Контрольная работа по дисциплине
«Методы оптимальных решений»
Номер варианта выбирается согласно порядковому номеру фамилии студента в списке группы!
| Номер варианта | Задание №1. Линейное программирование. Таха, Хэмди, А. Введение в исследование операций, 6-е изд.: Пер. с анг. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2001.-912 с. | Задание №2. Нелинейное программирование. Таха, Хэмди, А. Введение в исследование операций, 6-е изд.: Пер. с анг. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2001.-912 с. (Глава 20) | Задание №3. Теория игр. Моделирование рисковых ситуаций в экономике и бизнесе: Учеб. пособие/А.М. Дубров, Б.А. Лагоша, Е.Ю. Хрусталев, Т.П. Барановская; Под ред. Б.А. Лагоши. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 2001. – 224с. | Задание №4. Портфель. 1) Бенинга, Шимон. Финансовое моделирование с использованием Excel, 2-е издание.: Пер. с англ. – М.: ООО «И.Д, Вильямс», 2007. (Главы 8, 9, 10). 2) Крушвиц Л. Инвестиционные расчеты/Пер. с нем. Под общей редакцией В.В. Ковалева и З.А. Сабова. – СПб, 2001. (Глава 5) | Задание №5 Динамическое программирование. Таха, Хэмди, А. Введение в исследование операций, 6-е изд.: Пер. с анг. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2001.-912 с. |
| 2.1 | Упр. 20.2,а-1 | 3.1 | Глава 8. Упраж. 1 | Пример 10.2-1 | |
| 2.2 | Упр. 20.2,а-2 | 3.2 | Глава 8. Упраж. 2 | Упражнение 10.2,а: 1 | |
| 2.3 | Упр. 20.2,а-3 | 3.3 | Глава 9. Упраж. 1 | ||
| 2.4 | Упр. 20.2,а-4 | 3.4 | Глава 9. Упраж. 2 | ||
| 2.5 | Упр. 20.2b-1 (для 20.2,а(1с)) | 3.5 | Глава 9. Упраж. 3 | Упражнение 10.3,а: 1 | |
| 2.5 | Упр. 20.3,а-1а | 4.1 | Глава 9. Упраж. 4 | ||
| 2.7 | Упр. 20.3,а-1b | 4.2 | Глава 10. Упраж. | ||
| 2.8 | Упр. 20.3,а-1c | 4.3 | Глава 5. Задача 1. | Пример 10.4-1 | |
| 2.9 | Упр. 20.3,b-1 | 4.4 | Глава 5. Задача 2. | Упражнение 10.4,а: 1 | |
| 2.10 | Упр. 20.3,b-2 | 6.1 | Глава 5. Задача 3. | ||
| 2.11 | Упр. 20.3,b-3 | 6.2 | Глава 5. Задача 4. | ||
| 2.12 | Упр. 20.3,b-4 | 6.3 | Глава 5. Задача 5. | ||
| 2.13 | Упр. 20.3,b-5 | 8.1 | Глава 5. Задача 6. | ||
| 2.14 | Упр. 20.3,b-6 | 8.2 | Глава 5. Задача 7. | ||
| 2.15 | Упр. 20.3,b-7 | 3.1 | Глава 5. Задача 8. | ||
| 3.1 | Упр. 20.3,c-1 | 3.2 | Глава 5. Задача 9. | ||
| 3.2 | Упр. 20.3,c-2 | 3.3 | Глава 5. Задача 10. | ||
| 3.3 | Упр. 20.3,c-3 | 3.4 | Глава 5. Задача 11. | ||
| 3.4 | Упр. 20.3,d-1 | 3.5 | Глава 5. Задача 12. | ||
| 3.5 | Упр. 20.3,d-2 | 4.1 | Глава 5. Задача 13. | ||
| 3.6 | Упр. 20.3,d-3 | 4.2 | Глава 5. Задача 14. | Пример 10.5-1 | |
| 3.7 | Упр. 20.3,d-4 | 4.3 | Глава 5. Задача 15. | Упражнение 10.4,с: 1а | |
| 3.8 | Упр. 20.3,d-5 | 4.4 | Глава 5. Задача 16. | в | |
| 3.9 | Упр. 20.3,d-1 | 6.1 | Глава 5. Задача 17. | с | |
| 4.1 | Упр. 20.3,d-2 | 6.2 | Глава 5. Задача 18. | Пример 10.2-1 | |
| 4.2 | Упр. 20.3,d-3 | 6.3 | Глава 5. Задача 19. | Упражнение 10.2,а: 1 | |
| 4.3 | Упр. 20.3,d-4 | 8.1 | Глава 5. Задача 20. | ||
| 5.1 | Упр. 20.3,d-5 | 8.2 | Глава 5. Задача 1. | ||
| 5.2 | Упр. 20.3,d-1 | 3.1 | Глава 5. Задача 2. | Упражнение 10.3,а: 1 | |
| 5.3 | Упр. 20.3,d-2 | 3.2 | Глава 5. Задача 3. |
Задание №1.
Тема 1. Линейное программирование
Задачи для самостоятельного решения
В этом разделе предложено несколько реалистических моделей ЛП, в которых определение переменных и построение целевой функции и ограничений не так однозначно, как в ранее рассмотренных моделях с двумя переменными.
Задача 1.1.
Банк T, предоставляющий полный набор банковских услуг, находится в процессе формирования портфеля кредитов объемом 12 миллионов долларов. В следующей таблице представлены возможные типы банковских кредитов.
| Тип кредита | Ставка процента | Вероятность безнадежных долгов |
| Кредиты физическим лицам Кредиты на покупку автомобилей Кредиты на покупку жилья Сельскохозяйственные Коммерческие | 0.140 0.130 0.120 0.125 0.100 | 0.10 0.07 0.03 0.05 0.02 |
Безнадежные долги считаются невозвратимыми, поэтому они должны вычитаться из возможного дохода.
Конкурентная борьба с другими финансовыми институтами вынуждает банк не менее 40% капитала помещать в сельскохозяйственные и коммерческие кредиты. Для содействия строительной индустрии своего региона банк планирует вложить в кредиты на покупку жилья не менее 50% от общей суммы кредитов физических лиц, на покупку автомобилей и жилья. Банк также поддерживает государственную политику, указывающую, что отношение безнадежных долгов ко всей сумме кредитов не должно превышать 0.04. Разработать математическую модель?
Задача 1.2.
Нефтедобывающая компания, расположенная на острове А, добывает 600 000 баррелей сырой нефти в день. Нефтеперерабатывающий завод производит два вида неэтилированного бензина: рядовой и высококачественный. Процесс нефтепереработки включает три стадии: 1) перегонка сырой нефти на перегонной колонне – на выходе бензиновый полуфабрикат; 2) часть полуфабриката поступает на крекинг-установку, где производится бензиновый дистиллят; 3) смесительная установка смешивает полуфабрикат, полученный на выходе перегонной колонны, и бензиновый дистиллят. Как рядовой, так и высококачественный бензин можно получить на основе либо бензинового полуфабриката, либо бензинового дистиллята (это зависит от того, что является основой смеси в смесительной установке), но стоимость таких видов бензина составляет $7,70 и $5,20, в зависимости от того, будет ли основой бензина полуфабрикат или дистиллят. Аналогичная чистая прибыль от одного барреля высококачественного бензина составляет соответственно $12,30 и $10,40.
Далее, на производство одного барреля бензинового полуфабриката (получаемого на выходе перегонной колонны) идет 5 баррелей сырой нефти. Крегинг-установка за день не может переработать более 40 000 баррелей полуфабриката. Весь остальной полуфабрикат идет на изготовление чистого бензина через смесительную установку. Ежедневно требуется производить не более 80 000 баррелей рядового бензина и 50 000 баррелей высококачественного бензина.
a) Разработайте математическую модель для нахождения оптимального производственного плана нефтеперерабатывающего завода.
b) Предположим, что появилась возможность увеличить производительность перегонной колонны до 650 000 баррелей в день, для чего необходимо одноразовое вложение $3 500 000, а после этого $15 000 ежедневно для поддержания такой производительности. Порекомендуете ли вы реализовать такую возможность? Обоснуйте свою рекомендацию.
Задача 1.3.
Сахарный завод из сиропа сахарного тростника производит желтый сахар, обычный белый, сахарную пудру мелассу (черную патоку). Компания еженедельно закупает 4000 т сиропа и планирует производить не менее 25 т каждого сахарного продукта в неделю. Процесс производства начинается с переработки сахарного продукта в неделю. Процесс производства начинается с переработки сахарного сиропа в желтый сахар и мелассу. Из одной тонны сиропа получается 0,3 т желтого сахара и 0,1 т мелассы. Далее из желтого сахара вырабатывается белый: из тонны желтого сахара получается 0,8 белого. Наконец, сахарная пудра получается из белого сахара путем размельчения на специальной мельнице. Производительность этой мельницы равна 95%, т.е. из тонны белого сахара получается 0,95 т сахарной пудры. Доход от одной тонны желтого и белого сахара, сахарной пудры и мелассы составляет $150, $200, $230 и $35 соответственно.
a) Сформулируйте задачу линейного программирования и найдите ее оптимальное решение.
b) Определите экономическую целесообразность расширения производства сахарного завода для переработки более 4000 т сахарного сиропа еженедельно.
Задача 1.4.
Некая компания рассматривает возможность реализации шести проектов в течении 4 лет. Ожидаемые затраты на реализацию каждого проекта и доход от них приведены в таблице. Компания может выполнить любой проект частично или полностью. При частичном выполнении проекта доход и затраты считаются пропорционально реализованной доле проекта.
| Проект | Затраты (на $1000) | Доход (на $1000) | |||
| 1-й год | 2-й год | 3-й год | 4-й год | ||
| 10,5 | 14,4 | 2,2 | 2,4 | 32,40 | |
| 8,3 | 12,6 | 9,5 | 3,1 | 35,80 | |
| 10,2 | 14,2 | 5,6 | 4,2 | 17,75 | |
| 7,2 | 10,5 | 7,5 | 5,0 | 14,80 | |
| 12,3 | 10,1 | 8,3 | 6,3 | 18,20 | |
| 9,2 | 7,8 | 6,9 | 5,1 | 12,35 | |
| Возможное вложение (в $1000) | 60,0 | 70,0 | 35,0 | 20,0 |
a) Сформулируйте задачу линейного программирования и найдите решение (состоящее из наборов выполняемых частей проектов), максимизирующее общую прибыль.
b) Предположим, что никакая часть второго проекта не может быть выполнена без выполнения такой же или большей части шестого проекта. Измените формулировку задачи и найдите новое оптимальное решение.
c) Какой эффект от денег, вложенных на 4-м году?
d) Предположим, что деньги, оставшиеся в конце года, можно использовать в следующем году. Найдите новое оптимальное решение и определите, какую сумму каждый год может «занять» у предыдущего?
e) Предположим, что суммы, вкладываемые ежегодно в течение первых трех лет, при необходимости можно получить в виде займа у внешних заемщиков. Переформулируйте задачу и найдите оптимальное решение. Будет ли новое решение требовать займов каждый год? Если «Да», то каков процент прибыли можно получить на заемные деньги?
Тема 2. Симплекс-метод
Задачи для самостоятельного решения
2.1. С помощью симплекс-метода и программы Solver в Excel решить следующую задачу линейного программирования (ЛП):
максимизировать 
при ограничениях
2.2. С помощью симплекс-метода и программы Solver в Excel решить следующую задачу линейного программирования (ЛП):
максимизировать 
при ограничениях
2.3. С помощью симплекс-метода и программы Solver в Excel решить следующую задачу линейного программирования (ЛП):
максимизировать 
при ограничениях
2.4. С помощью симплекс-метода и программы Solver в Excel решить следующую задачу линейного программирования (ЛП):
максимизировать 
при ограничениях
2.5. С помощью симплекс-метода и программы Solver в Excel решить следующую задачу линейного программирования (ЛП):
максимизировать 
при ограничениях
2.6. Решите задачу ЛП, имеющую систему ограничений
и следующую целевую функцию:
максимизировать 
2.7. Решите задачу ЛП, имеющую систему ограничений
и следующую целевую функцию:
минимизировать 
2.8. Решите задачу ЛП, имеющую систему ограничений
и следующую целевую функцию:
максимизировать 
29. Решите задачу ЛП, имеющую систему ограничений
и следующую целевую функцию:
минимизировать 
2.10. Рассмотрите следующую задачу:
максимизировать 
при ограничениях
Найдите оптимальное решение, используя в начальном базисном решении переменные 
и 
.
2.11. Решите следующую задачу, используя в начальном базисном решении переменные и :
минимизировать 
при ограничениях
2.12. Рассмотрите следующую задачу ЛП, связанную с распределением ресурсов:
максимизировать 
(прибыль)
при ограничениях
(ресурс 1),
(ресурс 2),
(ресурс 3),
(а) Определите статус каждого ресурса.
(б) Определите ценность каждого ресурса.
(в) Используя данные о ценности каждого ресурса, определите, запас какого из них следует увеличить в первую очередь.
(г) Определите максимальный интервал изменения запасов ресурса 1, в пределах которого текущее решение остается допустимым.
(д) Выполните задание п. (г) применительно к ресурсу 2.
(е) Для п.п. (г) и (д) определите соответствующее изменение оптимальных значений 
.
(ж) Определите максимальный интервал изменения удельной прибыли для переменной 
, в пределах которого полученное решение остается оптимальным.
(з) Выполните задание п. (ж) применительно к переменной 
2.13. Рассмотрите следующую задачу ЛП, связанную с распределением ресурсов:
максимизировать 
(прибыль)
(ресурс 1),
(ресурс 2),
(а) Определите статус каждого ресурса (дефицитный, недефицитный).
(б) Для запасов каждого из ресурсов определите максимальный интервал изменения, в пределах которого полученное решение остается допустимым.
(в) Используя результаты, полученные в п. (б), найдите соответствующие интервалы изменения оптимальных значений .
(г) Найдите максимальный интервал изменения удельной прибыли для переменной 
в пределах которого полученное решение остается оптимальным.
(д) Выполните задание п. (г) применительно к переменной 
2.14. Решить следующую задачу ЛП:
максимизировать 
при ограничениях
2.15. Решить следующую задачу ЛП:
максимизировать 
при ограничениях
Тема 3. Двойственность и анализ чувствительности