Практическая работа № 1
Цель: рассчитать погрешности измерений с использованием коэффициента
Стъюдента
Задание: решить задачи по варианту, оформить отчет.
Методические указания к выполнению практической работы:
Пусть измеряемая имеет известное значение величина X. Естественно, отдельные, найденные в процессе измерения значения этой величины x1, x2, …xn заведомо не вполне точны, т.е. не совпадают с X. Тогда величина 
будет являться абсолютной погрешностью i -го измерения. Но поскольку истинное значение результата X, как правило, не известно, то реальную оценку абсолютной погрешности используя вместо X среднее арифметическое 
,
которое рассчитывают по формуле:
(1)
Однако при малых объемах выборки вместо предпочтительнее пользоваться медианой. Медианой (Ме) называют такое значение случайной величины х, при котором половина результатов имеет значение меньшее, а другая большее, чем Ме. Для вычисления Ме результаты располагают в порядке возрастания, то есть образуют так называемый вариационный ряд. Для нечетного количества измерений n мeдиана равна значению среднего члена ряда. Например, для n=3 
Для четных n, значение Ме равно полусумме значений двух средних результатов. 
Например, для n=4
Далее рассчитывают среднеквадратичную погрешность (стандартное отклонение выборки), являющуюся мерой разброса и характеризующую случайную погрешность определения:
(2)
Выборочное стандартное отклонение s зависит от объема выборки n и ее значение колеблется по случайному закону около постоянного значения генерального стандартного отклонения σ
Для расчета s пользуются неокругленными результатами анализа с неточным последним десятичным знаком. При очень большом числе выборки (n > 
) случайные погрешности могут быть описаны при помощи нормального закона распределения Гаусса.
При малых nраспределение может отличаться от нормального. В математической статистике эта дополнительная ненадежность устраняется модифицированным симметричным t -распределением. Существует некоторый коэффициент t, называемый коэффициентом Стьюдента, который в зависимости от числа степеней свободы (f) и доверительной вероятности (Р) позволяет перейти от выборки к генеральной совокупности.
Стандартное отклонение среднего результата определяется по формуле:
(3)
Разности между средним выборки и средним значением генеральной совокупности μ лежат в Р случаях в пределах, которые при помощи нормального распределения и связанного с ним t -распределения определяются следующим выражением:
(4)
Величина 
является доверительным интервалом среднего значения . Для серийных анализов обычно полагают Р = 0,95.
Таблица 1. значения коэффициента Стьюдента (t)
| f | ||||||||||||
| Р=0,90 | 6,31 | 2,92 | 2,35 | 2,13 | 2,02 | 1,94 | 1,90 | 1,86 | 1,83 | 1,81 | 1,80 | 1,78 |
| Р=0,95 | 12,7 | 4,30 | 3,18 | 2,78 | 2,57 | 2,45 | 2,36 | 2,31 | 2,26 | 2,23 | 2,20 | 2,18 |
| Р=0,98 | 31,8 | 6,97 | 4,54 | 3,75 | 3,37 | 3,14 | 3,00 | 2,90 | 2,82 | 2,76 | 2,72 | 2,68 |
| Р=0,99 | 63,6 | 9,93 | 5,84 | 4,60 | 4,03 | 3,71 | 3,50 | 3,36 | 3,25 | 3,17 | 3,11 | 3,05 |
Ход работы:
Решить задачи по варианту.
| Вариант 1 Задача 1. Из девяти определений содержания кобальта в пробе требуется подсчитать стандартное отклонение единичного анализа и доверительный интервал среднего значения Со %: 0,59; 0,58; 0,60; 0,57; 0,57; 0,59; 0,56; 0,57; 0,58. | Вариант 2 Задача 1. Из десяти определений содержания бария в пробе требуется подсчитать стандартное отклонение единичного анализа и доверительный интервал среднего значения Ва %: 0,79; 0,78; 0,80; 0,77; 0,77; 0,79; 0,76; 0,78; 0,77; 0,78. |
| Задача 2. Среднее из восьми измерений давления паров воды над раствором спирта при 20°С равно 3,04 кПа. Выборочное стандартное отклонение измерений s = 0,03 кПа. Определить ширину доверительного интервала для среднего из восьми и единичного измерения, отвечающего 95 % - й доверительной вероятности. | Задача 2. Среднее из десяти измерений давления паров воды над раствором соли при 20°С равно 1,02 кПа. Выборочное стандартное отклонение измерений s = 0,02 кПа. Определить ширину доверительного интервала для среднего из десяти и единичного измерения, отвечающего 95 % - й доверительной вероятности. |
Контрольные вопросы
1.От чего зависит точность измерений?
2.Какими причинами вызываются погрешности измерений, как их избежать?
3.Чем отличаются истинное и действительное значения физической величины?
4.Как можно уменьшить погрешность измерений?
5.Какова классификация средств измерений?
Пример 1. Из десяти определений содержания марганца в пробе требуется подсчитать стандартное отклонение единичного анализа и доверительный интервал среднего значения Mn %: 0,69; 0,68; 0,70; 0,67; 0,67; 0,69; 0,66; 0,68; 0,67; 0,68.
Решение. По формуле (1) подсчитывают среднее значение анализа
= 0,679.
Далее по формуле (2) находят стандартное отклонение единичного результата
По табл. 1 находят для f = n-1= 9 коэффициент Стьюдента (Р = 0,95) t = 2,26 и рассчитывают доверительный интервал среднего значения.
По табл. 1 находят для f=n-1=9 коэффициент Стьюдента (Р=0,95) t =2,26 и рассчитывают доверительный интервал среднего значения. Таким образом, среднее значение анализа определяется интервалом (0,679 ± 0,009) % Мn.
Пример 2. Среднее из девяти измерений давления паров воды над раствором карбамида при 20°С равно 2,02 кПа. Выборочное стандартное отклонение измерений s = 0,04 кПа. Определить ширину доверительного интервала для среднего из девяти и единичного измерения, отвечающего 95 % - й доверительной вероятности.
Решение. КоэффициентСтьюдента t для доверительной вероятности 0,95 и f = 8 равен 2,31.
Учитывая, что 
, найдем:
- ширина доверит. интервала для среднего значения
- ширина доверит. интервала для единичного измерения значения