Подготовка учеников к решению задач по банковским вкладам и кредитам в ЕГЭ




В ЕГЭ задачи по банковским вкладам и кредитам включены во вторую часть работы. При решении задачи необходимо записать подробное ее решение. Анализируя решения задач указанного типа, приходим к выводу, что основные трудности возникают у учащихся при составлении математической модели (уравнения) указанной задачи.

Прежде чем приступить с учениками к разбору непосредственно задач из открытого банка ЕГЭ, необходимо вспомнить решение простейших банковских задач из курса математики основной школы.

Ниже подробно рассмотрены решения семи задач по банковским вкладам и кредитам. Решения нескольких задач представлены в формате видеоуроков. Данные видеозаписи можно использовать на уроках при объяснении учащимся принципа решения задач данного вида.

Задача 1 (из учебника Н.Я. Виленкина Математика 6 класс): Банк купил несколько акций завода и через год продал их за 576,8 млн рублей, получив 3% прибыли. Какую сумму банк затратил на приобретение акций?

Решение: Сумма 576,8 млн рублей состоит из суммы которую банк затратил на приобретение акций (100%) и суммы дохода 3%. Таким образом, сумма 576,8 млн рублей составляет 103% от первоначальной стоимости акций.

Задачу можно решить в одно действие, но сейчас нам важно составить модель того, как происходили накопления.

Пусть А млн рублей – сумма которую банк затратил на приобретение акций (100%)

Тогда сумма акций через год будет равна выражению

(А + (3% от А)) Обозначим это выражение (*)

Узнаем сколько млн рублей составляют 3% от А. Для этого нам необходимо А:100 – узнаем сколько млн рублей составляет 1% от А, а затем полученное число умножаем на 3. Или, воспользуемся правилами из учебника математики пятого и шестого классов:

1) Чтобы перевести проценты в десятичную дробь, надо разделить число процентов на 100;

2) чтобы найти дробь от числа, нужно умножить число на эту дробь.

То есть, 1) 3% = 0,03; 2) А∙0,03.

Итак, наше выражение (*) теперь примет вид:

А + 0,03∙А = 576,8

Теперь остается решить линейной уравнение с неизвестным А.

1,03А = 576,8

А = 560

Ответ: 560 млн рублей.

Замечание: Здесь важно заметить, что через год сумма акций будет составлять 1,03А. Если обозначить процент дохода r%, то данную сумму в общем виде можно записать следующим образом:

млн рублей (**)

Задача 2: В банк внесен вклад 550 млн рублей под 11% годовых. Какая сумма денег будет на счете через год? Через три года?

Решение: 1. Для ответа на первый вопрос задачи можно использовать формулу (**) из решения предыдущей задачи:

r % - 11 %, A = 550 --->

.

Для ответа на второй вопрос задачи можно так же использовать формулу (**): сначала для определения суммы вклада через два года, а затем через три.

– через два года

– через три года.

Следует обратить внимание на то, что через каждый год сумма вклада увеличивается на 11%, т.е. начисленные проценты остаются на счете вклада. Поэтому в формуле (**) при вычислении суммы вклада через два года и через три года подставляем разные значения А.

2. Ответ на второй вопрос задачи можно получить иначе – пропустить числовые вычисления, составить формулу (модель) для определения суммы вклада через три года в общем виде. Этот способ более трудоемкий, однако нам необходимо его разобрать для того, что увидеть схему (алгоритм) решения более сложных задач. Итак,

Через один год: (A + 0,001∙r∙A) или

Через два года:

Через три года:

Подставив значения А = 550, r = 11 в последнюю формулу, получим:

млн рублей – сумма вклада на счете через три года

Ответ: 610,5 млн рублей; 752,19705 млн рублей.

Замечание: Составив формулы для определения суммы вклада через год, через два и через три года важно заметить закономерность: каждый год степень множителя увеличивается ровно на 1. Таким образом, можно посчитать суммы вклада через любое количество лет. Для наглядности составим таблицу:

Год Сумма вклада Сумма вклада через год
  А
 
 
 
………
n

 

Задача 3 (Диагностическая работа СтатГрад, январь 2017): По бизнес-плану четырехлетний проект предполагает начальное вложение – 10 млн рублей. По итогам каждого года планируется прирост вложенных средств на 15% по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений процентов нужны дополнительные вложения: целое число n млн рублей и в первый, и во второй года, а также целое число m млн рублей и в третий, и в четвертый годы. Найдите наименьшее значение n, при котором первоначальные вложения за два года как минимум удвоятся, и наименьшее такое значение m, что при найденном ранее значении n первоначальные вложения за четыре года как минимум утроятся.

Решение:

Решение данной задачи представлено в видеоуроке с которым можно ознакомиться перейдя по ссылке:

https://www.youtube.com/watch?v=HfwWbhQVCck&t=40s&spfreload=10

 

Задача 4 (с сайта www.egemaximum.ru): 31 декабря текущего года Алексей взял в банке 9282000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), а затем Алексей переводит в банк x рублей. Какой должна быть сумма х, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за 4 года)?

Решение: Составим следующую таблицу:

Год кредитования Кредит (основной долг) Кредит + 10% Выплата Остаток основного долга
  А А+0,1А Х 1,1А – Х
  1,1А – Х *= 1,21А – 1,1Х Х 1,21А – 2,1Х
  1,21А – 2,1Х 1,331А – 2,31Х Х 1,331А – 3,31Х
  1,331А – 3,31Х 1,4641А – 3,641Х Х 1,4641А – 4,641Х

 

где А – 9282000 рублей, r% - 10% годовых (ставка кредита), Х – ежегодный платеж.

* = 1,1А – Х + (1,1А – Х)∙0,1 = 1,1А – Х + 0,11А – 0,1Х = 1,21А – 1,1Х (аналогичные рассуждения для третьего и четвертого года кредитования. Для тренировки необходимо дать возможность учащимся просчитать эти графы самостоятельно и сверить с ответом).

 

В последний год кредитования остаток основного долга после последней выплаты должен быть равен нулю (долг полностью выплачен), т.е. 1,4641А – 4,641Х = 0.

Подставим в это равенство 9282000 вместо А, получим:

1,4641∙9282000 – 4,641Х = 0

13589776,2 = 4,641Х

Х = 13589776,2: 4,641= 2928200

Таким образом, ежегодный платеж равен 2928200 рублей

Ответ: 2928200 рублей

Задача 5 (ЕГЭ, 2016): 15-го января планируется взять кредит в банке на сумму 1 млн рублей на 6 месяцев. Условия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на целое число r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца;

- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

- 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей:

Дата 15.01 15.02 15.03 15.04 15.05 15.06 15.07
Долг (в млн рублей)   0,9 0,8 0,7 0,6 0,5  

Найдите наименьшее значение r, при котором общая сумма выплат будет составлять более 1,25 млн рублей.

Решение:

Решение данной задачи представлено в видеоуроке с которым можно ознакомиться перейдя по ссылке:

https://www.youtube.com/watch?v=Ab1MPFAu9nU&t=5s

 

Задача 6 (ЕГЭ, 2016): В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на S млн рублей, где S – целое число, на 4 года. Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг возрастает на 15% по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

- в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей

Год          
Долг (в млн рублей) S 0,8S 0,5S 0,1S  

Найдите наибольшее значение S, чтобы общая сумма выплат была меньше 50 млн рублей?

Решение:

Решение данной задачи представлено в видеоуроке с которым можно ознакомиться перейдя по ссылке:

https://www.youtube.com/watch?v=Bnt2ruCsF5k&t=35s

 

Задача 7 (Методические рекомендации для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ, 2016): В июле планируется взять кредит в банке на сумму 28 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платёж составит 9 млн рублей?

 

Решение:

Решение данной задачи представлено в видеоуроке с которым можно ознакомиться перейдя по ссылке:

https://www.youtube.com/watch?v=Yn0_lYE1kcs&t=645s



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-06-21 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: