Требования к модели эксперимента.
Вообще говоря, моделей существует великое множество, а нам нужна одна единственная. Чтобы выбрать ее необходимо определиться, какие требования нужно предъявлять к модели.
Требование №1. Главное требование к модели эксперимента – способность предсказывать дальнейшее направление опытов с требуемой точностью. При этом точность предсказания не должна зависеть от направления, в котором мы двигаемся при планировании, т.е. точность предсказания должна быть одинакова во всех направлениях.
Требование №2. Адекватность модели. Данное требование означает, что модель действительно должна предсказывать экспериментальные данные.
Требование №3. Среди всех моделей необходимо выбирать ту, которая является наиболее простой. При этом понятие простоты довольно-таки относительно и за- висит от решаемой проблемы. Прежде чем выбирать ту или иную функции нужно дополнительно задаться вопросом, а что подразумевается в данном случае под простотой – вид уравнения или легкость описания?
Наиболее часто в планировании эксперимента останавливаются на полиномиальных моделях вида
y = b0 – полином нулевой степени;
y = b0 + b1x1 + b2x2 – полином 1-ой степени (линейный);
y = b0 + b1x1 + b2x2 + b12x1x2 + b11x1 + b22 x – полином 2-ой степени.
Увеличивая степень полинома, можно задать приблизительное описание (аппроксимацию) функции любой сложности. Для экспериментатора же выбор полиномиальной модели позволяет значительно упростить поиск числовых коэффициентов. При выборе степени полинома нужно не забывать о простоте описания. Слишком высокие степени, несмотря на увеличение точности предсказания, редко приветствуется, поскольку с каждой новой степенью затрудняется поиск числовых коэффициентов. При увеличении коэффи- циентов растет и число опытов, необходимых для их вычисления. Чаще всего экспериментаторы стараются ограничиваться линейными полиномами, а если они недостаточно точны, полиномами второй степени (квадратичными). Дальнейшее увеличение степени полинома ведет, как правило, только к увеличению сложности прогнозирования и не больше.
Статистическая проверка статистических гипотез
Статистические гипотезы. Виды ошибок при выдвижении статистических гипотез
статистической гипотезой называют гипотезу о виде неизвестного распределения или о параметрах известных распределений.
Наряду с первоначально выдвинутой гипотезой рассматривают и противоречащую ей. Если выдвинутая гипотеза будет отвергнута, ее место занимает противоречащая.
Нулевой (основной) гипотезой называют первоначально выдвинутую гипотезу. Гипотезу, противоречащую нулевой, называют конкурирующей (альтернативной) гипотезой.
Когда выдвигается гипотеза, всегда существует вероятность, что она может быть правильной или неправильной, поэтому возникает необходимость ее проверки. Поскольку проверку производят статистическими методами, ее называют статистической проверкой.
Риск, который возникает при выдвижении статистической гипотезы, так и называют ошибкой, причем существуют ошибки I и II рода.
Ошибка I рода состоит в том, что будет отвергнута гипотеза, в то время как она верна.
Ошибка II рода состоит в том, что будет принята гипотеза, в то время как она неверна.
Статистические критерии
Статистическим критерием (или просто критерием, критерием согласия) называют критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе распределения случайной величины или значениях параметров распределений случайной величины.
Статистические критерии работают на всем множестве значений чи- словой прямой в пределах (-∞; +∞). При этом вся эта числовая прямая делит- ся на два типа подобластей: критическую и область принятия гипотезы (решения).
Критической областью называют совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают. Областью принятия гипотезы (областью допустимых значений) называют совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу принимают.
Критическими точками (границами) kкр называют точки, отделяющие критическую область от области принятии решений.
Различают одностороннюю и двустороннюю критические области. Первая, в свою очередь, делится на правостороннюю и левостороннюю.
Правосторонней критической областью называют критическую область, определяемую неравенством Кнабл > kкр, где kкр – положительное число (см. рисунок 2.1,а).
Левосторонней критической областью называют критическую область, определяемую неравенством Кнабл < kкр, где kкр – отрицательное число (см. рисунок 2.1,б).
Двусторонней критической областью называют крити- ческую область, определяемую неравенствами Кнабл < kкр.1 и Кнабл > kкр.2, где kкр.2 > kкр.1 (см. рисунок 2.1,в)
Если критические точки двустороннего критерия выбирать симметрично, то определение двусторонней критической области перепишется как | Кнабл | > kкр (см. рисунок 2.1,г).
Виды критериев согласия и области их применения.
2.3.1 χ 2 -критерий согласия Пирсона*)
Критерий согласия Пирсона применяется для сравнения теоретического и экспериментального значений дисперсий. В качестве теоретического значения дисперсии на практике используются значения, регламентированные какими-либо нормативными докумен- тами: ГОСТами, ТУ, техническим паспортом и т.п.
Обозначим S2 – экспериментально полученное значение дисперсии по выборке объема n, σ2 – теоретическое значение дисперсии. Основная гипотеза состоит в том, что данные значения дисперсий статистически неразличимы; в краткой записи наше предположение выглядит как
Н0 : s2 = σ2
При этом альтернативная гипотеза состоит в том, что
1) Н1: s2 ≠ σ2 – экспериментальное и теоретическое значения дисперсий статистически различимы – двусторонняя критическая область;
2) Н1: s2 < σ2 – теоретическое значения дисперсии превышает экспериментальное – левосторонняя критическая область;
3) Н1: s2 > σ2 – теоретическое значения дисперсии меньше экспериментального – правосторонняя критическая область.