Тема: Основы геометрии
Количество часов: 2
Цель: Систематизация знаний по теме «Основы геометрии»
1. Теоретический блок
Добрый день, уважаемые студенты!
Ознакомьтесь с материалами лекции.
На основе материалов темы «Основные геометрические формы.
Понятие геометрической фигуры» (пункт №2 лекции) создайте презентацию (дополнив текстовый лекционный материал соответствующими изображениями, схемами, рисунками). Данную работу можно выполнять, объединившись в подгруппы 2-4 человека.
Презентация обязательно должна иметь титульный лист с указанием названия темы, ФИО авторов
Ссылка для размещения выполненных работ
https://drive.google.com/drive/folders/1Ix1iEArYNNHAtU-q0b7Z_-TpoEBSJzlt?usp=sharing
История развития геометрии
Чтобы организовать успешную деятельность детей по овладению геометрическим материалом, воспитателю нужны соответствующие знания и умения: он должен знать историю возникновения и развития геометрии, основные свойства геометрических фигур, изучаемых в начальном курсе математики, уметь их построить.
Геометрия зародилась в Древнем Египте как набор правил решения практических задач, возникавших в строительстве, при распределении земельных участков, измерении площадей, объемов и т. д. Свидетельством этому служат египетские пирамиды, построенные около 4800 лет назад с выполнением сложных и точных геометрических расчетов. Но особенно важной была задача распределения земельных наделов. Этим занимались специальные люди — землемеры, которых греки называли гарпедонаптами, т. е. натягивателями веревок, так как при распределении земли использовались веревки. Но чтобы знать, где и как их натягивать, надо было иметь план полей. Так практическая задача распределения земельных участков привела к возникновению науки геометрии.
Обширные сведения о свойствах фигур, накопленные египтянами, были заимствованы греками. Произошло это в VII–V вв. до н. э. А так как особенно важной задачей было землемерие, то греки назвали науку о фигурах геометрией (от греч. геос — земля и метрио — измеряю).
Многие геометрические понятия возникли в результате многократных наблюдений реальных предметов той или иной формы, т. е. в процессе познания окружающего мира люди знакомились и с простейшими геометрическими формами. Овладению этим знанием способствовали следующие факторы: производство орудий труда, имеющих сравнительно правильную геометрическую форму, строительство жилья, шитье одежды, изготовление посуды, украшений.
Огромное влияние на развитие геометрических представлений оказали систематические астрономические наблюдения, что привело к возникновению понятий шара, окружности, угла, угловой меры.
Развитие землемерия, обобщение накопленного опыта наблюдений привело к созданию практических правил измерения земельных участков, нахождения площадей и объемов простейших фигур, строительных норм и др. Так, формулы для вычисления площадей земельных участков, имеющих форму треугольника, трапеции, встречаются у древних египтян, вавилонян. К XVII–XVI вв. до н. э. были установлены такие факты, как теорема Пифагора, выражение для подсчета объема шара и многие другие. Но выступали они не как логически доказанные утверждения, а как выводы из опыта.
Таким образом, геометрия возникла как прикладная наука, как собрание правил, необходимых для решения практических задач, таких как сравнение фигур, нахождение геометрических величин, а также для простейших геометрических построений.
Практические правила постепенно приводились в систему. Кроме того, одни правила стали выводиться из других и обосновываться посредством рассуждений. Возникло доказательство, правила стали превращаться в теоремы, которые доказывались без прямых ссылок на опыт. Вообще, совершенствование геометрических знаний шло по пути их отделения от опыта — в результате предметом геометрии стали не реальные, а идеальные фигуры, т. е. фигуры, являющиеся образами предметов, в которых абстрагируются от всего, кроме формы. Более того, эти фигуры стали дополняться свойствами, которыми реальные предметы не обладают. Например, понятие прямой, возникшее как отражение такого свойства реальных предметов, как протяженность, было дополнено представлением о ее бесконечности.
Получение новых геометрических утверждений с помощью рассуждений относится к VI в. до н. э. и связано с именем древнегреческого математика Фалеса Милетского. Считают, что им доказаны свойства равнобедренного треугольника, равенство вертикальных углов и ряд других фактов.
К III в. до н. э. геометрия становится дедуктивной наукой, одновременно решая многие практические задачи: дает точно обоснованные правила для построения фигур с заданными свойствами, позволяет различными способами сравнивать фигуры, по одним свойствам фигуры делать выводы о других ее свойствах и т. д.
Основные достижения в области математики были систематизированы около 300 лет до н. э. греческим ученым Евклидом и изложены в его знаменитом труде «Начала», состоящем из 13 книг. Это сочинение является первым дошедшим до нас строгим логическим построением геометрии. «Начала» Евклида оставили глубокий след в истории и в течение многих веков служили образцом научного изложения математики.
После III в. до н.э. геометрия развивалась медленно — требовались новые идеи и методы, необходимо было развитие понятия числа и алгебры. Первые шаги в этом направлении были сделаны в Древней Греции, а затем в Индии, где была открыта десятичная система счисления. В геометрии новые идеи и методы появились в XVII в. Принадлежали они французскому философу и математику Рене Декарту. В своем сочинении «Геометрия» он впервые описал метод координат на прямой и на плоскости, установив тем самым взаимосвязь геометрии с алгеброй.
Важным направлением в развитии геометрии был поиск логически безупречного построения геометрии. Эти поиски привели не только к открытию новых свойств геометрических фигур, но и открытию геометрии, отличной от геометрии, описанной Евклидом. Первым, кто построил новую геометрию, был Н. И. Лобачевский, профессор Казанского университета.
В конце XIX в. немецкий математик Д. Гильберт подвел итог исследованиям в области логически строгого построения евклидовой геометрии.
В евклидовой геометрии изучают свойства фигур, связанные с понятиями длины, величины угла, площади и объема. Такие свойства фигур называются метрическими. В современной геометрии изучают и другие свойства фигур. Так, в ХХ в. началось систематическое изучение топологических свойств геометрических фигур, т. е. таких свойств, которые сохраняются при любых деформациях (сжатии, расширении, искажении размеров и формы фигуры), производимых без разрывов и склеиваний.
Краткий экскурс в историю возникновения и развития геометрии показал, что геометрия — это раздел математики, изучающий пространственные формы и их отношения.
2. Основные геометрические формы.
Понятие геометрической фигуры
Важнейшей пространственной формой является геометрическое тело, а одним из видов пространственных отношений — взаимное расположение геометрических тел.
В окружающем нас мире встречаются различные тела: дома, деревья, мосты и т. д. Когда говорят о геометрическом теле, то тем самым подчеркивают, что нас не интересуют физические свойства окружающих тел (масса, цвет, материал и др.), в геометрии рассматривают лишь их форму и размеры. Другими словами, в геометрии рассматривают ту часть пространства, которую соответствующее тело занимает.
Геометрическое тело имеет три измерения. Условно их называют длина, ширина и высота (или толщина). Кстати, пространство, в котором мы живем, также имеет три измерения, и его называют трехмерным.
Всякое геометрическое тело имеет поверхность. Она представляет собой границу (оболочку) этого тела, и тогда о геометрическом теле можно сказать, что это часть пространства, ограниченная поверхностью.
Поверхность геометрического тела делит все пространство на две части: внутреннюю и внешнюю по отношению к этому телу. Чтобы попасть из любой точки, находящейся внутри тела, во внешнюю область, необходимо пересечь поверхность тела.
Поверхность, ограничивающая шар, называется сферой. У всех других известных из школьного курса геометрических тел поверхности специальных названий не имеют: говорят о поверхности куба, боковой и полной поверхности пирамиды, цилиндра и т. д.
Поверхность имеет только два измерения: длину и ширину. И поэтому понятие поверхности является математической абстракцией, поскольку в реальности нет предметов, не имеющих толщины. И говоря, что лист бумаги или мыльная пленка являются поверхностями, имеют в виду, что их толщина ничтожно мала по сравнению с другими размерами предмета.
Поверхности, которые изучают в геометрии, многообразны: цилиндрические, конические, сферические и др. Но особое внимание уделяют поверхности, которую называют плоскостью и свойства которой изучают. В геометрии плоскость представляют бесконечной во всех направлениях. Плоскость является идеализацией ровной поверхности воды, поверхности стола, пола, оконного стекла.
При пересечении двух поверхностей получается линия. Она не имеет толщины и ширины, у нее лишь одно измерение — длина. Таким образом, линия — понятие абстрактное.
Различают кривые и прямые линии. Прямые линии образуются при пересечении двух плоскостей. Кривая линия может получиться при пересечении плоскости и цилиндрической поверхности.
Прямая является идеализацией тонкой натянутой нити, края стола прямоугольной формы. По прямой распространяется луч света. Прямые проводятся на листе бумаги или доске с помощью линейки. Хотя изображения прямых ограничены, их следует представлять себе неограниченно продолженными в обе стороны.
При пересечении двух линий образуется точка. Она может быть и не одна.
Точка является идеализацией таких объектов, размерами которых в определенной ситуации можно пренебречь. Геометрическая точка размеров не имеет.
Точка может лежать на данной прямой, в этом случае говорят также, что точка принадлежит прямой или что прямая проходит через точку; а может и не лежать на ней, в этом случае говорят, что точка не принадлежит прямой или что прямая не проходит через точку.
Если точка А лежит на прямой а, то это можно записать так: А ∈ а. Если точка В не лежит на прямой а, то это можно записать так: В ∉ а.
Если две прямые имеют одну общую точку, то говорят, что прямые пересекаются в этой точке.
Итак, дано описание основных форм, которые изучаются в геометрии — это геометрическое тело, поверхность, линия и точка. Смысл этих понятий можно раскрыть иначе, если изменить порядок их рассмотрения и начать с точки.
Можно считать, что точка — это некое место в пространстве, нечто, не имеющее размеров. При движении точка будет описывать линию — траекторию движения точки. Например, окружность получается в результате движения точки — острия карандаша, если при ее построении используется циркуль.
Если линию целиком перемещать в пространстве, то область, образуемая при этом, будет поверхностью.
Все точки геометрического тела можно получить, перемещая в пространстве поверхность.
Таким образом, при данном порядке рассмотрения основных геометрических форм получаем, что:
· Точка — это то, что не имеет частей и размеров;
· Линия получается при движении точки и имеет одно измерение — длину;
· Поверхность образуется при движении линии и имеет два измерения — длину и ширину;
· Геометрическое тело заполняется поверхностями и имеет три измерения — длину, ширину и высоту.
Наряду с основными геометрическими формами в геометрии используется понятие геометрической фигуры.
Геометрическая фигура — это часть поверхности, ограниченная линией.
Как часть поверхности геометрическая фигура имеет два измерения. Она может быть плоской, а может и не быть плоской. Примером геометрической фигуры, которая не является плоской, может служить часть поверхности на сфере. Плоскими фигурами являются прямая, отрезок, луч, треугольник, прямоугольник и др.
В геометрии считают, что любое геометрическое тело, поверхность, линия, любая геометрическая фигура состоит из точек, или представляет собой множество точек.
Так как любая геометрическая фигура есть множество точек, то можно говорить о том, что одна фигура включена в другую (или содержится в другой), можно рассматривать объединение, пересечение и разность фигур.
Различают выпуклые и невыпуклые фигуры. Фигура называется выпуклой, если она вместе с любыми двумя своими точками содержит также соединяющий их отрезок.
Выпуклыми фигурами являются, например, плоскость, прямая, луч, отрезок.