Зырянов Р.А 10 класс
МБОУ «МСОШ»
Цель работы: Получить представление о разделе математики - топологии и изучение топологических свойств некоторых объектов. Узнать о практическом применении свойств топологии в окружающий действительности.
Задачи исследования:
1.разобраться в том, что изучает данная наука;
2.изучить историю её возникновения;
3.рассмотреть топологические свойства некоторых объектов;
4.узнать о практическом применении топологии.
Топология – это раздел геометрии, изучающий свойства фигур и тел, которые не изменяющиеся при деформации. Фигуры можно сжимать и растягивать, сгибать и выпрямлять, но нельзя разрезать и склеивать. Фигура, которая получилась после деформации, и исходная фигура называются топологическими равными. Примерами топологических равных фигур в жизни могут быть шар и тарелка, гайка и баранка, баранка и макаронина. Предметом топологии является изучение свойств геометрических фигур, сохраняющихся даже тогда, когда эти фигуры подвергаются таким преобразованиям, которые уничтожают все их и метрические и проективные свойства.
Раздел математики, ныне называемый топологией, берёт своё начало с изучения некоторых задач геометрии – решение знаменитой задачи о кёнигсбергских мостах. Термин «топология» впервые появился в 1847 году в работе Листинга. Приблизительно с 1925 по 1975 годы топология являлась одной из самых бурно развивающихся отраслей математики.
Топология подразделяется на 4 раздел: Общая топология, или теоретико-множественная топология, Алгебраическая топология, Дифференциальная топология и вычислительная топология.
Одно из основных понятий топологии – тор, или бублик. Эта фигура получена путём вращения окружности вокруг оси, которая не пересекает окружность. Топология рассматривает превращения фигур. Гомеоморфизм – это преобразование фигур, обладающее определенными свойствами: взаимно-однозначностью и непрерывностью. Геометрические фигуры, переходящие одна в другую при топологических преобразованиях, называются гомеоморфными. Например, окружность и граница квадрата гомеоморфны, так как их можно перевести друг в друга топологическим преобразованием (т.е. изгибанием и растяжением без разрывов и склеиваний). Это легко представить себе с помощью замкнутой веревочки – из нее можно выложить окружность, и превратить её в квадрат, и обратно. Поверхность куба гомеоморфна сфере. Если мы деформируем куб, то можно получить шар. Со стороны топологии кружка и тор- это одно и то же. Кружка гомеоморфна тору. То есть можно "надуть" кружку и получить бублик, а потом сдуть его. Мы видим, что кружка непрерывными деформациями переходит в тор. При таких деформациях одно остается неизменным – наличие «дырки». В данном случае «дырка» одна. Но из тора сделать шар невозможно, так как будет мешать отверстие в центре. Из тора можно получить так называемую сферу с ручкой. Примером сферы с ручкой является спортивная гиря. Наличие или отсутствие «дыр» является топологическим свойством, оно сохраняется при топологическом преобразовании, как в нашем примере с кружкой. Область с дырой не может перейти при гомеоморфизме в область без дыр. В топологии используется такое понятие, как род. Говоря совсем простым языком, можно определить род как количество «дырок». Таким образом, род сферы равен нулю, род тора (поверхности "бублика") - единице, род кренделя (тора с двумя дырками) - двум, род поверхности с p дырами равен p. Отсюда следует, что ни поверхность куба, ни сфера не гомеоморфны тору.
Еще одно понятие, используемое в топологии – ориентируемость. Такие поверхности, как сфера, тор и неперекрученная лента, называют ориентируемыми или двухсторонними. Я хочу привести в качестве примера два вида неориентируемых, или односторонних, поверхностей. Простейшей односторонней поверхностью является лист Мебиуса, который получил свое название в честь А. Мебиуса, открывшего его необычайные топологические свойства. Если провести линию по одной стороне листа Мебиуса не отрывая ручку от поверхности то линия пройдет через весь лист с обоих сторон.
Бутылка Клейна — еще одна неориентируемая поверхность, она тесно связана с листом Мебиуса. Если пустить жука в отверстие у основания бутылки, то он скоро вползет в полость бутылки уже внутри. Жук отсюда сможет выползти наружу и вползти туда, откуда начал свой путь.
Практическое применение у математической топологии имеется во всех сферах жизнедеятельности, а в некоторых сферах это применение продвинуто очень широко и глубоко.
Биологи изучают теорию узлов, чтобы понять ДНК. Есть гипотеза, что спираль ДНК сама по себе тоже является фрагментом ленты Мебиуса и только поэтому генетический код так сложен для расшифровки и восприятия. Чтобы построить квантовый компьютер, используют косы — переплетенные нити материала, движущегося в одном направлении. Компании, производящие мобильные телефоны, применяют топологию для нахождения “дыр’’ в зоне покрытия сети, а самим телефонам топология нужна для анализа фотографий, которые они делают. Сетевая топология используется для обмена информации между компьютерами. Топология позволяет исследовать и описывать пространственные отношения, которые помогут в моделировании одежды. Полоса ленточного конвейера выполняется в виде ленты Мѐбиуса, что позволяет ему работать дольше, потому, что вся поверхность ленты изнашивается равномерно.Благодаря ленте Мѐбиуса, были созданы особые кассеты для магнитофона, которые дали возможность слушать магнитофонные кассеты с ―двух сторон не меняя их местами. В большинстве матричных принтеров красящее устройство также имеет вид листа Мѐбиуса для увеличения его ресурса. Электрон, как выяснилось, описывает вокруг атомного ядра не строго круговую орбиту, а повёрнутую на 180 градусов и только благодаря этому «изобретению» не падает на ядро. Аттракцион «Американские горки», являющийся подобием «необыкновенного листа», многих людей приводили в восторг. Имеются воплощения простого листа Мѐбиуса в строительстве. Построенный в Лондоне велодром имеет контуры, которые можно назвать вариацией на тему листа Мѐбиуса. В Казахстане построят библиотеку в форме ленты Мебиуса. Лист Мѐбиуса служил вдохновением для скульптур и для графического искусства. Эшер был одним из художников, кто особенно любил его и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту. Чудесные свойства ленты породили многочисленные фантастические рассказы. Дизайнеров мебели тоже вдохновила лента Мебиуса.
В своей работе я привел ряд топологических фокусов с веревкой и с лентой Мебиуса.
. В результате проведенного исследования я узнал, что топология – это часть геометрии, посвящённой явлению непрерывности. В математике имеются свойства, которая не нарушается ни при каких деформациях фигур. Это и есть топологические свойства. Топология нашла свое применение в алгебре, геометрии, физике, химии, биологии и во многих других науках. Топология развивается и по сей день. Нужна ли топология на практике? Да, нужна. Это подтверждают многочисленные примеры, приведенные мною. Познакомившись с топологией и её свойствами, я убедился, что это такая наука, которая будет постоянно развиваться и имеет большое будущее.
Источники
[1]Энциклопедия Кругосвет. Универсальная Научно-попоулярная энциклопедия. Топология. https://www.krugosvet.ru/enc/matematika/topologiya
[2] Википедия https://www.krugosvet.ru/enc/matematika/topologiya
[3]Википедия https://ru.wikipedia.org/wiki/Гомеоморфизм
[4]Физическая энциклопедия. Топология. https://rus-physical-enc.slovaronline.com/4439-ТОПОЛОГИЯ