффективное решение: этот приём можно использовать прямо под степенью-константой. Для устранения неопределенности делим числитель и знаменатель на (старшую степень многочленов).
(5) Выполняем почленное деление, и указываем слагаемые, которые стремятся к нулю.
(6) Доводим ответ до ума, помечаем, что 
и делаем вывод о том, что ряд расходится.
А вот более простой пример для самостоятельного решения:
Пример 8
Исследовать ряд на сходимость 
И еще пара типовых примеров.
Полное решение и образец оформления в конце урока
Пример 9
Исследовать ряд на сходимость 
Используем радикальный признак Коши:
Таким образом, исследуемый ряд сходится.
(1) Помещаем общий член ряда под корень.
(2) Переписываем то же самое, но уже без корня, при этом раскрываем скобки, используя формулу сокращенного умножения: 
.
(3) В показателе почленно делим числитель на знаменатель и указываем, что 
.
(4) Получена неопределенность вида 
, и здесь тоже можно выполнять деление прямо под степенью. Но с одним условием: коэффициенты при старших степенях многочленов должны быть разными. У нас они разные (5 и 6), и поэтому можно (и нужно) разделить оба этажа на . Если же эти коэффициенты одинаковы, например (1 и 1): 
, то такой фокус не проходит и нужно использовать второй замечательный предел. Если помните, эти тонкости рассматривались в последнем параграфе статьи Методы решения пределов.
(5) Собственно выполняем почленное деление и указываем, какие слагаемые у нас стремятся к нулю.
(6) Неопределенность устранена, у нас остался простейший предел: 
. Почему 
в бесконечно большой степени стремится к нулю? Потому что основание степени удовлетворяет неравенству 
. Если у кого есть сомнения в справедливости предела 
, то я не поленюсь, возьму в руки калькулятор:
Если 
, то 
Если 
, то 
Если 
, то 
Если 
, то 
Если 
, то 
… и т.д. до бесконечности – то есть, в пределе:
Прямо таки бесконечно убывающая геометрическая прогрессия на пальцах =)
! Никогда не используйте этот приём в качестве доказательства! Ибо если что-то очевидно, то это ещё не значит, что это правильно.
(7) Указываем, что 
и делаем вывод о том, что ряд сходится.
Пример 10
Исследовать ряд на сходимость 
Это пример для самостоятельного решения.
Иногда для решения предлагается провокационный пример, например: 
. Здесь в показателе степени нет «эн», только константа. Тут нужно возвести в квадрат числитель и знаменатель (получатся многочлены), а далее придерживаться алгоритма из статьи Ряды для чайников. В подобном примере сработать должен либо необходимый признак сходимости ряда либо предельный признак сравнения.