Практическая работа № 7
Тема занятия: Решение задач по теме «Линии 2-го порядка»
Цель: закрепить и систематизировать теоретические знания,
научиться решать задачи по теме «Линии 2-го порядка».
План выполнения практической работы
1. Изучение методических рекомендаций по решению задач и выполнение упражнений и задач.
2. Выполнение практической самостоятельной работы по вариантам.
3. Письменные ответы на контрольные вопросы
Задания для практической работы.
Методические рекомендации по решению упражнений и задач.
1.Окружность и её уравнение.
Каноническое уравнение окружности имеет вид:
 , (1)
Где(a, b)– координаты центра, а R – радиус окружности.
2. Эллипс и его уравнение.
Каноническое уравнение эллипса:
  , (2)
Где а – большая полуось, в – малая полуось,
 – эксцентриситет эллипса.
Прямую, на которой расположены фокусы эллипса F1 u F2, называют фокальной осью, а
 и  – фокальными радиусами.
Прямые x=  называют директрисами эллипса.
Пример 1. Доказать, что уравнение
определяет эллипс. Найти координаты его центра симметрии.
Решение. Преобразуем данное уравнение, выделив полные квадраты по  и по  :
 .
Обозначим  , где  – новые переменные. Тогда уравнение примет вид   или, приводя к каноническому виду,  .
Сравнивая полученное уравнение с уравнением (2) убеждаемся, что кривая – эллипс. Центр его симметрии находится в точке (-2;2).
3. Гипербола и её уравнение.
Каноническое уравнение гиперболы:
 , (3)
Где  .
Точки  ,  называются вершинами гиперболы, прямые  являются асимптотами гиперболы,  – действительная полуось,  – мнимая полуось,  – эксцентриситет гиперболы, прямые   – ее директрисы.
Пример 2. Написать уравнение гиперболы и ее асимптот, если фокусы гиперболы находятся в точках  и длина вещественной оси равна 6.
Решение. По условию  , тогда из формулы найдем  . Каноническое уравнение гиперболы:  уравнения асимптот:  .
Пример 3. Написать уравнение гиперболы, проходящей через точку  , асимптоты которой  .
Решение. Из уравнения асимптот следует, что  . Уравнение гиперболы будем искать в виде . Так как точка лежит на гиперболе, то  . Решая систему  найдем  ,  . Получаем  или  .
4. Парабола и её уравнение.
Каноническое уравнение параболы
 , (4)
Где  (параметр параболы) – расстояние между фокусом и директрисой, а уравнение ее директрисы  .
Так как уравнение параболы содержит  , то она симметрична относительно оси  . Ось симметрии параболы называется осью параболы.
Вершиной параболы называется точка пересечения параболы с ее осью симметрии.
 Пример 4. Парабола с вершиной в начале координат проходит через точку  и симметрична относительно оси . Написать ее каноническое уравнение.
Решение. Подставляя координаты точки  в уравнение (22), найдем, что  . Значит, уравнение параболы  .
Пример 5. Доказать, что уравнение  определяет параболу. Найти значение ее параметра и координаты вершины.
Решение. Выделяя полный квадрат, получим   . Если положить  то уравнение примет вид  . Сравнивая его с каноническим уравнением (22), находим  , откуда  . Вершина параболы находится в точке  ,  , то есть  .
2. Самостоятельная работа.
Вариант I.
1. Найдите координаты центра и радиус окружности:
2. Найдите эксцентриситет эллипс: 
Вариант II.
1.Найдите уравнения асимптот и изобразите схематично гиперболу:
2. Запишите уравнение директрисы параболы и постройте её схематично:
У2 =-12х.
|
ВОПРОСЫДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
1. Охарактеризуйте уравнение линии второго порядка.
2. Как проверить лежит ли точка на линии?
3. Охарактеризуйте окружность и запишите её уравнение.
4.При каких условиях уравнение линии второго порядка определяет окружность?
5. Охарактеризуйте эллипс и запишите его уравнение
6. Что характеризует эксцентриситет эллипса?
7. При каких условиях уравнение линии второго порядка определяет гиперболу?
8.Какую роль играют асимптоты для гиперболы?
9. Охарактеризуйте параболу и запишите его уравнение
10.При каких условиях уравнение линии второго порядка определяет параболу?