Модели межотраслевого баланса В. В. Леонтьева

Лекция №1

Литература для чтения:

1. Выпуклые структуры и математическая экономика, Х. Никайдо.

2. Введение в математическую экономику, Ашманов С. А.

3. Элементы математической экономики, Экланд И.

4. Нелинейный анализ и его экономические приложения, Обен Ж.-П.

5. Теория игр с примерами из математической экономики, Мулен Э.

Глава 1. Модели межотраслевого баланса и теория неотрицательных матриц

Модели межотраслевого баланса В. В. Леонтьева

Экономика разбивается на специальные производственные единицы — чистые отрасли. Считается, что одна чистая отрасль выпускает только один продукт, разные отрасли выпускают разные продукты.

Производственную систему обычно разбивали на 18 отраслей — подобная модель использовалась и в СССР. Отечественные модели 1995-1996, 2001 и 2003 имели такой же порядок отраслей, однако переменный. Тем не менее в Госкомстате существовали более подробные модели, которые насчитывали чуть меньше ста отраслей. Если говорить про экономику США, то самая распространённая модель насчитывает порядка 100 отраслей; есть модель, разбиение которой доходит до 300 отраслей. Были попытки построить более подробные модели. Модель на 1000 отраслей оказалась никуда не годной. За этими числами стоит понимание того, как устроена технологическая структура экономики, с какой степенью подробности можно анализировать процессы на сравнительно больших временах.

[Выделим чистых отраслей и занумеруем их и выпускаемую ими продукцию.]

Леонтьев наблюдал временные ряды выпуска отраслей.

Обозначим через — объём производства -ой отрасли в период времени . Чаще всего шагом по времени является год.

Через обозначим объём продукции -ой отрасли, использованной в качестве сырья -ой отраслью в период времени .

— количество продукции -ой отрасли, использованной на конечное потребление в период времени .

При наблюдении за следующими рядами

можно заметить, что они устроены очень причудливым образом.

Вспомним 90-ые годы, когда произошёл кризис. В среднем объём сократился в два раза, однако сокращение по отраслям произошло неравномерно: машиностроение сократилось в два раза, лёгкая промышленность — в пять раз, нефтегазовый сектор почти не сократился (в какие-то периоды уменьшился на 5%, а потом даже подрос). Последующее восстановление тоже шло неравномерно. То есть, вообще говоря, сами ряды являются не очень информативными.

Леонтьев стал рассматривать отношения затрат продукции к объёму производства и обнаружил, что они мало зависят от времени:

(Где-то на 43:15 вместо . Опечатка?)

Иными словами, можно считать константами (некоторыми характеристиками технических процессов отраслей).

Если воспользоваться предположением Леонтьева о том, что от не зависит и есть некая характеристика технологической структуры и одновременно существующих экономических связей, можно написать:

В векторной форме это равенство, где

— вектор объёмов производства,

— вектор конечных выпусков,

— матрица прямых затрат Леонтьева,

принимает вид

где ,

W > 0 или всё же w >= 0?

Она называется статистической моделью межотраслевого баланса Леонтьева.

Существует ли для заданного ?

Есть экономическая система и для неё — матрица прямых затрат. Жизнеспособна ли такая экономическая система?

Определение 1. Будем говорить, что матрица (неотрицательная квадратная) является продуктивной, если существует такой , что

Простейшая динамическая модель Леонтьева

В таких динамических моделях играют специальные режимы, называемые режимами сбалансированного роста.

— это темп роста. подразумевает рост, иначе — деградацию.

Обе части уравнения разделим на . Получим:

Обозначим через D следующую матрицу:

Определение 1’. Будем говорить, что матрица

является продуктивной, если

Замечание. Из второго определения следует первое. Если — продуктивна ⇔ — продуктивна. Второе определение даёт возможность рассматривать матрицы вида .