Основные понятия математической статистики
Лекция
План
Вопрос 1. Основные понятия математической статистики.
Вопрос 2. Числовые характеристики рядов данных.
Вопрос 1. Основные понятия математической статистики.
Статистика занимается сбором, представлением в виде таблиц, графиков и т.д. и анализом информации о различных случайных величинах.
Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.
Например, сумма очков, выпадающая при бросании двух игральных костей, - случайна величина. Обозначим её Х. Тогда 
– значения этой случайной величины. В таблице 1 указаны суммы выпавших чисел, а в таблице 2 показано распределение значений случайной величины Х (суммы выпавших чисел) по их вероятностям Р.
Таким образом, каждой из сумм 
поставлена в соответствие вероятность, с которой она может появиться в результате одного испытания (одного бросания двух игральных костей). Например 
может появиться только в двух случаях – 1+2 или 2+1, то есть вероятность равна 
.
Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями. Его можно задать в таблице, аналитически (формулой) или графически.
При табличном задании закона распределения дискретной случайной величины первая строка таблицы содержит возможные значения, а вторая - их вероятности:
| X | 
| 
| … | 
|
| P | 
| 
| … | 
|
Задача.
В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывается один выгрыш в 50 рублей и десять выигрышей по 1 руб. Найти закон распределения случайной величины Х – стоимости возможного выигрыша для владельца лотерейного билета.
Решение
Возможный выигрыш – это 0, 1 и 50. Вычислим их вероятности и запишем в таблицу:
| X | 0 | 1 | 50 |
| P | 0,89 | 0,1 | 0,01 |
Для наглядности закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки 
, а затем соединяют отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения.
Вопрос 2. Числовые характеристики рядов данных.
У дискретной случайной величины есть числовые характеристики. Мы рассмотрим три – математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение.
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности:
Дисперсией случайной величины Х называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:
Дисперсию удобно вычислять по формуле:
Средним квадратическим отклонением случайной величины называют квадратный корень из дисперсии:
Рассмотрим вычисление числовых характеристик случайной величины на примере.
Найти числовые характеристики случайной величины Х, заданной следующим законом распределения:
| Х | 2 | 3 | 5 |
| р | 0,1 | 0,6 | 0,3 |
Решение
Найдём математическое ожидание:
Напишем закон распределения для случайной величины 
| Х | 4 | 9 | 25 |
| р | 0,1 | 0,6 | 0,3 |
Вычислим дисперсию:
Среднеквадратичное отклонение:
