Интерполирование по схеме Эйткена

Содержание

Введение

1. Формула Лагранжа

2. Интерполирование по схеме Эйткена

3. Интерполяционные формулы Ньютона для равноотстоящих узлов

4. Формула Ньютона с разделенными разностями

5. Интерполяция сплайнами

Заключение

Список литературы

Введение

Цель работы: изучение и сравнительный анализ методов интерполяции функций; реализация этих методов в виде машинных программ на языке высокого уровня и практическое решение задач интерполяции на ЭВМ.

При разработке математического обеспечения САПР часто приходится иметь дело с функциями f (x), заданными в виде таблиц, когда известны некоторое конечное множество значений аргумента и соответствующие им значения функции. Аналитическое выражение функции f (x) при этом неизвестно, что не позволяет определять ее значения в промежуточных точках аргумента, отсутствующих в таблице. В таком случае решается задача интерполирования, которая формулируется следующим образом.

На отрезке [ a, b ] заданы n + 1 точки x ₀, x ₁,..., x_n, которые называются узлами интерполяции, и значения некоторой функции f (x) в этих точках f (x ₀) = y ₀, f (x ₁) = y ₁,..., f (x_n) = y_n. Требуется построить интерполирующую функцию F (x), принимающую в узлах интерполяции те же значения, что и f (x), т.е. такую, что F (x ₀) = y ₀, F (x ₁) = y ₁,..., F (x_n) = y_n.

Геометрически это означает, что нужно найти кривую y = F (x) некоторого определенного типа, проходящую через заданную систему точек M_i (x_i, y_i) для i = . Полученная таким образом интерполяционная формула y = F (x) обычно используется для вычисления значений исходной функции f (x) для значений аргумента x, отличных от узлов интерполяции. Такая операция называется интерполированием функции f (x). При этом различают интерполирование в узком смысле, когда x принадлежит интервалу [ x ₀, x_n ], и экстраполирование, когда x не принадлежит этому интервалу.

В такой общей постановке задача интерполирования может иметь бесчисленное множество решений. Чтобы получить единственную функцию F (x), необходимо предположить, что эта функция не произвольная, а удовлетворяет некоторым дополнительным условиям.

В простейшем случае предполагается, что зависимость y = f (x) на каждом интервале (x_i, x_{i +1}) является линейной. Тогда для каждого участка (x_i, x_{i +1}) в качестве интерполяционной формулы y = F (x) используется уравнение прямой, проходящей через точки M_i (x_i, y_i) и M_{i +1}(x_{i +1}, y_{i +1}), которое имеет вид

 

. ( 1 )

 

При программировании процедур линейной интерполяции следует учитывать, что процесс решения задачи интерполирования с использованием формулы (1) включают два этапа: выбор интервала (x_i, x_{i +1}), которому принадлежит значение аргумента х; собственно вычисление значения y = F (x) по формуле (1).

На практике в качестве интерполирующей функции F (x) обычно используется алгебраический многочлен

P _n (x) = a ₀ + a ₁ x + a ₂ x ²+... + a_nxⁿ

степени не выше n, такой, что P_n (x ₀) = y ₀, P_n (x ₁) = y ₁,..., P_n (x_n) = y_n. Наиболее известными методами построения интерполяционного многочлена P_n (x) являются метод Лагранжа, итерационные и разностные методы.

 

Формула Лагранжа

 

Интерполяционная формула Лагранжа обеспечивает построение алгебраического многочлена P_n (x) для произвольно заданных узлов интерполирования. Для n + 1 различных значений аргумента x ₀, x ₁,..., x_n и соответствующих значений функции f (x ₀) = y ₀, f (x ₁) = y ₁,..., f (x_n) = y_n интерполяционная формула Лагранжа имеет вид

 

,

 

где х - значение аргумента функции, расположенного в интервале [ x ₀, x_n ].

Необходимо отметить, что формула Лагранжа, в отличие от других интерполяционных формул, содержит явно y_i (i = ), что бывает иногда важно.

Пример 1. Построить интерполяционный многочлен Лагранжа для функции, заданной следующей таблицей.

 

x 0 = 0,	x 1 = 1,	x 2 = 2,	x 3 = 5,
y 0 = 2,	y 1 = 3,	y 2 = 12,	y 3 = 147.

 

Для случая четырех узлов интерполяции (n = 3) многочлен Лагранжа представляется следующим образом:

 

Заменив переменные x_i, y_i (i = )их числовыми значениями, получим интерполяционный многочлен

 

Интерполирование по формуле Лагранжа связано с большим объемом вычислений, значительная часть которых повторяется при получении нескольких значений P_n (x) для одной функции f (x). В том случае, когда формула Лагранжа используется для многократного получения значений одной функции при различных значениях аргумента, можно значительно уменьшить объем вычислений. Для этого формула Лагранжа представляется в виде

где - лагранжевы коэффициенты, определяемые как

 

Вычисление лагранжевых коэффициентов выполняется по следующей схеме, удобной при использовании ЭВМ. Составляется таблица разностей:

 

 

Произведение элементов i -й строки обозначается через K_i. Отсюда лагранжевы коэффициенты вычисляются по формуле

 

где П _{n +1}(x) = (x - x ₀)(x - x ₁)…(x - x_n) - произведение элементов главной диагонали таблицы (эти элементы подчеркнуты). Тогда формула Лагранжапринимает вид:

 

 

Использование формулы (2) позволяет сократить значительную часть вычислений по определению лагранжевых коэффициентов L_i ⁽ⁿ⁾(x) при различных значениях аргумента. Для этого произведение элементов i -й строки таблицы разностей представляется как K_i = (x – x_i) D_i, где D_i - произведение всех элементов строки, кроме расположенного на главной диагонали. Величина D_i (i= )не зависит от значения аргумента x и может быть вычислена для заданной функции только один раз.

 

Интерполирование по схеме Эйткена

 

Итерационные методы интерполирования основаны на повторном применении некоторой простой интерполяционной схемы. Наиболее известным из итерационных методов является метод Эйткена, в основе которого лежит многократное применение линейной интерполяции.

В соответствии со схемой Эйткена линейная интерполяция по точкам M_i (x_i, y_i) и M_{i +1}(x_{i +1}, y_{i +1}) сводится к вычислению определителя второго порядка

 

При интерполировании по трем и более точкам последовательно вычисляются многочлены

В общем случае интерполяционныймногочлен n -й степени, принимающий в точках x_i значения y_i (i = ), записываются следующим образом:

(3)

 

Основным достоинством схемы Эйткена является возможность постепенного увеличения числа используемых значений x_i до тех пор, пока последовательные значения P _{0,1,2,…, n} (x) и P _{1,2,…, n -1}(x) не совпадут в пределах заданной точности. Иначе говоря, вычисления прекращаются при выполнении условия

 

| P _{0,1,2,…, n} (x) - P _{1,2,…, n -1}(x)| < e (k £ n).

 

При использовании ЭВМ вычисления по формуле (3) реализуются в виде рекурсивной подпрограммы - функции РХ(I, J) с формальными параметрами I, J, определяющими индексы крайних узлов интерполирования, которые используются для получения значения соответствующего многочлена P_{i , i +1,…, j} (x).

Для хранения вычисленных значений P (x) используется двумерный массив M размером N*N элементов, где N - максимальное число узлов интерполирования. Каждому возможному значению P (x) соответствует один из элементов M(I, J), расположенный выше главной диагонали (I < J) и определяемый сочетанием индексов крайних узлов интерполирования.

Например, значению многочлена P _1,2(x) соответствует элемент M(1,2), значению P _2,3,4(x) - элемент M(2, 4) и т.д. Симметричные элементы M(J, I), расположенные ниже главной диагонали (J > I), показывают, вычислены ли соответствующие значения P (x) на данный момент, и определяются как

 

Схема рекурсивной процедуры PX приведена на рис. 1, где Х- массив значений узлов интерполирования, Y- массив значений функциивузлах интерполирования, Z- значение аргумента. Параметры X, Y, Z, M должны быть описаны как общие для главной программы и подпрограммы PX.

 

3. Интерполяционные формулы Ньютона для равноотстоящих узлов

 

Узлы интерполирования x ₀, x ₁,..., x_n называются равноотстоящими, если , где h - шаг интерполирования. При этом для некоторой функции f (x) таблично задаются значения y_i = f (x_i), где x_i = x ₀ + ih.

 

 

Существуют две формулы Ньютона для случая равноотстоящих узлов интерполирования, которые называются соответственно первой и второй интерполяционными формулами Ньютона и имеют вид:

 

;

,

В этих формулах D ⁱy_j - конечные разности, где i - порядок разности, j - ее порядковый номер, а параметры t и q определяются следующим образом:

t = (x - x ₀) / h; q = (x - x_n) / h.

 

Конечные разности первого порядка вычисляются как D y_j = y_{j +1} – y_j, где

j = , для более высоких порядков используется известная формула

 

(i = 2, 3,...; j = ).

 

Получаемые конечные разности удобно представлять в табличной форме записи, например, в виде табл. 1, которая называется горизонтальной таблицей конечных разностей.

Таблица 1

x	y	D y	D2 y	D3 y	D4 y
x 0	Y 0	D y 0	D2 y 0	D3 y 0	D4 y 0
x 1	Y 1	D y 1	D2 y 1	D3 y 1	D4 y 1
x 2	Y 2	D y 2	D2 y 2	D3 y 2
x 3	Y 3	D y 3	D2 y 3	-
x 4	Y 4	D y 4	-	-
x 5	Y 5	-	-	-

 

Пepвая формула Ньютона применяется для интерполирования вперед и экстраполирования назад, т.е. в начале таблицы разностей, где строки заполнены и имеется достаточное число конечных разностей. При использовании этой формулы для интерполирования значение аргумента x должно лежать в интервале [ x ₀, x ₁]. При этом за x ₀может приниматься любойузел интерполяции x_k с индексом , где m - максимальный порядок конечных разностей.

Вторая формула Ньютона применяется для интерполирования назад и экстраполирования вперед, т.е. в конце таблицы конечных разностей. При этом значение аргумента x должно находиться в интервале [ x_{n -1}, x_n ], причем за x_n может приниматься любой узел интерполирования .

Одно из важнейших свойств конечных разностей заключается в следующем. Если конечные разности i –го порядка (i < n) постоянны, то функция представляет собой полином i –й степени. Следовательно, формула Ньютона должна быть не выше i -й степени. При использовании ЭВМ вычисление конечных разностей завершается при выполнении условий

 

 

где L - число значащих цифр после запятой в представлении значений функции.

Необходимо отметить, что формулы Ньютона являются видоизменениями формулы Лагранжа. Однако в формуле Лагранжа нельзя пренебречь ни одним из слагаемых, так как все они равноправны и представляют многочлены n -й степени. В формулы Ньютона в качестве слагаемых входят многочлены повышающихся степеней, коэффициентами при которых служат конечные разности, разделенные на факториалы. Конечные разности, как правило, быстро уменьшаются, что позволяет в формулах Ньютона пренебречь слагаемыми, коэффициенты при которых становятся малыми. Это обеспечивает вычисление промежуточных значений функции достаточно точно спомощью простых интерполяционных формул.