Вихрова Мария ЗНО-116
Понятие уравнение в программу начального курса математики не включено, однако практически все авторы учебников включают его в свою программу. При этом необходимо отметить, что отношение авторов к методике изучения понятия неоднозначно. Рассмотрим более подробно факты, в которых заключается данная неоднозначность.
1. Выбор времени знакомства младших школьников с понятием «уравнение». Существуют разные точки зрения в связи с поиском ответа на вопрос: в каком классе целесообразно познакомить младших школьников с уравнением.
Авторы одной точки зрения предлагают знакомить учащихся с уравнением как можно раньше и в процессе их решения осуществлять работу по усвоению детьми правил об арифметических действиях. Так считают авторы учебников математики Аргинская И.И., Моро М.И. и вводят понятие во втором классе.
Этой точки зрения также придерживаются авторы развивающего обучения Д.Б. Эльконин и В.В. Давыдов. Они предлагают знакомить учащихся с понятием уравнение с самого начала обучения курса математики, не используя зависимости между компонентами и результатами арифметических действий.
Авторы другой точки зрения считают, что приступать к решению уравнений нужно после того, как учащиеся усвоят необходимую терминологию и правила, которыми они будут пользоваться для решения уравнений. Такой точки зрения придерживается Истомина Н. Б. и вводит понятие уравнение только в четвертом классе.
2. Отношения методистов к раскрытию содержания понятия уравнение. В некоторых учебниках понятие раскрывается остенсивно, путем демонстрации объектов, входящих в объём понятия, в других дается строгое определение понятия, как в учебниках алгебры средней школы.
В учебнике второго класса Моро М.И. (УМК «Школа России») дается строгое определение: «Уравнение – это равенство, содержащее неизвестное число, которое надо найти». В этом определении зафиксированы существенные признаки понятия:
- равенство;
- наличие неизвестного числа.
Истомина Н.Б. (УМК «Гармония») знакомит детей с понятием уравнение интенсивно и контекстуально. Определения уравнения в учебнике не дано
Таким образом, понятие уравнение в учебниках математики авторы могут раскрывать как остенсивно, так и давая строгое определение.
3. Виды уравнений, рассматриваемые в учебниках начального курса математики.
1.Простые уравнения: х – а = b. Например, 7 – х = 2.
2. Усложненные уравнения:
- уравнения, в которых правая часть представляет числовое выражение: х – а = b: c. При решении подобных уравнений учащиеся вычисляют значение выражения в правой части, после чего уравнение сводится к простейшему. Например, х + 23 = 45 – 16;
- уравнения, в которых переменная находится в правой части: с = b + х. Например, 6 = x – 4.
3. Сложные уравнения:
- уравнения, в которых неизвестное находится в обеих частях (только в программе Аргинской). Например, 2· х – 8 = х + 5.
- уравнения, в которых переменная встречается в левой части несколько раз: aу + bу + z = c. Например, 5х + 3х + 28 = 60.
- уравнения, в которых неизвестное входит в состав выражения с переменной: (х + a) – b = c. Например, (12 - х) +10 = 18. При решении уравнений данной структуры дважды применяют правила нахождения неизвестных компонентов. Для верного решения важно правильно прочитать его, выяснить последнее действие, назвать компоненты, выделить каждый компонент, определить, что неизвестное входит в компонент, заданный выражением. В большинстве программ начальной школы решают простые и усложненные уравнения. Так как понятие уравнение в учебнике Истоминой Н. Б. вводится в четвертом классе, то в этой программе учащиеся решают все виды уравнений.
Термин «решение уравнения» употребляется в двух смыслах: обозначает число (корень), при подстановке которого в уравнение оно обращается в верное числовое равенство и сам процесс отыскания такого числа, т.е. способ решения уравнения. Раскроем второе толкование термина «решение уравнения».
4. Рассмотрим способы решения уравнений, преимущественно используемые в начальной школе:
- способ, основанный на подборе значений переменной;
- способ, основанный на знании состава числа;
- графический способ;
- способ, основанный на взаимосвязи части и целого;
- способ, основанный на взаимосвязи компонентов и результатом действий;
- способ, основанный на рассуждениях;
- способ, основанный на свойствах числовых равенств и неравенств.
Важно познакомить учащихся с разнообразием способов решения уравнений и формировать умение выбирать из них наиболее рациональный. Первый способ, с которым необходимо познакомить учащихся при решении уравнений в начальной школе - это способ подбора. Он основан на строгом определении уравнения, отражает общий смысл понятия уравнения.
Использование способа подбора формирует осознанный и материалистически верный подход к решению уравнений, т.к. ученик сразу ориентируется на то, что подобранное им при подстановке число обратит уравнение в верное числовое равенство. При подборе чисел в процессе решения уравнений ученик должен, прежде всего, подумать, с какого числа целесообразнее его начать. В ходе решения уравнения способом подбора необходимо следовать определенному алгоритму рассуждений.
Возможен следующий вариант рассуждений: «Читаем уравнение 9 + х =14. Будем пробовать подставлять вместо x числа 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Пробую число 1, оно не подходит, т. к. 9 + 1 = 9, при подстановке числа 1 уравнение не обратится в верное равенство, значит оно не подходит. Аналогично работаем с остальными числами, пока не найдем число, при подстановке которого уравнение обратиться в верное равенство. Если сразу дан правильный ответ, должна быть доказана его правильность.
Для проверки осознанности действий учащихся, можно задавать вопросы: «Почему х не может равняться 3?», «Докажите, что число 5 подходит.»
Для формирования умения использовать способ подбора можно предлагать задания вида: Из чисел 14, 1, 7, 5, 3 подбери для уравнения 9 + х = 14 такое значение х, при котором получится верное равенство.
Для проверки осознанности действий, задаем вопрос: «Почему нельзя подставить 7 или 14?» При использовании способа подбора на уроках математики в начальной школе у учащихся формируются умение оценить свою деятельность, способность анализировать записанное уравнение, что создает благоприятные условия для решения уравнений в дальнейшем. Однако использование этого способа ограничено, т.к. работать с ним целесообразно только при решении уравнений в состав которых, входят числа в пределах 20.
Также в начальной школе при решении уравнений с небольшими числами удобно использовать способ, основанный на знании состава числа. Алгоритм рассуждений в ходе решения предложенного выше уравнения 9 + х = 14 будет следующим: «14 – это 9 да еще 5. Таким образом выясняем, что вместо х можно поставить число 5». Способ, основанный на взаимосвязи части и целого является для учащихся тем удобным и надежным инструментом, который позволяет им легко решать уравнения с неизвестным слагаемым, уменьшаемым, вычитаемым. Используя этот способ, целесообразно рассуждать так: «Читаем уравнение 9 + х = 14, соотносим его с понятиями – часть, часть, целое. Неизвестное – часть. Применяем правило: чтобы найти неизвестную часть, нужно из целого вычесть известную часть. Из 14 вычитаем 9 получается 5. Неизвестная часть равна 5. Проверяем себя, сложив части. К 9 прибавим 5 получим целое – 14». В некоторых учебниках для соотношения уравнения с понятиями части и целое используют специальные обозначения. Части обозначают Δ, целое. При этом дети рассуждают так: «Читаем уравнение 9 + х = 14. 9 – часть, обводим Δ, х – часть, обводим Δ, 14 – это целое обводим. Неизвестное – это часть. Применяем правило нахождения неизвестной части. Из 14 вычитаем 9 получается 5. Неизвестная часть равна 5. Проверяем себя, сложив части. К 9 прибавим 5 получим целое – 14».
Однако для решения уравнений, в которых неизвестным является множитель, делимое или делитель указанный способ использовать сложнее, поэтому в большинстве учебников используют другие способы для решения таких уравнений. Продолжают использовать способ, основанный на взаимосвязи частей и целого только в программе Д.Б. Эльконина – В.В. Давыдова. Например, при решении уравнения х • 3 = 15, учащиеся приводят следующие рассуждения: «х – это часть, 3 показывает сколько раз повторили эту часть. 15 – это целое. Значит, чтобы найти часть, нужно 15 разделить на 3». В учебнике Л. Г. Петерсон для решения приведенного выше уравнения, используют связь между длиной сторон и площадью прямоугольника. В большинстве же учебников (Аргинская И.И., Моро М.И., Чекин А.Л.) используют способ, основанный на взаимосвязи компонентов и результата действий.
Приведу пример рассуждения учащихся, основанном на этом способе, при решении уравнения 9 + х = 14: «В данном уравнении неизвестно слагаемое. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое. Следовательно, из 14 вычитаем 9. Находим х = 5. Проверим правильность найденного корня. Подставим 5 в уравнение, получим 9 + 5 = 14. В левой части сумма чисел 9 и 5 равна 14 и равна 14 в правой части. При подстановке 5 в уравнение, получили верное равенство, значит корень найден правильно».
Некоторые учащиеся испытывают затруднение, применяя способ, основанный на взаимосвязи компонентов и результата действий. Трудность заключается в том, что для правильности выполнения решения на основе этого способа необходимо знать название 10 компонентов арифметических действий и 6 правил их нахождения. Многие учащиеся путают правила взаимосвязи компонентов действий и названия компонентов. После того, как учащиеся научатся решать простейшие уравнения, им предлагаются усложненные уравнения, для нахождения неизвестного компонента, в которых необходимы определенные преобразования. При решении уравнений вида: х + 30 = 12 • 9 учащиеся рассуждают так: «Вычисляем значение выражения в правой части. Уравнение сводим к простейшему. В уравнении х + 30 = 108, неизвестно слагаемое. Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое. Значит, 108 – 30 = 78. Находим х = 78». На протяжении длительного периода учащиеся упражняются в чтении, записи, решении и проверке таких уравнений, причем в левую и правую части их включаются простейшие выражения всех видов в различных сочетаниях. Наиболее сложными являются уравнения, в которых один из компонентов – выражение, содержащее неизвестное число, например, (х + 9) – 14 = 15. При решении уравнений данной структуры приходится дважды применять правила нахождения неизвестных компонентов. Для решения таких уравнений необходимы знания порядка выполнения действий в выражении, умения выполнять простейшие преобразования выражений, а также умение читать сложные выражения.
При решении данного уравнения рекомендуется следовать памятке:
- правильно прочитать уравнение;
- выяснить последнее действие;
- назвать компоненты;
- вспомнить правило нахождения неизвестного компонента;
- применить сформулированное правило и найти неизвестный компонент;
- прочитать преобразованное уравнение;
- назвать компоненты;
- вспомнить правило нахождения неизвестного компонента;
- применить сформулированное правило и найти неизвестный компонент;
- прочитать ответ;
- сделать проверку решения уравнения.
Покажу, как можно пользоваться этой памяткой при решении уравнения, представленного выше: «Читаю уравнение (х + 9) – 14 = 15. В левой части записана разность, т.к. выражение в скобках считаем единым неизвестным компонентом. В данном уравнении неизвестно уменьшаемое.
Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое. Следовательно, х + 9 = 15 + 14. Получаем простейшее уравнение вида: х + 9 = 29. В данном уравнении неизвестно слагаемое. Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое. Значит, 29 – 9 = 20. Находим х = 20. Проверим правильность найденного корня уравнения. Подставим числовое значение переменной в уравнение, получим выражение вида: (20 + 9) – 14 = 15. В левой части находим значение выражения равное 15. Сравним со значением в правой части: 15 = 15. При подстановке числа 20 в уравнение, получилось верное равенство. Значит, корень уравнения найден правильно».
Способ на основе рассуждений без выполнения арифметических действий очень редко используется учителями в начальной школе. Именно этот способ помогает детям обобщить знания, приобретенные в начальном курсе математике.
Пример рассуждения, при решении уравнения вида 700: с = 700 может выглядеть следующим образом: «Если число разделим на 1, то получим это же число. Рассуждение основано на правиле умножения и деления на 1».
В уравнении (15 – х) • 36 = 36 значение разности должно быть равно единице, по правилу умножения на 1. Значит, 15 – х = 1. Выясним, какие числа отличны от 15 на 1 – это 14 и 16, число 16 не подходит, значит х = 14.
Таким образом, в начальной школе понятие уравнение, как видно из вышеизложенного, может вводиться по-разному. Учащиеся рассматривают разного вида уравнения и знакомятся с разными способами их решения. Учителю необходимо знать все способы решения уравнений и учить детей пользоваться этими способами при решении уравнений.
В ходе изучения понятия уравнение, как и любого другого математического понятия выделяют такие этапы работы, как подготовительный, основной и этап закрепления. Рассмотрим их более подробно.
Первый этап – подготовительный. Цель данного этапа: актуализировать знания, необходимые для знакомства с новым понятием.
Поэтому перед знакомством с понятием уравнение обучающиеся должны вспомнить верное и неверное числовые равенства, выражение с переменной, правила взаимосвязи между результатом и компонентами действия и повторить применение этих правил при выполнении заданий.
Задача подготовительного этапа состоит в том, чтобы Большинство программ на этом этапе рассматривают деформированные упражнения вида: + 4 = 7. Чтобы найти неизвестное число в данном примере дети могут опираться на знание состава числа или использовать способ подбора чисел.
Следует обратить внимание, что в зависимости от формулировки задания к такому упражнению, оно будет нацелено или на повторение состава числа, или на подготовку к решению уравнений.
Например, такая формулировка задания: «Какое число надо поставить на место «окошка»?», направлена на повторение состава числа 7, т.к. при ответе на этот вопрос обучающиеся рассуждают: «Семь – это четыре, да еще 3».
Если задание звучит следующим образом: «Какое число можно поставить на место «окошка», чтобы получилось верное равенство? Почему нельзя поставить 7, 5 или 4?», то это будет подготовкой к решению уравнений, т.к. при выполнении задания обучающиеся анализируют полученное равенство и объясняют почему в «окошко» нельзя подставить предложенные числа.
Однако некоторые ученики при выполнении рассматриваемого выше упражнения + 4 = 7, уже могут предложить для нахождения неизвестного связь между результатом и компонентами действия сложения. «Окошко» стоит на месте первого слагаемого, а значит оно неизвестно. Чтобы найти первое слагаемое, нужно из суммы вычесть второе слагаемое. В ходе таких рассуждений при выполнении деформированных упражнений дети привыкают к мысли, что неизвестным может быть один из компонентов арифметического действия.
Таким образом, можно сделать вывод, что в большинстве программ авторы переходят к содержанию понятия уравнение, используя деформированные упражнения.
Второй этап, является основным, на нем проводится работа над определением понятия. Цель данного этапа: сформировать представление об уравнениях, их существенных признаках и решении уравнений.
Первая задача, стоящая перед учителем, познакомить обучающихся с определением уравнения. Как уже отмечалось ранее, подходы авторов учебников начального курса математики к определению понятия уравнение различны. В некоторых программах (Моро М.И., Аргинская И.И., Петерсон Л.Г.) дается определение понятия, но есть программы (Истомина Н.Б., Чекин А.Л.), в которых понятие вводится остенсивно.
Важно отметить, по какой бы программе не работал учитель, дано ней строгое определение понятия или нет, ему необходимо продумать, какие математические объекты необходимо подобрать, чтобы ученики уяснили содержание изучаемого понятия. При подборе таких объектов важно, чтобы в них повторялись существенные признаки понятия и варьировались несущественные признаки. В противном случае это может привести к ошибкам в усвоении понятия уравнение.
Для уяснения понятия обучающимся необходимо предлагать упражнения на распознавание уравнений. К сожалению, не во всех учебниках можно встретить такие задания. В то время, как упражнения такого вида позволяют детям уяснить существенные признаки понятия уравнение такие, как:
- является равенством;
- содержит переменную, значение которой неизвестно и его надо найти.
А также варьируют несущественными признаками понятия «уравнение» такими, как:
- числа;
- буква, обозначающая переменную;
- знаки арифметических действий.
После знакомства учеников с понятием «уравнение» и овладением знаний о существенных признаках понятия, учитель показывает разные формы чтения, учит записывать уравнения по диктовку и разбирает понятие «решение уравнения». Как уже отмечалось ранее это понятие рассматривается с двух точек зрения. В данном случае имеем в виду процесс решения уравнения.
Первоначально дети при решении уравнений используют способ подбора. Ведь именно этот способ позволяет понять обучающимся смысл понятия «корень уравнения». Позднее дети знакомятся с другими способами решения уравнений. Наиболее распространенным из них является способ, основанный навзаимо связи компонентов и результата действий. Для того, чтобы ученикам легко было справляться с решением уравнений на первых уроках, целесообразно вместе с ними составить памятку объяснения решения уравнения, которая может иметь такой вид:
1. Читаю уравнение…
2. Вспоминаю правило, как найти неизвестное число…
3. Вычисляю…
4. Проверяю…
5. Называю ответ…
Эффективным показателем усвоения понятия, является, то, что обучающиеся полностью овладеют содержанием понятия, знанием его связей и отношений с другими понятиями, а также умением оперировать полученными знаниями в решении задач.
На этапе закрепления повышается самостоятельность учащихся при решении уравнений. Усложняется структура уравнений и включатся задания, содержащие разные виды уравнений.
На этом этапе обучающиеся дополняют алгоритм объяснения решения уравнения в зависимости от его вида, выполняют такие предметные учебные действия, как:
- распознавание уравнения.
Например, найди и выпиши уравнения: 9 + 7 = 16, х – 9 = 5, 7 + 6 <16,
14 – k = 8, 15 – 8 <10, a + 3 = 12;
- сравнение с равенствами, неравенствами и другими уравнениями.
Например, 7 + 6 <16, 14 – k = 8, 9 + 7 = 16. Подумай и скажи, чем похожи эти записи и чем они отличаются;
- решение уравнений.
Например, реши уравнения: х + 12 = 24, х + 40 = 56 + 32, 5 • х – 10 = 290;
- составление уравнений по схеме, картинке, задаче.
Например, составь уравнение по рисунку и реши его.
- проверка правильности решения уравнения.
Например, Миша решил уравнение: 8 • 3 + х = 26
(26 – х): 3 = 8
26 – х = 8 • 3
26 – х = 24
х = 2.
Докажи или опровергни, что его решение верное. Все они направлены на закрепление знаний о понятии уравнение.
Приведем примеры фрагментов уроков, на которых начинается знакомство обучающихся с понятием уравнение.
На уроке, перед введением понятия «уравнение» обучающиеся знакомятся с понятием «выражение с переменной». Познакомить можно следующим образом.
- Ребята, прочитайте текст учебника: «Миша поймал 15 карасей, а кот Барсик опрокинул ведро, и несколько карасей снова оказались в воде».
- Можем ли мы сказать, сколько карасей осталось в ведре? А сколько карасей оказалось в воде?
- Что в тексте сказано про карасей, оказавшихся в воде? Можем ли мы сказать сколько их? (нет)
- Да, это число мы не знаем и не можем узнать с помощью пересчета. Это неизвестное нам число.
- Неизвестное в математике принято обозначать с помощью латинских букв.
- Какие мы знаем буквы латинского алфавита? (а, b, c, d, e, f …)
- Сколько карасей поймал Миша? (15)
- Сколько карасей уплыло, когда Барсик опрокинул ведро? (неизвестно)
- Обозначим это число латинской буквой с, значит сколько карасей уплыло? (с)
- Как на языке математики мы можем записать эту ситуацию? (15 – с)
-Такую запись в математике принято называть «выражение с переменной».
- Чем такое выражение отличается от числового выражения? (содержит букву)
- Как можно обозначить неизвестное число? (буквой)
- Потренируемся записывать такие выражения.
- Запишите сумму, в которой: первое слагаемое равно 345, а второе неизвестно; оба слагаемых неизвестны, но равны между собой.
- Запиши разность, в которой: уменьшаемое равно 286, а вычитаемое неизвестно; уменьшаемое неизвестно, а вычитаемое равно 459; уменьшаемое и вычитаемое неизвестны, но равны между собой.
- Чему равно значение последней разности?
Обучающиеся также учатся находить значения выражений с переменной при заданном значении буквы.
На уроке знакомства с понятием уравнение работу можно провести следующим образом.
- Чаще всего для обозначения неизвестного числа используют букву х.
- Запишите в рабочих тетрадях выражение: 1-ое слагаемое неизвестно, второе 15.
(х + 15)
- Как можно назвать это выражение? (Сумма)
- Как еще? (выражение с переменной)
- Почему? (в его записи есть неизвестное слагаемое)
- Дополните эту запись, чтобы она стала равенством.
- Как вы можете это сделать? (Поставить знак равенства и записать после знака
«=» число.
- Какие числа можем записать?
Дети могут предложить разные варианты. Поэтому целесообразно уточнить у них:
- Любое ли число можно записать после знака равенства?
- Можем ли мы дополнить запись числом 10, 13? Почему?
- Каким должно быть это число?
Тем самым показать, что результат сложения не может быть меньше одного из слагаемых.
- Давайте выберем одно из предложенных вами чисел.
(х + 15 = 40)
- Можно ли сказать, что данная запись является числовым равенством? (нет)
- Почему? (В его записи есть неизвестное.)
-Как же тогда назвать такое равенство, в котором есть неизвестное? (равенство с неизвестным)
- В математике для таких записей есть специальное название. Равенство, содержащее неизвестное, называется уравнением.
- Давайте составим памятку, которая поможет нам находить уравнения среди других математических записей.
Уравнение
Равенство Содержит неизвестное число
- По каким признакам мы с вами будем узнавать уравнение? (Является равенством и содержит неизвестное, которое надо найти.)
- А теперь скажите, как вы поняли, что такое уравнение?
- Посмотрите на доску. 7 + х <16. Могу ли я такую запись назвать уравнением?
- Почему? (запись – не равенство)
- 7 + 9 = 16. Могу ли я эту запись назвать уравнением? Почему?
(нет неизвестного)
- Как одним словом можно назвать следующие записи? (уравнения)
5 + х = 9 d + 13 = 25
у – 7 = 8 25 – с = 18
- Чем похожи эти записи? (все равенства, содержащие неизвестное число)
- Такие признаки принято считать важными, существенными признаками уравнения.
- Чем отличаются? (в их записи разные буквы, числа, знаки)
- Эти признаки для уравнения не важны. Если мы изменим в уравнении букву на другую, или поменяем числа, оно не перестанет от этого быть уравнением.
- Значит, по каким признакам мы будем отличать уравнения от других записей? (по существенным признакам)
- Вернемся к уравнению, которое мы составили в начале х + 15 = 40.
- Чему в уравнении равен х? (25)
- Почему? (Когда поставили его на место неизвестного, получили верное числовое равенство.)
- Такие числа принято назвать корнем уравнения.
- Подумайте и сформулируйте, что такое корень уравнения.
- Корень уравнения – это число, при подстановке которого в уравнение вместо х получается верное числовое равенство.
- Посмотрите на доску. 38 – d = 20
- Что на ней вы видите? (уравнение)
- Докажите, что это уравнение. (называют существенные признаки)
- Какое из чисел – 8 или 18 – является корнем этого уравнения?
- Что для этого нужно сделать? (Подставить вместо d эти числа.)
- Каким должен быть результат? (Должно получится верное числовое равенство.)
- При подстановке какого из этих чисел в уравнение получилось верное равенство?
- Назовите число, которое является корнем этого уравнения.
- Сравните два уравнения, с которыми мы работали сегодня на уроке.
х + 15 = 40 и 38 – d = 20.
- Чем они отличаются? (Содержат разные буквы, числа, знаки.)
- А чем похожи? (Есть неизвестное, оба являются равенствами.)
- Какие из этих признаков важны нам для распознания уравнения среди других математических записей?
- Давайте сделаем вывод.
- Чем же похожи все уравнения и чем они отличаются?
Таким образом, я проанализировали этапы работы с понятием уравнение и показали, как на уроках можно организовать работу по знакомству с этим понятием. На первых уроках очень важно, чтобы дети уяснили существенные признаки понятия «уравнения» и научились распознавать уравнения, пользуясь этими признаками. Учителю необходимо продумать те объекты и методические приемы, которые он будет использовать на этих уроках, не забывая при этом варьировать несущественными признаками рассматриваемого понятия.
Ниже рассмотрим анализа программ.
В учебнике Моро М.И. (УМК «Школа России») в первом классе учащиеся знакомятся с таким важным математическим понятием, как переменная в теме "Числа от 1 до 10", после введения названий компонентов и результатов сложения и вычитания. Во втором классе, вводится буквенное обозначение переменной и само понятие уравнение. Постепенно, во втором классе, решая так называемые "примеры с окошком" вида: + 2 = 6, – 3 = 6 или 10 – = 5, учащиеся знакомятся с простейшими уравнениями.
В основном программы при знакомстве с понятием уравнение используют прием перехода от решения задания с «окошком» к введению нового термина. И в данном учебнике знакомство с понятием происходит в процессе выполнения задания: «К какому числу надо прибавить 4, чтобы получилось 12». Составляется равенство с «окошком» + 4 = 12. Даётся определение: «Уравнение – это равенство, содержащее неизвестное число, которое надо найти». Объясняется, что вместо «окошка» в математике принято писать латинскую букву.
В рассматриваемой программе идёт поэтапное формирование понятия уравнение:
1 класс. В качестве обозначения компонентов действий сложения и вычитания используется пустое «окошко». Решаются деформированные задания вида: + 3 = 7, 8 – = 2, 1 + = 6.
2 класс. Решение уравнений вида 58 – х = 27, х – 36 = 23, х + 38 = 70 на основе знания взаимосвязей между компонентами и результатами действий.
3 класс. Решение уравнений вида х · 6 = 72, х: 8 = 12, 64: х = 16 на основе знания взаимосвязей между результатами и компонентами действий.
4 класс. Решение уравнений вида х + 312 = 654 + 79, 360: х = 360: 7 на основе взаимосвязей между компонентами и результатами действий.
На основе вышесказанного можно сделать вывод, что при решении разного вида уравнений в данной программе основным является способ, основанный на взаимосвязи компонентов и результата действий.
Продемонстрирую, какие задания, раскрывающие действия, направленные на усвоение понятия уравнение представлены в учебнике Моро М.И. и их количественное соотношение.
| Действия, направленные на усвоение понятия уравнение | Количество заданий (шт.) | ||
| 2 класс | 3 класс | 4 класс | |
| Распознавание | |||
| Сравнение уравнений с неравенствами и другими уравнениями | |||
| Решение уравнений | |||
| Проверка правильности решения уравнения | |||
| Составление уравнений | |||
| Получение следствий |
Приведу примеры вышеперечисленных упражнений из учебника М.И. Моро:
- найди среди записей уравнение и реши его: 34 + х, 78 – 25 =53, х + 3 > 2, х – 19,
х – 6 = 54.
- сравни уравнения каждой пары. В каком из них значение х будет больше.
х • 2 = 8 х: 2 = 7
х: 2 = 18 х • 2 = 14
- выпиши и реши те уравнения, которые решаются сложением.
- реши уравнения, в которых неизвестное число можно найти вычитанием:
х – 480 = 520 540 – х = 260
290 + х = 760 х – 420 = 20
- из чисел 7, 5, 1, 3 подбери для каждого уравнения такое значение х, при котором получится верное равенство: 9 + х = 14, х+7=10, х+5=6, х+3=4
- реши уравнения, подбирая значения х.
24 + х = 25 18: х = 3 7 • х = 14
- реши уравнения: 48: х = 92: 46 х: 10 = 600 + 60
- найди уравнения, которые ты пока не можешь решить. Исправь их и реши.
78 + х = 40 х -23 = 60 50 – х = 64
- найди значения х в уравнениях.
- объясни решение уравнения и его проверку: х: 5 = 15
х = 15 • 5
х = 75
75: 5 = 15
15 = 15;
- выпиши те уравнения, решением которых будет число 10: х + 8 = 18, y – 3 = 7,
47 – y = 40, 50 – х = 40, y – 8 = 2, х + 3 = 13;
- проверь, правильно ли решены уравнения:
х + 6 = 38 х: 6 = 18 • 5
х = 38 – 6 х: 6 = 90
х = 32 х = 90 • 6
х = 540
- какие числа надо записать в окошки, чтобы получить уравнения, которые ты сможешь решить? х + = 36;
- используя числа 12, х и 9, составь различные уравнения и реши их.
Также в учебнике встречаются задания, направленные на отработку правил, которые используют при решении уравнений. Например:
Встречаются также задания на обобщение теоретических знаний. Например:
Но таких упражнений в учебнике М.И. Моро крайне мало.
В данном учебнике наиболее распространенными являются задания: «Реши уравнения», как видно из вышеприведенной таблицы. Задания, раскрывающие другие действия, направленные на усвоение понятия уравнение,встречаются реже. Аргинская И.И. (УМК Л.В.Занкова) с первого класса предлагаю пронаблюдать за изменением результата изученных арифметических действий при изменении одного или двух компонентов этих действий, как элемент алгебраической пропедевтики. Учащиеся учатся находить пропущенные, неизвестные числовые значения движением по натуральному ряду, подбором, с помощью таблицы сложения, на основе связи между сложением и вычитанием.
Обучающиеся знакомятся с понятием «уравнение» во втором классе путем выполнения задания: «Составь по рисункам математический рассказ о карандашах. Запиши действие и его результат». Сравнивают свои записи с образцом учебника 3 + = 9, определяют наличие в выражении неизвестного числового значения. Неизвестные числа обозначают буквами х, у, z. Уравнение определяется как равенство, в котором есть неизвестное число, обозначенное буквой. Постепенно учатся решать уравнения вида: х + а = b, а – х = b, х – а = b.
Данной программа имеет следующее содержание:
1 класс. Введение деформированных заданий, в которых, в качестве обозначения компонентов действий сложения и вычитания используется пустое «окошко» или «*».
2 класс. Решение уравнений вида: х + а = в, а – х = в, х – а = в различными способами (подбором, движением по натуральному ряду, с помощью таблицы сложения). Решение уравнения вида: а • х = в, а: х = в, х: а = в в пределах табличных случаев.
3 класс. Знакомство с уравнениями вида: а ± х ± в = с и другими такого же уровня сложности. Знакомство с уравнениями вида: а • х ± в = с, (а ± в): х = с и другими такого же уровня сложности.
4 класс. Изучение свойств равенств и их использование для решения уравнений. Знакомство с уравнениями, содержащими неизвестное в обеих частях. Решение таких уравнений.
На основе вышесказанного можно сделать вывод, что при решении разного вида уравнений в данной программе используются способ, основанный на взаимосвязи результата и компонентов действий, способ подбора, а в четвертом классе вводится способ, основанный на свойствах числовых равенств.
Последний способ используется в начальном курсе математики только в системе Занкова.
Продемонстрирую, разнообразие заданий, раскрывающих действия, направленные на усвоение понятия уравнение представлены в учебнике Аргинской И.И. и их количественное соотношение.
| Действия, направленные на усвоение понятия уравнение | Количество заданий (шт.) | ||
| 2 класс | 3класс | 4 класс | |
| Подведение под понятие | |||
| Распознавание | |||
| Сравнение | |||
| Решение уравнений | |||
| Составление уравнений | |||
| Проверка правильности решения уравнения | |||
| Получение следствий |
Подробнее рассмотрим примеры таких заданий:
- подчеркни в каждом уравнении неизвестные числа:
16 – е = 9 12 – х = 4 17 – n = 9
Как называется каждое из них;
- сравни пары уравнений.
9 + х = 19 у + 7 = 15 е + 4 = 11
19 – х = 9 15 – у = 7 11 – е =4
Какая связь между ними? Реши верхние уравнения каждого столбика.
Найденные числа будут решениями нижних уравнений в столбиках? Проверь;
- найди и выпиши уравнения 9 + 7 = 16, х – 9 = 5, 7 + 6 <16, 14 – k = 8, 15 – 8 <10,
a + 3 = 12;
- найди уравнения, которые имеют одинаковые корни: 19 – х = 17, а + 3 = 12,
28 – с = 19, 25: у = 5;
- Посмотри, как Таня и Юра решали уравнение 2 + х =7.
Проверь решения Тани и Юры. Реши уравнения способом Тани или Юры
5 + у = 9 z + 3 = 8;
- реши уравнение 7 + х = 9, используя отрезок натурального ряда чисел;
- выпиши из таблицы сложения равенства, которые помогут решить уравнение
3 + z = 6;
- по проверке: 35: (15 – 64: 8) = 5, 5 = 5, составь уравнение и реши его;
- Красная Шапочка предложила Волку отгадать загадку: «Я нарвала в подарок бабушке цветы – ромашки и васильки. В букете 11 цветов, из них 3 ромашки.
Сколько васильков в букете?» Волк не смог отгадать. А ты?
Составь к загадке уравнение и реши его;
- составь уравнения по рисункам и найди массу животных;
- составь уравнения по схеме и реши их.
- не решая уравнения, запиши их в порядке уменьшения корней х – 5 = 14,
а – 5 = 12, z – 5 = 17, с – 5 = 9. Проверь себя найди корни;
- как связаны между собой уравнения?
9х – 2х = 84, (9 – 2)х = 84, 7х = 84
Какое свойство умножения здесь использовано. Также в учебнике Аргинской И.И. встречаются упражнения, связанные с применением правил нахождения компонентов действий и порядка выполнения действий, задания, направленные на повторение свойств арифметических действий и свойств равенств. Например:
Истомина Н.Б. (УМК «Гармония») знакомит детей с понятием уравнение в четвёртом классе, так как считает, что приступать к решению уравнений нужно после того, <