Числовая последовательность.




Марта 2020

Срок выполнения до 25.03.2020

Выполнить контрольную работу по теме: Многогранники и тела вращения:

 

1. В куб с ребром 6 см вписан цилиндр. Вычислить площадь полной поверхности цилиндра и объём цилиндра.

2. В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 6 и 8 дм, а высота параллелепипеда равна 10 дм. Вычислить площадь полной поверхности и объём параллелепипеда.

3. Образующая равностороннего конуса L = 6см. Найти площадь боковой поверхности.

 


Тема: Числовая последовательность.

Числовая последовательность.

Сначала задумаемся над самим словом: а что такое последовательность? Последовательность – это когда что-то расположено за чем-то. Например, последовательность действий, последовательность времён года. Или когда кто-то расположен за кем-то. Например, последовательность людей в очереди, последовательность слонов на тропе к водопою.

Немедленно проясним характерные признаки последовательности. Во-первых, члены последовательности располагаются строго в определённом порядке. Так, если двух человек в очереди поменять местами, то это уже будет другая последовательность. Во-вторых, каждому члену последовательности можно присвоить порядковый номер:

 

С числами всё аналогично. Пусть каждому натуральному значению по некоторому правилу поставлено в соответствие действительное число. Тогда говорят, что задана числовая последовательность.

Да, в математических задачах в отличие от жизненных ситуаций последовательность почти всегда содержит бесконечно много чисел.

При этом:

называют первым членом последовательности;

вторым членом последовательности;

третьим членом последовательности;

энным или общим членом последовательности;

На практике последовательность обычно задаётся формулой общего члена, например:

– последовательность положительных чётных чисел:

 

Таким образом, запись однозначно определяет все члены последовательности – это и есть то правило (формула), по которому натуральным значениям в соответствие ставятся числа. Поэтому последовательность часто коротко обозначают общим членом, причём вместо «икс» могут использоваться другие латинские буквы, например:

Последовательность положительных нечётных чисел:

 

Ещё одна распространённая последовательность:

 

Как, наверное, многие подметили, переменная «эн» играет роль своеобразного счётчика.

На самом деле с числовыми последовательностями мы имели дело ещё в средних классах школы. Вспомним арифметическую прогрессию. Определение переписывать не буду, коснёмся самой сути на конкретном примере. Пусть – первый член, а – шаг арифметической прогрессии. Тогда:

– второй член данной прогрессии;

– третий член данной прогрессии;

– четвертый;

– пятый;

И, очевидно, энный член задаётся рекуррентной формулой

Примечание: в рекуррентной формуле каждый следующий член выражается через предыдущий член или даже через целое множество предыдущих членов.

Полученная формула малопригодна на практике – чтобы добраться, скажем, до, нужно перебрать все предыдущие члены. И в математике выведено более удобное выражение энного члена арифметической прогрессии:. В нашем случае:

 

Подставьте в формулу натуральные номера и проверьте правильность построенной выше числовой последовательности.

Аналогичные выкладки можно провести для геометрической прогрессии, энный член которой задаётся формулой, где – первый член, а – знаменатель прогрессии. В заданиях по матану первый член частенько равен единице.

Примеры:

прогрессия задаёт последовательность;

прогрессия задаёт последовательность;

прогрессия задаёт последовательность;

прогрессия задаёт последовательность.

Надеюсь, все знают, что –1 в нечётной степени равно –1, а в чётной – единице.

Прогрессию называют бесконечно убывающей, если (последние два случая).

Давайте добавим в свой список двух новых друзей, один из которых только что постучался в матрицу монитора:

Последовательность на математическом жаргоне называют «мигалкой»:

 

Таким образом, члены последовательности могут повторяться. Так, в рассмотренном примере последовательность состоит из двух бесконечно чередующихся чисел.

А бывает ли так, что последовательность состоит из одинаковых чисел? Конечно. Например, задаёт бесконечное количество «троек». Для эстетов есть случай, когда в формуле всё же формально фигурирует «эн»:

Факториал:

Всего лишь свёрнутая запись произведения:

 

Разберёмся с последовательностью.

Сначала подставим в энный член значение и внимательно проведём вычисления:

 

Далее подставим в общий член:

 

Потом подставим следующий номер:

 

Четвёрку:

Чего уж, теперь и отличную отметку не зазорно заработать:

 

и так далее… пока разогреется самый последний чайник!


 


 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2021-05-26 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: