Слайд 10. Научимся применять теорему Пифагора и её следствия при решении простейших задач. Найдите гипотенузу с прямоугольного треугольника, если длины катетов a и b равны 5 см и 12 см. Запишите, используя теорему Пифагора, чему равен квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника. Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Значит, 
. Подставьте в формулу данные из условия задачи и найдите значение квадрата гипотенузы, проверьте свой результат.
. Следовательно, 
Ответ: 13 см.
Слайд 11. В следующей задаче требуется найти длину катета b прямоугольного треугольника, если известны длина гипотенузы с = 17 см и катета a = 15 см. Запишите, используя следствие из теоремы Пифагора, как найти длину катета b по известной гипотенузе с и катету a. Катет b равен квадратному корню из разности квадрата гипотенузы с и квадрата катета a. 
. Подставьте данные из условия задачи, но не спешите возводить в квадрат числа 17 и 15, легче применить формулу разности квадратов. Тогда под корнем получим произведение выражений (17 - 15) и (17 + 15), так вычислять гораздо легче, получаем, что b = 8 см.
Ответ: 8 см.
Слайд 12. Выведем с помощью теоремы Пифагора и её следствий несколько важных формул. Рассмотрим квадрат со стороной a и диагональю d. Диагональ квадрата разбивает его на два равных прямоугольных равнобедренных треугольника. Применим для одного из них теорему Пифагора, получим 
. Тогда 
, а так как d > 0, то 
. Выведите самостоятельно формулу для нахождения стороны квадрата по известной длине диагонали d. Проверьте свой результат. 
.
Аналогичные формулы выполняются для прямоугольного равнобедренного треугольника.
Выведем формулы для высоты и площади равностороннего треугольника со стороной а. BH – высота и медиана равностороннего треугольника АВС. Следовательно, AH = 
.
Из прямоугольного треугольника ABH по следствию из теоремы Пифагора найдите самостоятельно высоту h, поставив видеозапись на паузу. Проверьте полученные результаты. 
Выведите формулу для площади равностороннего треугольника АВС, найдя её как половину произведения стороны а на высоту h.
.
Слайд 13. Для теоремы Пифагора выполняется и обратная теорема, которая позволяет по трём сторонам треугольника определить, является ли он прямоугольным.
Если в треугольнике сумма квадратов двух сторон равна квадрату третьей стороны, то этот треугольник прямоугольный, т. е. если для сторон 
справедливо равенство 
= 
, то 
. Пусть дан , со сторонами BC = a, AC = b, AB = c, известно, что 
= . Докажем, что тогда .
Доказательство. Рассмотрим заведомо прямоугольный 
c катетами 
. Тогда по теореме Пифагора 
. Но по условию = . Значит, 
. Следовательно, 
по трём сторонам. Из равенства треугольников следует, что 
Теорема доказана.
Слайд 14. Научимся применять теорему, обратную теореме Пифагора при решении задач на готовых чертежах.
Используя данные, указанные на рисунке, найдите площадь треугольника.
Так как 
, то по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник – прямоугольный с катетами 
и 4. Его площадь равна половине произведения катетов, а значит 
.
Слайд 15. Следующая задача. По данным на рисунке найдите величину угла C.
Так как 
, то по теореме, обратной теореме Пифагора 
– прямоугольный, наибольший прямой угол лежит напротив наибольшей стороны AC. Следовательно, 
и катет BC равен половине гипотенузы AC, а значит, лежит против 
. Тогда 
.
Слайд 16. Тройки целых чисел, которые являются сторонами прямоугольного треугольника, называются Пифагоровыми тройками.
Заполните таблицу и выясните, образуют ли Пифагоровы тройки стороны следующих треугольников.
Слайд 17. Проверьте свои результаты. Действительно, стороны этих треугольников образуют Пифагоровы тройки. Их полезно запомнить и в дальнейшем экономить время при решении задач.
Умножая каждую из этих троек на натуральное число, можно получить бесконечно много Пифагоровых троек. Например, для первой тройки можно получить следующие:
6, 8, 10; 9, 12, 15; 12, 16, 20…
Слайд 18. Прямоугольный треугольник с соотношением сторон 3: 4: 5 был известен ещё древним египтянам, он активно применялся для построения прямых углов землемерами и архитекторами. Этот треугольник называется египетским. До сих пор метод древних египтян используют для построения прямого угла на местности.
Слайд 19. Для этого используют верёвку, разделённую узлами на 12 равных частей.
Слайд 20. Концы верёвки соединяют друг с другом.
Слайд 21. Вбивают в землю два колышка на расстоянии 3х друг от друга.
Слайд 22. Вставляют третий колышек в узел верёвки так, чтобы получился треугольник со сторонами 3х, 4х и 5х. Натягивают верёвку и вбивают третий колышек в землю.
Слайд 23. Прямой угол построен.
Слайд 24. Вы получили ответы на все поставленные в начале вопросы.
Успехов вам в дальнейшем изучении геометрии.