Теоретическое обоснование
Совокупность приемов наименования и записи чисел называется системой счисления. Счисление представляет собой частный случай кодирования, где слово, записанное с использованием определенного алфавита и по определенным правилам, называется кодом.
Если значение цифры или символа зависит от позиции в ряду цифр или символов изображающих число, то такая система счисления называется позиционной, в противном случае - непозиционной системой.
В любой системе счисления выбирается алфавит, представляющий собой совокупность некоторых символов (цифр или знаков), с помощью которого можно представить любое число. Если алфавит состоит из двух цифр 0 и 1, то система двоичная. В десятичной системе алфавит состоит из десяти цифр: 0, 1, 2, 3, …, 9. В восьмеричной - из восьми: 0, 1, 2, 3, …,7. В шестнадцатеричной - используется десять цифр 0, 1, 2, 3, …, 9 и буквы латинского алфавита A (обозначает цифру 10), B (11), C(12), D(13), E(14), F(15). Количество используемых цифр называется основанием позиционной системы счисления. Место для цифры в числе называется разрядом, а количество цифр в числе - разрядностью числа. Крайняя слева цифра называется цифрой старшего разряда, а крайняя справа - младшего разряда.
Алгоритм перевода из 10-й системы в Р-ю (Р-целое, положительное число):
1) Целая и дробная части числа переводятся отдельно.
2) Целая часть числа последовательно делится нацело на величину Р и остатки от деления записываются, начиная с последнего как результат.
3) Дробная часть числа последовательно умножается на Р и целые значения записываются, начиная с первого как результат. Умножение выполняется до получения в дробной части 0 или с указанной точностью (по умолчанию – 6 знаков после запятой).
Пример 1. Перевести число Х=165,410 в 2-ю, 8-ю, 16-ю системы счисления.
Перевод целой и дробной части Х в 2-ю систему счисления:
| -164 | * | 0,4 | * | 0,8 | * | 0,6 | * | 0,2 | * | 0,4 | * | 0,8 | ||||||
| -82 | ||||||||||||||||||
| 0,8 | 1,6 | 1,2 | 0,4 | 0,8 | 1,6 | |||||||||||||
| -20 | ||||||||||||||||||
| -10 | ||||||||||||||||||
| -4 | ||||||||||||||||||
| -2 | ||||||||||||||||||
Число Х в 2-ной системе счисления: Х= 165,410 =10100101,0110012
Аналогично выполняется перевод в 8-ю и 16-ю системы.
| -160 | |||
| -16 | |||
| * | 0,4 | * | 0,2 | * | 0,6 | * | 0,8 | * | 0,4 | * | 0,2 |
| 3,2 | 1,6 | 4,8 | 6,4 | 3,2 | 1,6 |
Число Х в 8-ной системе счисления: Х = 165,410 = 245,3146318
| * | 0,4 | * | 0,4 | ||||||
| -160 | это | А | |||||||
| 6,4 | 6,6 |
Число Х в 16-ной системе счисления: Х = 165,410 = А5,666…16=А5,(6)16
Перевод из Р-й системы в 10-ю (Р - целое, положительное число):
Любое число Х в позиционной системе счисления P можно представить в виде ряда:
где ХР – запись числа в системе счисления с основанием Р; хi - целое положительное число, меньше Р; n – число разрядов в целой части числа;
m – число разрядов в дробной части числа.
Такая схема называется схемой Горнера.
Алгоритм перевода из Р-й системы в 10-ю:
1) От запятой вправо и влево нумеруются разряды чисел.
2) Каждая цифра числа хi умножается на основание системы Р в степени номера разряда, результаты складываются.
Пример 2. Полученныев примере 1 числа перевести в 10-ю систему.
Для проверки полученного результата обратным переводом нужно воспользоваться схемой Горнера. Перевод из 2-й в 10-ю систему:
| 1, | 12 | =1*27 + 0*26+ 1*25 + 0*24 + 0*23 + | ||||||||||||
| -1 | -2 | -3 | -4 | -5 | -6 | |||||||||
| +1*22 +0*21 + 1*20 +0*2-1 +1*2-2 +1*2-3 +0*2-4 +0*2-5+1*2-6≈165,410 |
Из 8-й системы в 10-ю:
| 5, | 12 | =2*82 + 4*81 +5*80+3*8-1 +1*8-2 +4*8-3+ | |||||||
| -1 | -2 | -3 | -4 | -5 | -6 | +6*8-4 +3*8-5+1*8-6≈165,410 |
Из 16-й системы в 10-ю:
| А | 5, | 62 | 62 | =10*161 +5*160+6*16-1 +6*16-2 +6*8-3+ | ||||
| -1 | -2 | -3 | -4 | -5 | -6 | +6*8-4 +6*8-5+6*8-6≈165,410 |
Задания:
1) Переведите числа 101,8 и 200,6 в 2-ю, 8-ю, 16-ю системы с точностью до 3-х знаков после запятой. Полученные результаты переведите в 10-ю систему.
2) Среди чисел 100011002, 2218, 9616 сколько меньше десятичного числа 13510 ?
Перевод из 8-й (16-й) системы счисления в 2-ю систему
Так как 8=23 и 16=24, то перевод чисел из 8-й (16-й) системы счисления в 2-ю систему можно упростить. Каждую 8-ю (16-ю) цифру надо перевести в 2-й вид и представить тремя (четырьмя) разрядами 2-го числа в соответствии с таблицей 1.
Таблица 1- Таблицы соответствия чисел 2-й и 8-й (16-й) систем
| 8-е цифры | 2-е числа | 16-е цифры | 2-е числа | 16-е цифры | 2-е числа | |
| А(10) | ||||||
| В(11) | ||||||
| С(12) | ||||||
| D(13) | ||||||
| E(14) | ||||||
| F(15) |
Пример 3. Перевести числа 265,128 и С4В,2516 в 2-ю систему счисления.
| 265,128= | 101, | 0102 | =10110101, 001012. | |||||||||
| 5, | ||||||||||||
| С4В,2516= | 1011, | 01012 | =110001001011, 001001012. | |||||||||
| C | B, | |||||||||||
Задания:
1) Записанное в 16-й системе число 3F, С в 2-й системе с точностью до 2-х знаков после запятой, это: 111111, 112; 1111111,012; 111101,102 или 111110,102? Выберите правильный ответ.
2) Записанное в 2-й системе счисления число 100011,112 какой вид будет иметь в 16-й системе с точностью до 2-х знаков после запятой?
3) Среди чисел 101100002, 16710, AF16 сколько чисел меньше 8-го числа 2618 ?
Рекомендуемая литература по теме практического занятия: ЭУК по информатике, раздел 3.1.
Представление информации в памяти ЭВМ
Теоретическое обоснование
Задача перевода информации естественного происхождения в компьютерную, называется задачей дискретизации или квантования. Информация физически хранится в триггере (элемент, обладающий двумя устойчивыми состояниями: одно соответствует 0, другое – 1), куда записывается один из разрядов 2-го числа. Так как число состоит чаще не из одного разряда, то для записи чисел используются различные разрядные сетки: 16, 32, 64 и т.д. разрядов, которые нумеруются справа налево. Рассмотрим представление в памяти ЭВМ информации числовой, текстовой, графической и звуковой.
Числовая информация. Числовая информация может быть целой и имеющей дробную часть (вещественная). Любое целое число можно представить как вещественное с нулевой дробной частью. Целые числа, в ЭВМ хранятся в формате с фиксированной запятой (точкой), а вещественные – с плавающей.
Числа с фиксированной точкой. Естественная форма записи чисел является форматом с фиксированной точкой. Например, числа с фиксированной точкой это 312.0, -514.0, 1023.0.
Алгоритм представления целых чисел:
1) Число взять по модулю и перевести в 2-й вид.
2) Выбрать разрядную сетку из k разрядов.
3) Дополнить 2-е число слева нолями до k-1 разрядов и записать в разрядную сетку.
4) В самый левый k-1-й разряд записать знак числа. Знак положительного числа обозначить 0-м в знаковом разряде, а отрицательного – единицей.
Например, в 16-й разрядной сетке числа 312.0, -312.0 имеют вид:
| Знак | Разряды | |||||||||||||||
| -312 |
Числа с плавающей точкой. Вещественные числа могут записываться с фиксированной или плавающей точкой, но в ЭВМ они будут представлены в формате с плавающей точкой. Например, число 312.25 представлено с фиксированной точкой, но его можно записать как 0.31225*103 =3122.3*10-1= =312.25*100 = … Такая форма представления называется экспоненциальной. При этом число Х записывается в виде
где ХР – запись числа в системе счисления с основанием Р; m– мантисса, n – порядок.
Так как экспоненциальных представлений числа может быть множество, то для компьютерного представления выбирается нормализованная запись. Нормализованной называетсяэкспоненциальная запись отличного от нуля вещественного числа,где n –целое число (положительное, отрицательное, или ноль), а т – правильная Р-ичная дробь, у которой первая цифра после запятой не равна нулю, т. е. 1/Р < т < 1.
Пример. Приведем примеры нормализации чисел:
1) 0 = 0.0 * 100 (возможная нормализация нуля);
2) 3.1415926 = 0.31415926 * 101;
3) 1000 = 0.1 * 104;
4) 0.00001078 = 0.107 *10 -4.
В компьютерном представлении вещественных чисел максимально допустимое количество цифр в мантиссе определяет точность, с которой может быть представлено число. Для записи нормализованных чисел в строку вместо системы счисления используется буква латинского алфавита Е, после которой записывается степень числа (порядок). Например, числа из предыдущего примера на экране будут иметь вид: 0.0Е+0, 0.31415926Е+1, 0.1Е+4, 0.107Е-4.
Разрядная сетка (например, 32-я разрядная) для чисел с плавающей точкой имеет вид:
| 4-й байт | 3-й байт | 2-й байт | 1-й байт | ||||||||||||||||||||||||||||
| Знак порядка | Знак мантиссы | Порядок | Мантисса | ||||||||||||||||||||||||||||
Например, представим число В=312.2510 в нормализованном виде с плавающей точкой В=312.2510=0.31225*103 . Переведем его в двоичный вид: мантисса будет равна 0.01001112, порядок 310=112. После нормализации мантисса будет равна 0.1001112, порядок будет равен 210=102.С помощью 32-х разрядной сетки в компьютерном виде это число имеет вид:
В знаковых разрядах стоят ноли, так как мантисса и порядок положительны, модуль порядка дополняется нолями слева, а модуль мантиссы справа (при этом их величина не изменится).
Для отрицательного числа С=-312.2510 разрядная сетка имеет вид:
Задания:
1) Электронная схема, запоминающая 1 бит информации, называется транзистор, диод, интегральная схема или триггер?
2) Какие из чисел 0.234Е-5, 7.234, -2.23Е-1, 10.456Е+6, -3.145, -5.78
являются числами с плавающей точкой, а какие с фиксированной? Как выглядят эти числа в нормализованном виде?
3) Представить числа 120, -120 в 16-разрядных сетках и 90.7, -90.7 в 32-разрядных.
Представление текстовых данных
Любой текст состоит из символов: букв, цифр, знаков препинания и т.д. Все символы при вводе кодируются числами – кодами соответствующих кодовых таблиц, текст представляется в виде набора кодов. Коды преобразуются в соответствующие символы (выполняется декодирование) при выводе их на устройства вывода. Все кодовые таблицы подчиняются международным стандартам кодирования символов. Традиционно для кодирования одного символа используется 1 байт=8 битам. При этом общее количество различных символов составляет 28=256, а коды символов имеют значения от 0 по 255. Основой для кодовых таблиц является американский стандартный код для обмена информацией ASCII из 128 символов (таблица 2). Из них первые 33 кода управляющие и соответствуют не символам, а действиям (перевод строки, удаление символа и т.д.), остальные коды – являются интернациональными и содержат символы латинского алфавита, цифры, знаки арифметических операций и препинания.
Таблица 2 - Базовая таблица кодировки ASCII
| 32 пробел | 48 0 | 64 @ | 80 Р | 96 ` | 112 p |
| 33! | 49 1 | 65 А | 81 Q | 97 а | 113 q |
| 34 “ | 50 2 | 66 В | 82 R | 98 b | 114 r |
| 35 # | 51 3 | 67 С | 83 S | 99 с | 115 s |
| 36 $ | 52 4 | 68 D | 84 Т | 100 d | 116 t |
| 37 % | 53 5 | 69 Е | 85 U | 101 е | 117 u |
| 38 & | 54 6 | 70 F | 86 V | 102 f | 118 v |
| 39 ‘ | 55 7 | 71 G | 87 W | 103 g | 119 w |
| 40 ( | 56 8 | 72 Н | 88 X | 104 h | 120 x |
| 41) | 57 9 | 73 I | 89 Y | 105 i | 121 у |
| 42 * | 58: | 74 J | 90 Z | 106 j | 122 z |
| 43 + | 59; | 75 К | 91 [ | 107 k | 123 { |
| 44, | 60 < | 76 L | 92 \ | 108 I | 124 | |
| 45 - | 61 = | 77 М | 93 ] | 109 m | 125 } |
| 46. | 62 > | 78 N | 94 ^ | 110 n | 126 ~ |
| 47 / | 63? | 79 0 | 95 _ | 111 0 |
Например, слово Time кодируется как 84, 105, 109, 101, а затем каждый код переводится в 2-ю систему счисления и записывается в разрядные сетки.
Для кодирования национальных алфавитов используются расширения таблицы ASCII, в которых с 128-й по 255-й код содержатся буквы национальных алфавитов, символов валюты и т.д. Для русского языка наиболее распространенными являются кодовые таблицы СР-866, Windows 1251(или CP-1251), КОИ-8, Мас, ISO.
Таблица 3 – Кодировка Windows 1251
| 128 Ђ | 144 ђ | 176 ° | 192 A | 208 Р | 224 а | 240 р | |
| 129 Ѓ | 145 ' | 161 Ў | 177 ± | 193 Б | 209 С | 225 б | 241 с |
| 130, | 146 ' | 162 ў | 178 I | 194 В | 210 Т | 226 в | 242 т |
| 131 ѓ | 147 " | 163 Ј | 179 i | 195 Г | 211 У | 227 г | 243 у |
| 132 „ | 148 " | 164 ¤ | 180 ґ | 196 Д | 212 Ф | 228 д | 244 ф |
| 133... | 149 • | 165 Ґ | 181 µ | 197 Е | 213 X | 229 е | 245 х |
| 134 † | 150 - | 166 | | 182 ¶ | 198 Ж | 214 Ц | 230 ж | 246 ц |
| 135 ‡ | 151 — | 167 § | 183 • | 199 3 | 215 Ч | 231 з | 247 ч |
| 136? | 152 ' | 168 Ё | 184 ё | 200 И | 216 Ш | 232 и | 248 ш |
| 137 %o | 153 ™ | 169 © | 185 № | 201 Й | 217 Щ | 233 й | 249 щ |
| 138 Љ | 154 љ | 170 Є | 186 є | 202 К | 218 Ъ | 234 к | 250 ъ |
| 139 < | 155 > | 171 « | 187 » | 203 Л | 219 Ы | 235 л | 251 ы |
| 140 Њ | 156 њ | 188 j | 204 М | 220 Ь | 236 м | 252 ь | |
| 141 Ќ | 157 ќ | 189 S | 205 Н | 221 Э | 237 н | 253 э | |
| 142 Ћ | 158 ћ | 174 ® | 190 s | 206 О | 222 Ю | 238 о | 254 ю |
| 143 Џ | 159 џ | 175 Ї | 191 ї | 207 П | 223 Я | 239 п | 255 я |
В настоящее время широкое распространение получил новый международный стандарт Unicode, который отводит на каждый символ не один, а два байта. Таким образом, можно закодировать не 256, а 216=65536 различных символов, т.е. алфавиты всех известных языков, математические символы и др.
Пример. Закодировать слово ЭВМв кодировкеWindows 1251.
| Э | В | М | |||||||||||||||||||||
Представление графических данных
Графическая информация может быть представлена в аналоговой (с бесконечным множеством значений, изменяющихся непрерывно) или дискретной (с конечным множеством значений) формах. При кодировании изображения производится его пространственная дискретизация, т.е. преобразование непрерывных форм изображений в набор дискретных значений в форме кодов. Изображение разбивается на отдельные графические точки (пиксели), причем каждому фрагменту присваивается код цвета. Совокупность используемых в наборе цветов образует палитру цветов. Чаще всего используются следующие цветовые модели:
- RGB(красный – зеленый – синий);
- CMYK (голубой – пурпурный – желтый – черный);
- HSB (цветовой оттенок – насыщенность – яркость).
Таким образом, при компьютерном представлении графической информации формируется растровое изображение из определенного количества строк пикселей. Качество изображения определяется разрешающей способностью монитора (количеством точек) и глубиной цвета. Разрешающая способность может быть, например 800х600, 1024х768 или 1280х1024. Глубина цвета задается количеством бит, используемых для кодирования цвета точки. Наиболее распространенные значениями глубины цвета являются 8, 16 (для модели High Color), 24 и 32 (для True Color). Количество цветов, отображаемых на экране монитора, вычисляется по формуле Хартли N=2I , где I – глубина цвета.
Для того чтобы на экране монитора формировалось изображение, информация о каждой его точке (код цвета пикселя) должна храниться в видеопамяти компьютера. Для вычисления объема видеопамяти для каждого из графических режимов:
V= I ∙ К, где К – количество точек, I – глубина цвета в битах.
Пример. Сколько килобайт дискового пространства понадобится для хранения изображения экрана разрешением 1024х768 пикселей с глубиной цвета 8 бит?
1) I=8 бит
2) К=1024 ∙ 768
3) Необходимый объем видеопамяти:
V = 1024 ∙ 768 ∙ 8 бит= (1024 ∙ 768 ∙ 8)/(1024 ∙ 8) Кбайт= 768 Кбайт
Задания:
1) Количество цветов, воспроизводимых на экране сотового телефона равно 1024, разрешение экрана 256х128. Определить минимальный объем требуемой видеопамяти.
2) Растровый графический файл, позволяющий представить изображение в режиме высококачественной графики (High Color), имеет объем 8000 бит. Чему равно максимальное число точек, данные о которых могут содержаться в этом файле?
Представление звуковых данных
Звук – звуковая волна с непрерывно меняющейся амплитудой и частотой. Чем больше частота сигнала, тем выше тон и чем больше амплитуда сигнала, тем он громче для человека. Частоту звука измеряют в герцах – количество колебаний в секунду. Человек способен воспринимать звук от 16 Гц до 20 КГц. Амплитуду называют звуковым давлением или силой звука, которая измеряется в единицах давления паскалях (Па). Это величина характеризует воспринимаемую громкость звука. Для воспроизведения звука компьютером непрерывный звуковой сигнал должен быть превращен в последовательность электрических импульсов. При этом непрерывная зависимость амплитуды сигнала от времени заменяется на дискретную последовательность уровней громкости. Глубина кодирования звука I – это количество бит, используемых для кодирования различных уровней сигнала. Количество различных уровней сигнала можно рассчитать по формуле Хартли: N=2I, где I – глубина звука. Современные звуковые карты обеспечивают 16-битную глубину кодирования звука и тогда N= 65536. Частота дискретизации М – количество измерений уровня звукового сигнала в единицу времени. Одно измерение за секунду соответствует частоте 1 Гц. Качественная радиотрансляция обеспечивается глубиной кодирования 8 бит и частотой дискретизации до 8 КГц. При частоте 48 КГц и глубине 16 бит – высококачественное звучание CD-диска (стереозвук –2 канала, моно –1 канал), а при 11 КГц и 8 битах – звук приглушенный. Для вычисления объема звуковой информации V= M ∙I ∙t, где t – время звучания (в секундах), М – в Гц, I – в битах.
Пример. Определитьобъем стереоаудиофайла в формате PCM с длительностью звучания 1 сек.
М=48 КГц=4800 Гц, I= 16 бит, t=1 сек
V= M ∙I ∙t= 48∙ 16 ∙ 1∙ 2(канала) =1536 бит = 192 байт.