Логарифмические уравнения
Прежде чем решать логарифмические уравнения, повторим еще раз определение логарифма и основные формулы.
Логарифм положительного числа b по основанию a — это показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b.
.
При этом 
.
Обратим внимание на область допустимых значений логарифма:
.
Основное логарифмическое тождество:
,
.
Основные формулы для логарифмов:
(Логарифм произведения равен сумме логарифмов)
(Логарифм частного равен разности логарифмов)
(Формула для логарифма степени)
Формула перехода к новому основанию:
.
Мы знаем, как выглядит график логарифмической функции. Эта функция монотонна. Если основание логарифма больше единицы, логарифмическая функция монотонно возрастает. Если основание больше нуля и меньше единицы, логарифмическая функция монотонно убывает. И в любом случае каждое свое значение она принимает только один раз. Это значит, что если логарифмы двух чисел по какому-либо основанию равны, то равны и сами числа.
Все это пригодится нам в решении логарифмических уравнений.
Простейшие логарифмические уравнения
1.Решите уравнение: 
Основания логарифмов равны, сами логарифмы тоже равны – значит, равны и числа, от которых они берутся.
Обычно ученики запоминают это правило в краткой жаргонной формулировке: «Отбросим логарифмы!» Конечно, мы «отбрасываем» их не просто так, а пользуясь свойством монотонности логарифмической функции.
Получаем: 
Решая логарифмические уравнения, не забываем про область допустимых значений логарифма. Помним, что выражение 
определено при .
Очень хорошо, если вы, найдя корень уравнения, просто подставите его в уравнение. Если после такой подстановки левая или правая часть уравнения не имеют смысла – значит, найденное число не является корнем уравнения и не может быть ответом задачи. Это хороший способ проверки на ЕГЭ.
2. Решите уравнение: 
В левой части уравнения – логарифм, в правой – число 7. Применив основное логарифмическое тождество, представим число 7 в виде 
. Дальше все просто.
Ответ: -124
3. Решите уравнение: 
Видите число 2 перед логарифмом в правой части уравнения? Сейчас оно мешает вам «отбросить логарифмы». Что с ним сделать, чтобы в левой и правой частях были просто логарифмы по основанию 5? Конечно же, поможет формула для логарифма степени.
;
;
;
4. Решите уравнение: 
Область допустимых значений: 
Значит, 
Представим 2 в правой части уравнения как 
— чтобы слева и справа в уравнении были логарифмы по основанию 5.
Функция 
монотонно возрастает и каждое свое значение принимает ровно один раз. Логарифмы равны, их основания равны. «Отбросим» логарифмы! Конечно, при этом 
.
.
Ответ: 21.
5. Решите уравнение: 
Запишем решение как цепочку равносильных переходов. Записываем ОДЗ и «убираем» логарифмы:
Ответ: –4.
Заметим, что решения логарифмических уравнений лучше всего записывать в виде цепочки равносильных переходов. Это поможет нам не забыть про область допустимых значений.
6.Решите уравнение: 
.
Перейдем от логарифма по основанию 4 (в показателе) к логарифму по основанию 2. Мы делаем это по формуле перехода к другому основанию:
Запишем решение как цепочку равносильных переходов.
Ответ: 19.
7.Решите уравнение: 
.
Обратите внимание: переменная х и под логарифмом, и в основании логарифма. Мы помним, что основание логарифма должно быть положительно и не равно 1.
ОДЗ:
Теперь можно «убрать» логарифмы.
— посторонний корень, поскольку должно выполняться условие 
.
Ответ: 
8. Решите уравнение 
.
ОДЗ уравнения:
Сделаем замену 
. Как и в алгебраических уравнениях, мы делаем замену переменной всегда, когда только возможно.
Вернемся к переменной х:
9.Решите уравнение:
Выражение под логарифмом всегда положительно – поскольку к неотрицательной величине 
прибавляем 25. Выражение под корнем в правой части также положительно. Значит, х может быть любым действительным числом.
Представим сумму логарифмов в левой части как логарифм произведения. В правой части – перейдем к логарифму по основанию 3. И используем формулу логарифма степени.
«Отбрасываем» логарифмы.
Такое уравнение называется биквадратным. В него входят выражения 
и . Сделаем замену 
Вернемся к переменной х. Получим:
. Мы нашли все корни исходного уравнения.
Ответ: 
.
Логарифмические уравнения могут встретиться вам и в задании №5 Профильного ЕГЭ по математике, и в задании №13. И если в задании №5 нужно решить простейшее уравнение, то в задаче 13 решение состоит из двух пунктов. Второй пункт – отбор корней на заданном отрезке или интервале.