ЗАДАНИЕ
1 Студент гр. 06ЕП1 факультета ФЕНР специальности 230401
Резаков Максим Александрович
(фамилия, имя, отчество)
2 Руководитель проекта доцент, к.ф.-м.н. Т.В. Елисеева
3 Время дипломного проектирования с 28.03.2011 г. по 03.07.2011 г.
4 Место преддипломной практики Кафедра ВиПМ ПГУ
5 Тема проекта Обратные задачи о структуре нестационарного температурного поля в кусочно-однородных средах
Тема утверждена приказом по ПГУ № 328/о от «30 » марта 2011 г.
6 Техническое задание на проект (назначение устройства, условия применения, внешние воздействия, специальные требования и т.п.)
1. Должна быть рассмотрена ретроспективная задача теплопроводности для бесконечного стержня с точками сопряжения в аналитическом виде
2. Необходимо рассмотреть операторы преобразования, связывающие задачи для однородных и неоднородных структур
3. Рассмотреть известные методы решения интегральных уравнений в свёртках
4. Построить алгоритмы решения для программной реализации
5. Должна быть оценена сложность построенного алгоритма
6. С использованием разработанных программ привести сравнительную оценку методов получения решения ретроспективной задачи для бесконечного стержня с точками сопряжения
7 Объем и содержание основной части проекта
7.1 Пояснительная записка (перечень вопросов, расчетов, обоснований, описаний)
1. Постановки прямых задач для уравнения параболического типа
2. Постановки обратных задач для уравнения параболического типа
3. Итерационные методы решения интегральных уравнений в свёртках
4. Методы регуляризации Тихонова для решения интегральных уравнений в свёртках
5. Методы операторов преобразования для решения задач в кусочно-однородных областях
6. Применение метода операторов преобразования к решению ретроспективных задач
7.2 Графическая часть (перечень и содержание чертежей, плакатов)
1. Постановка задачи
2. Итерационный метод для решения уравнений в свёртках
3. Метод регуляризации для уравнения в свёртках
4. Прямые и обратные операторы преобразования
5.Алгоритмы решения ретроспективной задачи для кусочно-однородного стержня методами операторов преобразования, итерации и регуляризации
6. Графики аналитических и численных решений
7. Сравнительный анализ результатов
8 Консультанты и содержание дополнительных разделов (указывается конкретное содержание задания)
8.1 По конструкции устройства
Консультант
8.2 По технологии
Консультант
8.3 По экономике и организации производства
Консультант
8.4 По безопасности жизнедеятельности
Консультант
9. Календарный график по выполнению проекта
| Наименование этапов работы | Объем работы | Срок выполнения | Подпись руководителя, консультанта |
| 1. Постановки прямых и обратных задач для уравнений параболического типа | 20% | 11.04.11 | |
| 2. Исследование методов итераций, регуляризации и операторов преобразования | 25% | 21.04.11 | |
| 3. Исследование алгоритмов решения | 20% | 12.05.11 | |
| 4. Разработка программ | 25% | 30.05.11 | |
| 5. Оформление пояснительной записки | 10% | 15.06.11 |
Примечание. – Задание по разделу 8 должно быть согласовано с руководителем проекта. В случае, если по отдельным дополнительным разделам консультанты не назначаются, то необходимые задания на проектирование выдает руководитель проекта и вносит в 8.1 – 8.4.
Дата выдачи задания " 28 " марта 2011 г.
Руководитель дипломного проекта
Задание к исполнению принял " 28 " марта 2011 г.
Дипломный проект к защите допустить
Декан факультета 2011 г.
Пояснительная записка 65 листов, 4 таблицы, 15 источников, 3 приложения.
ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ, НЕСТАЦИОНАРНОЕ ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ В КУСОЧНО-ОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ, РЕТРОСПЕКТИВНАЯ ЗАДАЧА, ОПЕРАТОРЫПРЕОБРАЗОВАНИЯ, МЕТОД РЕГУЛЯРИЗАЦИ ТИХОНОВА, ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ.
Объектом исследования являются приближенные методы решения ретроспективных задач для уравнения параболического типа.
Цель работы – построение и реализация алгоритмов решения обратных задач о структуре нестационарного температурного поля в кусочно-однородных средах.
Рассматриваемые вычислительные схемы основаны на применении методов: регуляризации Тихонова, операторов преобразования для решения задач в кусочно-однородных областях, итерационных методов для решения интегральных уравнений в свёртках.
В результате проделанной работы была приведена сравнительная оценка методов получения решения ретроспективной задачи для бесконечного стержня с точками сопряжения.
Предложенные алгоритмы были реализованы на языке Turbo Pascal. Решение модельных примеров показало эффективность, точность и устойчивость рассматриваемых вычислительных схем.
 |
СОДЕРЖАНИЕ
Введение…………………………………………………………………8
1 Прямые задачи параболического типа……………………………...10
1.1Линейная задача о распространении тепла……………………..
1.2 Постановка краевых задач………………………………………
1.3 Задачи на бесконечной прямой………………………………….
2 Обратные задачи теплопроводности………………………………..
2.1 Понятие корректности…………………………………………...
2.2 Пример некорректной задачи……………………………………
2.3 Типы обратных задач теплопроводности…………………........
3 Численные методы решения интегральных уравнений типа
свёртки…………………………………………………………………
3.1 Итерационный метод……………………………………………
3.2 Метод регуляризации……………………………………………
3.3 Операторы преобразования.……………………………………
3.4 Ретроспективная задача о структуре нестационарного температурного поля в неограниченном двухслойном
стержне………………………………………………………………
3.5 Ретроспективная задача о структуре нестационарного температурного поля в неограниченном трёхслойном
стержне………………………………………………………………
4. Модельные задачи………………………………………………….
4.1 Численное решение ретроспективной задачи о структуре нестационарного температурного поля в двухслойном
неограниченном стержне…………………………………………….
4.2 Численное решение ретроспективной задачи о структуре нестационарного температурного поля в изотропной неограниченной трехслойном стержне……………………………
Заключение…………………………………………………………….
Список использованных источников.………………………………...
Приложение А. Листинг 1. Программы решения ретроспективной задачи о структуре нестационарного температурного поля в двухслойном стержне итерационным методом и методом
регуляризации с применением операторов преобразования…………
Приложение Б. Листинг 2. Программы решения ретроспективной задачи о структуре нестационарного температурного поля в двухслойном стержне итерационным методом и методом регуляризации с применением преобразования Фурье на оси с
точкой сопряжения ……………………………………………………
Приложение В. Листинг 3. Программы решения ретроспективной задачи о структуре нестационарного температурного поля в изотропной неограниченной трехслойном стержне итерационным методом и методом регуляризации с применением преобразования Фурье на оси с двумя точками сопряжения …………………………
Введение
Процессы теплопередачи играют большую роль как в природе, так и в современной технике. Исследования показывают, что теплопередача является сложным процессом. При изучении этот процесс расчленяют на простые явления. Частным случаем является теплопроводность – перенос тепла (или внутренней энергии) при непосредственном соприкосновении тел (или частей одного тела) с различной температурой.
В настоящее время практика непрестанно выдвигает перед учением о теплообмене новые и разнообразные задачи, требуя от инженера умения самостоятельно использовать основные законы и методы теплопередачи. Значительно расширилась возможность прикладного использования теории теплопроводности в связи со все более широким внедрением в инженерную практику быстродействующих ЭВМ.
С одной стороны эта область науки достаточно хорошо разработана, получены надежные данные, которые можно использовать при решении тех или иных конкретных задач, возникающих при проектировании и эксплуатации теплотехнического оборудования.; с другой, - проблемная, поскольку использование новых материалов, расширение диапазона действия теплотехнических устройств требует создание новых, более надежных методов расчета.
Мы рассмотрим постановки как прямых, так и обратных задач теплообмена для уравнений параболического типа. Они предполагают предварительную схематизацию (моделирование) реального теплообменного процесса в виде некоторой математической формы. Постановки обратных задач, в отличие от прямых, нельзя воспроизвести в реальном эксперименте, т.е. нарушить причинно-следственную связь не математическим, а физическим путем. И в этом смысле они не соответствуют физически реализуемым событиям. Например, нельзя обратить ход теплообменного процесса и тем более изменить течение времени. Таким образом, можно условно говорить о физической некорректности постановки обратной задачи. Естественно, что при математической формализации она проявляется уже как математическая некорректность (чаще всего неустойчивость решения), и обратные задачи представляют собой типичный пример некорректно поставленных задач в теории теплообмена.
В данной работе для обратных задач нестационарного уравнения теплопроводности проведено исследование различных методов решения. Целью работы являлось на конкретной модельной задаче произвести оценку их эффективности и актуальности, анализ практической и теоретической значимости полученных результатов.
Работа состоит из введения, четырех разделов, заключения, приложений и списка используемой литературы.
В первом разделе рассматриваются прямые задачи параболического типа. Излагается постановка краевых задач, рассматривается единственность решения на бесконечной прямой.
Во втором разделе обсуждаются обратные задачи теплопроводности. Их корректность и классификации.
В третьем разделе рассматриваются численные методы решения ретроспективной задачи о структуре нестационарного температурного поля в неограниченном двухслойном и трёхслойном стержнях применяя уравнения типа свёртки, операторы преобразования, методы регуляризации и итераций.
Полученные результаты и модельные задачи представлены в четвёртом разделе.
Программы вычислений приводятся в приложениях.
Заключение
В работе были построены и реализованы алгоритмы решения обратных задач о структуре нестационарного температурного поля в бесконечном стержне с одной и двумя точками сопряжения.
Рассматриваемые вычислительные схемы основаны на применении методов: регуляризации Тихонова, операторов преобразования для решения задач в кусочно-однородных областях, итерационных методов для решения интегральных уравнений в свёртках.
В результате проделанной работы была приведена сравнительная оценка методов получения решения ретроспективной задачи для бесконечного стержня с точками сопряжения.
Предложенные алгоритмы были реализованы на языке Turbo Pascal. Решение модельных примеров показало эффективность, точность и устойчивость рассматриваемых вычислительных схем.
Список использованных источников
1. Алифанов О.М. Обратные задачи теплообмена. М.: Машиностроение, 1988 – 257 с.
2. Баврин И.И., Матросов В.Л., Яремко О.Э. Интегральные преобразования и представления функций в действительной и комплексной областях и их приложения. - М.: Прометей, 2000. - 414 с.
3. Бойков И. В. Аналитические методы идентификации динамических систем. – Пенза 1992. – 110 с.
4. Бойков И. В. Итерационные методы решения уравнений в свертках // Известия ВУЗов. Математика – 1998. – №2. – С. 8-15.
5. Дж. Бек, Б. Блакуэлл, Ч. Сент-Клер, мл. Некорректные обратные задачи теплопроводности. – М: Мир, 1989 – 308 с.
6. Елисеева Т. В. Математическое моделирование температурных и потенциальных полей в кусочно-однородных средах / Препринт № 98. - Саранск, СВМО, 2007. - 32 с.
7. Елисеева Т. В. Операторный метод в теории интегральных преобразований для кусочно-однородных сред / Актуальные проблемы математики и методики ее преподавания: Межвуз. сб. научных трудов. – Пенза: Изд-во ПГПУ, 2001. – С. 17-21.
8. Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П. и др. Приближенное решение операторных уравнений. – М.: Наука, 1969. – 456 с.
9. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. – М.: Наука, 1973. – 408 с.
10. Лионс Ж. Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. – М: Мир, 1972 – 587 с.
11. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. – М: Наука, 1965 – 520 с.
12. Подстригач Я. С., Коляно Ю. М. Обобщенная термомеханика. – Киев: Наукова думка, 1976. – 310 с.
13. Самарский А. А., Вабищевич П. Н. Численные методы решения обратных задач математической физики. – М: Едиториал УРСС, 2004. – 480 с.
14. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. – М.: Наука, 1979. – 288 с.
15. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики.
М.: Наука, 2004 – 798 с.