в двоичную систему счисления

1. Основные понятия

1.1. Основные определения

Существует множество способов представления чисел. В любом случае число изображается группой символов. Такие символы называются цифрами, символические изображения чисел – кодами, а правила получения кодов – системами счисления (кодирования).

Все системы счисления подразделяются на позиционные и непозиционные.

Так, например, римская система счисления - непозиционная. В числах XI и IX значение обоих цифр одинаково, несмотря на их месторасположение.

Для примера рассмотрим число 22. Из двух написанных рядом цифр левая выражает число, в десять раз большее, чем правая. Таким образом, для написания цифр в десятичной системе имеет значение не только сама цифра, но и ее место, позиция.

Система счисления, которой мы пользуемся в настоящее время, носит название десятичной, так как она основана на счете десятками.

Для записи любых чисел в ней используется десять цифр: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.

Наименование системы счисления соответствует ее основанию (например, десятичной называется система счисления потому, что ее основание равно 10, т.е. используется десять цифр).

Система счисления, в которой записано число, указывается после числа в виде нижнего индекса. Например:

· число в десятичной системе: 37025₁₀;

· число в двоичной системе: 100101₂;

· число в троичной системе: 21102₃

· число в восьмеричной системе: 1347₈;

· число в шестнадцатеричной системе: В01AF₁₆

1.2. Формирование целых чисел в позиционных системах счисления

В каждой системе счисления цифры упорядочены в соответствии с их значениями: 1 больше 0, 2 больше 1 и т.д.

«Продвинуть цифру 1» значит заменить её на 2, «продвинуть цифру 2» значит заменить её на 3 и т.д. Продвижение старшей цифры (например, цифры 9 в десятичной системе) означает замену её на 0. В двоичной системе, использующей только две цифры – 0 и 1, продвижение 0 означает замену его на 1, а продвижение 1 – замену её на 0.

Целые числа в любой позиционной системе счисления формируются в соответствии со следующим правилом:

Применяя это правило, можно записать первые целые числа в различных системах счисления:

· в десятичной системе: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,…,19,20,21,…;

· в двоичной системе: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, …;

· в восьмеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12,…;

· в шестнадцатеричной системе:

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F, 10,11,12,…,19,1А,1В,…

1.3. Системы счисления, используемые в вычислительной технике

Двоичная система счисления. Для записи чисел используются только две цифры – 0 и 1. Выбор двоичной системы обусловлен тем, что основные радиоэлектронные элементы, использующиеся для создания вычислительной техники, могут находиться только в двух стабильных состояниях. С точки зрения работы этих элементов, их можно рассматривать как своеобразные «выключатели»: выключатель либо включен, либо выключен. Одно из состояний обозначается цифрой 1, другое – цифрой 0.

Учитывая эту конструктивную особенность вычислительной техники двоичная система стала стандартом при построении различных электронно-вычислительных машин (ЭВМ).

Восьмеричная система счисления. Для записи чисел используется восемь чисел 0,1,2,3,4,5,6,7.

Шестнадцатеричная система счисления. Для записи чисел в шестнадцатеричной системе используются шестнадцать символов. В качестве первых десяти используются те же, что и в десятичной системе, а для обозначения остальных шести цифр используются буквы латинского алфавита – A, B, C, D, E, F.

Таблица 1.1. Соответствие записи чисел в различных системах счисления.

1.4. Развернутая форма записи числа

Из курса математики известно, что цифры десятичной записи числа – это коэффициенты при представлении числа в виде суммы степеней основания системы счисления. Например:

246079 = 2*100000 + 4*10000 + 6*1000 + 0*100 + 7*10 + 9*1 =

= 2*10⁵ + 4*10⁴ + 6*10³ + 0*10² + 7*10¹ + 9*10⁰

При записи чисел значение каждой цифры зависит от ее положения. Место для цифры в числе называется разрядом, а количество цифр в числе – р азрядностью. Числа можно записывать как сумму степеней не только числа 10, но и любого другого положительного натурального числа – основания системы счисления.

Пример 1.

Записать в развернутой форме число 97512₁₀.

Решение: а₄ = 9, а₃ = 7, а₂ = 5, а₁ = 1, а₀ = 2, q=10

_{4 3 2 1 0}

97512₁₀ = 9*10⁴ + 7*10³ + 5*10² + 1*10¹ + 2*10⁰

Пример2.

Записать в развернутой форме число 112₃.

Решение: _{2 1 0}

112₃ = 1*3² + 1*3¹ +2*3⁰

2. Перевод чисел из одной системы счисления в другую

2.1. Перевод целых чисел из десятичной системы счисления в другие системы счисления

Пример1.

Перевести 26₁₀ в двоичную систему счисления (Х₁₀ →Х₂).

Решение:

Ответ: 26₁₀=11010₂

 

Пример2.

Перевести 19₁₀ в троичную систему счисления (Х₁₀ →Х₃).

Решение:

Ответ:19₁₀ =201₃

 

Пример3.

Перевести 241₁₀ в восьмеричную систему счисления (Х₁₀ →Х₈).

Решение:

Ответ: 241₁₀ = 361₈

 

Пример4.

Перевести 3627₁₀ в шестнадцатеричную систему счисления (Х₁₀ →Х₁₆).

Решение:

 

 

В шестнадцатеричной системе счисления 14₁₀ – Е, а 11₁₀ – В, получаем ответ Е2В₁₆.

Ответ:3627₁₀=E2B₁₆

Задание для самостоятельной работы.

Перевести числа из десятичной системы счисления в указанную:

 

1) 245₁₀→Х₂ 5) 404₁₀→Х₈

2) 1987₁₀→Х₂ 6) 673₁₀→Х₁₆

3) 161₁₀→Х₃ 7) 45348₁₀→Х₁₆

4) 333₁₀→Х₅ 8) 444₁₀→Х₇

2.2. Перевод дробных чисел, у которых целая часть равна нулю, из десятичной системы счисления в другие системы счисления

 

 

 

 

Пример1.

Перевести 0,5625₁₀ в двоичную систему счисления (Х₁₀→Х₂).

Решение:

Ответ: 0,5625₁₀ = 0,1001₂

Пример2.

Перевести 0,5625₁₀ в восьмеричную систему счисления (Х₁₀→Х₈).

Решение:

Ответ: 0,5625₁₀ = 0,52₈

 

Пример3.

Перевести 0,665₁₀ в двоичную систему счисления (Х₁₀→Х₂).

0, 665 * 2 1 330 * 2 0 660 * 2 1 320 * 2 0 640 * 2 1 280 ………….. * 2 0 5000 * 2 1 0000

Решение:

Процесс умножения может продолжаться до бесконечности. Его прерывают, когда получена требуемая точность представления числа.

Ответ: 0,665₁₀=0,10101₂

 

Задание для самостоятельной работы.

 

Переведите числа из десятичной системы счисления в указанную:

 

1) 0, 65625₁₀→Х₁₆

2) 0,7₁₀→Х₂ с точностью до 4 знаков после запятой

3) 0,4125₁₀→Х₈ с точностью до 6 знаков после запятой

2.3. Перевод произвольных чисел из десятичной системы счисления в другие системы счисления

 

 

Пример1.

Перевести 26,25₁₀ в двоичную систему счисления (Х₁₀→Х₂).

Решение:

1 этап: перевести целую часть; 2 этап: перевести дробную часть

Ответ:26,25₁₀=11010,01₂

Пример2.

Перевести 123,5625₁₀ в восьмеричную систему счисления (Х₁₀→Х₈).

Решение:

1 этап: перевести целую часть; 2 этап: перевести дробную часть

Ответ:123,5625₁₀=173,44₈

 

 

Задание для самостоятельной работы.

Переведите числа из десятичной системы счисления в указанную:

1) 173,5625₁₀→Х₂

2) 404,65625₁₀→Х₁₆

3) 125,25₁₀→Х₈

2.4. Перевод чисел в десятичную систему счисления из других систем счисления

 

 

 

Пример1.

Перевести число 110110₂ из двоичной системы счисления в десятичную.

Решение:

_{5 4 3 2 1 0}

1 1 0 1 1 0 ₂ = 1*2⁵ + 1*2⁴ + 0*2³ + 1*2² + 1*2¹ + 0*2⁰ =

= 32 + 16 + 0 + 4 + 2 = 54₁₀

Ответ: 110110₂ = 54₁₀

Пример2.

Перевести число 101,01₂ из двоичной системы счисления в десятичную.

Решение:

_{2 1 0 -1 -2}

1 0 1,0 1₂ = 1*2² + 0*2¹ + 1*2⁰ + 0*2^-1 + 1*2^-2 =

= 4 + 0 + 1 + 0 + 0,25 = 5,25₁₀

Ответ: 101,01₂ = 5,25₁₀

Пример3.

Перевести число 12201₃ из троичной системы счисления в десятичную.

Решение:

_{4 3 2 1 0}

1 2 2 0 1₃ = 1*3⁴ + 2*3³ + 2*3² + 0*3¹ + 1*3⁰ =

= 81 + 54 + 18 + 0 + 1 = 154₁₀

Ответ: 12201₃ = 154₁₀

 

Пример4.

Перевести число 234,6₈ из восьмеричной системы в десятичную.

Решение:

_{2 1 0 -1}

2 3 4,6₈ = 2*8² + 3*8¹ + 4*8⁰ + 6*8^-1 = 2*64 + 3*8 + 4 + 6*0,125 =

= 128 + 24 + 4 + 0,75 = 156,75₁₀

Ответ: 234,6₈ = 156,75₁₀

 

Пример5.

Перевести число 2Е₁₆ из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную.

Решение:

_{1 0}

2 Е₁₆ = 2*16¹ + 14*16⁰ = 32 + 14 = 46₁₀.

Ответ: 2Е₁₆ = 46_10.

 

Задание для самостоятельной работы.

Переведите числа из указанных систем счисления в десятичную:

 

1) 111100111₂ 3) 367,2₈

2) 1001110,11₂ 4) АВ2Е,8₁₆

2.5. Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления

 

Пример1.

Перевести число 11101010₂ в восьмеричную систему счисления.

Решение:

11101010

3 5 2

Ответ: 11101010₂ = 352₈

 

Пример2.

Перевести число 111110000010110₂ в восьмеричную систему счисления.

Решение:

111110000010110

7 6 0 2 6

Ответ: 111110000010110₂ = 76026₈

 

 

Пример3.

Перевести число 11100010₂ в шестнадцатеричную систему счисления.

Решение:

Е 2

Ответ: 11100010₂ = Е2₁₆

 

Пример4.

Перевести число 11110000010110₂ в шестнадцатеричную систему счисления.

Решение:

11110000010110

3 С 1 6

Ответ: 11110000010110₂= 3С16₁₆

 

 

Пример5.

Перевести число 111100001,0111₂ в восьмеричную систему счисления.

Решение:

111100001,0111

7 4 1 3 1

Ответ: 111100001,0111₂= 741,31₈

 

Пример6.

Перевести число 11101001000,11010010₂ в шестнадцатеричную систему счисления.

Решение:

11101001000,11010010

7 4 8 D 2

 

Ответ: 11101001000,11010010₂ = 748,D2₁₆

 

Задание для самостоятельной работы.

Переведите числа в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления:

 

1) 1101000101011₂

2) 100000011,000101110₂

3) 10010111011101,11101011₂

2.6. Перевод чисел из восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления

Пример1.

Сложить числа 111₂ и 10₂.

Решение: 111

+ 10

Проверка: 111₂ = 7₁₀, 10₂ = 2₁₀, 1001₂ = 9₁₀ 7 + 2 = 9

Ответ: 1001₂

Пример2.

Сложить числа 11111₂ и 111₂

Решение: 11111

+ 111

Проверка: 11111₂ = 1*2⁴ + 1*2³ + 1*2² + 1*2¹ + 1*2⁰ = 16+8+4+2+1 = 31₁₀

111₂ = 7₁₀

100110₂ = 1*2⁵ + 0 + 0 + 1*2² + 1*2¹ + 0 = 32 + 4 + 2 = 38₁₀

31 + 7 = 38

Ответ: 100110₂

Пример3.

Сложить числа 1111₂, 1011₂, 111₂.

Решение:

Ответ: 100001₂

Пример4.

Сложить числа 1111,101₂ и 101,11₂.

Решение:

Ответ: 1101,011₂

Задание для самостоятельной работы.

Выполните действия:

1) 11111001101₂+1111111₂ 3) 111,1101₂+101,0011₂

2) 101010111₂+111110₂ 4) 111,01011₂+101011,1111₂

3.2. Вычитание в двоичной системе счисления.

Пример1.

Из числа 1001₂ вычесть число 111_2.

Решение: _ 1001

111

Проверка: 1001₂ = 9₁₀, 111₂ = 7₁₀, 10₂ = 2₁₀, 9-7=2

Ответ: 10₂

Пример2.

Из числа 100001₂ вычесть число 111₂

Решение: _ 100001

111

Ответ: 11010₂

Пример3.

Выполнить действие: 100101,01₂ – 111,111₂

Решение: 100101,010

111,111

11101,011

Ответ: 11101,101₂

Задание для самостоятельной работы.

Выполните действия:

1) 11111001101₂-1111111₂

2) 101010111₂-111110₂

3) 111,1101₂-101,0011₂

4) 101011,1111₂ - 111,0101011₂

3.3. Умножение в двоичной системе счисления.

 

Пример1.

Умножить число 101₂ на число 110₂

Решение: 101

* 110

+ 101

101.

 

Ответ: 11110₂

Пример2.

Выполнить действие: 1011,01₂ * 111,11₂

Решение: 1011,01

* 111,11

+ 101101

101101,

1010111,0011

 

Ответ: 1010111,0011₂

Задание для самостоятельной работы.

Выполните действия:

1) 1001101₂ * 111₂ 2) 111,1101₂ * 101,0011₂

3.4. Деление в двоичной системе счисления.

 

 

Пример1.

Разделить число 101000101₂ на число 1101₂.

Решение:

101000101 1101

1101 11001

1101

0

Ответ: 11001₂

Пример2.

Выполните деление с точностью до 3 знаков после запятой числа 1001₂ на число 11₂

Решение:

1011 11

11. 11,1010

11

100

11

Ответ: 11,101₂

Задание для самостоятельной работы..

Выполните действия:

1) 101111001101₂:110101₂

2) Выполните деление с точностью до 4 знаков после запятой числа 1001₂ на число 101₂

Список литературы

1. Примерные программы по информатике и информационно-коммуникационным технологиям для общеобразовательных учреждений Свердловской области (для обучающихся II—XI классов): базовый уровень / Долинер Л.И., Кузнецова Г.Н., Шпарута Н.В. - Екатеринбург, ИРРО, 2007.

2. Информатика и ИКТ. Базовый курс: Учебник для 9 класса / И.Г.Семакин, Л.А.Залогова, С.В.Русаков, Л.В.Шестакова. – 2-е изд., испр. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006.

3. Информатика и информационные технологии. Учебник для 10–11 классов / Н.Д.Угринович. – 3-е изд. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006.