Содержание
Введение......................................................................................................... 2
1. Описание машины Тьюринга................................................................... 3
1.1 Свойства машины Тьюринга как алгоритма....................................... 5
2. Сложность алгоритмов............................................................................. 7
2.1 Сложность проблем................................................................................. 9
3. Машина Тьюринга и алгоритмически неразрешимые проблемы....... 12
Заключение.................................................................................................. 16
Список литературы...................................................................................... 18
Введение
Машина Тьюринга - это очень простое вычислительное устройство. Она состоит из ленты бесконечной длины, разделенной на ячейки, и головки, которая перемещается вдоль ленты и способна читать и записывать символы. Также у машины Тьюринга есть такая характеристика, как состояние, которое может выражаться целым числом от нуля до некоторой максимальной величины. В зависимости от состояния машина Тьюринга может выполнить одно из трех действий: записать символ в ячейку, передвинуться на одну ячейку вправо или влево и установить внутреннее состояние.
Устройство машины Тьюринга чрезвычайно просто, однако на ней можно выполнить практически любую программу. Для выполнения всех этих действий предусмотрена специальная таблица правил, в которой прописано, что нужно делать при различных комбинациях текущих состояний и символов, прочитанных с ленты.
В 1947 г. Алан Тьюринг расширил определение, описав "универсальную машину Тьюринга". Позже для решения определенных классов задач была введена ее разновидность, которая позволяла выполнять не одну задачу, а несколько.
Описание машины Тьюринга
Алан Тьюринг (Turing) в 1936 году опубликовал в трудах Лондонского математического общества статью "О вычислимых числах в приложении к проблеме разрешения", которая наравне с работами Поста и Черча лежит в основе современной теории алгоритмов.
Предыстория создания этой работы связана с формулировкой Давидом Гильбертом на Международном математическом конгрессе в Париже в 1900 году неразрешенных математических проблем. Одной из них была задача доказательства непротиворечивости системы аксиом обычной арифметики, которую Гильберт в дальнейшем уточнил как "проблему разрешимости" - нахождение общего метода, для определения выполнимости данного высказывания на языке формальной логики.
Статья Тьюринга как раз и давала ответ на эту проблему - вторая проблема Гильберта оказалась неразрешимой. Но значение статьи Тьюринга выходило далеко за рамки той задачи, по поводу которой она была написана.
Приведем характеристику этой работы, принадлежащую Джону Хопкрофту: "Работая над проблемой Гильберта, Тьюрингу пришлось дать четкое определение самого понятия метода. Отталкиваясь от интуитивного представления о методе как о некоем алгоритме, т.е. процедуре, которая может быть выполнена механически, без творческого вмешательства, он показал, как эту идею можно воплотить в виде подробной модели вычислительного процесса. Полученная модель вычислений, в которой каждый алгоритм разбивался на последовательность простых, элементарных шагов, и была логической конструкцией, названной впоследствии машиной Тьюринга".
Машина Тьюринга является расширением модели конечного автомата, расширением, включающим потенциально бесконечную память с возможностью перехода (движения) от обозреваемой в данный момент ячейки к ее левому или правому соседу.
Формально машина Тьюринга может быть описана следующим образом. Пусть заданы:
конечное множество состояний – Q, в которых может находиться машина Тьюринга;
конечное множество символов ленты – Г;
функция δ (функция переходов или программа), которая задается отображением пары из декартова произведения Q x Г (машина находится в состоянии qi и обозревает символ gi) в тройку декартова произведения Q х Г х {L,R} (машина переходит в состояние qi, заменяет символ gi на символ gj и передвигается влево или вправо на один символ ленты) – Q x Г-->Q х Г х {L,R}
один символ из Г-->е (пустой);
подмножество Σ є Г - -> определяется как подмножество входных символов ленты, причем е є (Г - Σ);
одно из состояний – q0 є Q является начальным состоянием машины.
Решаемая проблема задается путем записи конечного количества символов из множества Σ є Г – Si є Σ на ленту:
eS1S2S3S4......... Sne
после чего машина переводится в начальное состояние и головка устанавливается у самого левого непустого символа (q0,w) –, после чего в соответствии с указанной функцией переходов (qi,Si) - ->(qj,Sk, L или R) машина начинает заменять обозреваемые символы, передвигать головку вправо или влево и переходить в другие состояния, предписанные функций переходов.
Остановка машины происходит в том случае, если для пары (qi,Si) функция перехода не определена.
Алан Тьюринг высказал предположение, что любой алгоритм в интуитивном смысле этого слова может быть представлен эквивалентной машиной Тьюринга. Это предположение известно как тезис Черча–Тьюринга. Каждый компьютер может моделировать машину Тьюринга (операции перезаписи ячеек, сравнения и перехода к другой соседней ячейке с учетом изменения состояния машины). Следовательно, он может моделировать алгоритмы в любом формализме, и из этого тезиса следует, что все компьютеры (независимо от мощности, архитектуры и т.д.) эквивалентны с точки зрения принципиальной возможности решения алгоритмических задач.