Расчет трехпролетной балки с равными пролетами и нагрузкой в среднем пролете.

Расчет трехпролетной балки с равными пролетами и равномерно распределенной нагрузкой.

Конечно, можно пойти по пути, не менее сложному и запутанному, чем путь орла в небе, путь корабля в море, путь змеи на скале или путь мужчины к сердцу женщины. Для этого нужно рассчитать два раза статически неопределимую балку, решив несколько уравнений с неизвестными членами. Но мы поступим проще, воспользовавшись следующим предположением: для балки с жестко защемленными опорами момент на опоре составляет M = - ql²/12, для балки с одной жестко защемленной опорой и одной шарнирной опорой момент на опоре составляет M = - ql²/8. Приблизительно такую ситуацию мы и имеем на опорах В и С. Если предположить, что в результате перераспределения напряжений момент на опорах будет иметь некое среднее значение, и так как скачка на эпюре моментов быть не может, то момент на опорах может равняться:

М_В = М_С = - (ql²/10) = - 0.1ql² (253.4.1)

Теперь можно определить опорные реакции. При действии изгибающего момента М опорная реакция на опоре А составит (левая часть рисунка 253.1):

А = - М/l (221.2.1),

а опорная реакция на опоре В:

В_лев = M/l (221.2.2).

Тогда общая опорная реакция на опоре А будет составлять:

А = D = ql/2 + M/l = ql/2 - 0.1ql² = 0.4ql (253.4.2),

а общая опорная реакция на опоре В будет составлять:

В_лев = С_прав = ql/2 - M/l = ql/2 + 0.1ql = 0.6ql (253.4.3)

В_прав = С _лев = ql/2 (253.4.3)

тогда суммарные опорные реакции на опорах В и С, действующие на трехпролетную балку составят:

В = С = 0.6ql + ql/2 = 1.1ql (253.4.4)

Как видим на основе сделанного предположения расчет трехпролетной балки с равномерно распределенной нагрузкой по всей длине балки и равными пролетами не такой уж и сложный, но нужно проверить, насколько наше предположение оказалось верным. Так как наша балка должна оставаться в состоянии статического равновесия, то сумма опорных реакций должна быть равна действующей нагрузке:

3ql = 2·0.4ql + 2·1.1ql = (0.8 +2.2)ql = 3ql (253.5.1)

Это условие соблюдается. Теперь проверим, будет ли момент на опорах В, С равен полученному при такой нагрузке и опорных реакциях и будет ли момент на последней опоре D равен 0:

М_В = 0.4ql·l - 0.5ql² = -0.1ql² (253.5.2.1)

М_С = 0.4ql·2l + 1.1ql·l - 0.5q(2l)² = - 0.1ql² (253.5.2.2)

М_D = 0.4ql·3l + 1.1ql(2l +l) - 0.5q(3l)² = 0 (253.5.2.3)

Это условие также соблюдается. Осталось проверить, будет ли прогиб равен нулю на опорах. Для этого сначала нужно определить угол поворота на опоре А. Если наши предположения верны, то уравнение прогиба на опоре В будет иметь вид:

f_B = tgΘ_Al + Al³/6EI - ql⁴/24EI = 0 (253.5.3);

тогда

tgΘ_A = ql³/24EI - 0.4ql³/6EI = (1-1.6)ql³/24EI = - 0.025ql³/EI = - ql³/40EI (253.5.4);

при таком тангенсе угла наклона на опоре А прогиб на опоре С составит:

f_С = tgΘ_A2l + A(2l)³/6EI + Bl³/6EI - q(2l)⁴/24EI = (-0.05 +0.5333 + 0.18333 - 0.66667)ql⁴/EI = 0 (253.5.5);

прогиб на опоре D составит:

f_D = tgΘ_A3l + A(3l)³/6EI + B(2l)³/6EI +Cl³/6EI - q(3l)⁴/24EI = (-0.075 +1.8 + 1.4667 + 0.18333 - 3.375)ql⁴/EI = 0 (253.5.6);

Примечание: Определить тангенс угла поворота на опорах можно и другим способом. Так как мы знаем, что для балки на двух шарнирных опорах при действии равномерно распределенной нагрузки θ_A = - ql3/24EI, а также знаем, что при действии отрицательного момента на опоре В шарнирно опертой балки на другой опоре значение тангенса угла поворота составит θ_А = Ml/6EI. Таким образом при значении момента М_В = - ql²/10 тангенс угла поворота на опоре А составит:

θ_А = - ql³/24EI + (ql²)l/(6·10EI) = -10ql³/240EI + 4ql³/240EI = - ql³/40EI (253.5.7)

Удобство данного способа в том, что можно сразу определить тангенс угла поворота на опоре В и на опоре С:

θ_В = - θ_С = - ql³/24EI + (ql²)l/(3·10EI) = -10ql³/240EI + 8ql³/240EI = - ql³/120EI (253.5.8)

Впрочем, решение уравнения начальных параметров в итоге дало бы такой же результат, только для этого потребуется больше вычислений:

θ_В = θ_А + Аl²/2EI - ql³/6EI = - ql³/40EI + (0.4ql)l²/2EI - ql³/6EI = - 5ql³/120EI + 24ql³/120EI - 20ql3/120EI = - ql³/120EI (253.5.9)

Однако тут нужно очень внимательно следить за знаками. Положительное значение тангенса угла поворота в начале балки означает, что ось балки в результате деформации находится над осью х в рассматриваемом сечении. Отрицательное значение тангенса угла поворота в конце рассматриваемой балки означает то же самое, то есть ось балки в результате деформации находится выше оси х в рассматриваемом сечении. Соответственно при переходе к рассмотрению следующего участка неразрезной балки (при переходе через опору) знак тангенса угла поворота не меняется, но меняется положение нейтральной оси балки.

Расчет трехпролетной балки с равными пролетами и нагрузкой в среднем пролете.

Опять же предположим, что если нагрузка действует только на средний пролет трехпролетной балки, при этом длины пролетов равны, то значение моментов на опорах В и С уменьшится в 2 раза потому, что при отсутствии нагрузок в крайних пролетах моменты действуют не на один пролет, как в первом примере, а на как бы на два пролета. Таким образом значение искомого момента на опорах В и С будет:

M_B = M_C = - 0.1ql² · l/(l + l) = - 0.05ql² (253.6.1)

Используя это значение опорных моментов, рассчитать значения опорных реакций и все другие необходимые параметры не составит большого труда, при этом явно видно, что значения всех параметров при действии нагрузки только посредине будут меньше, чем при действии равномерно распределенной нагрузки по всей длине балки, приблизительно то же можно сказать и при действии нагрузки только в крайних пролетах, во всяком случае момент на опорах при действии нагрузки только в крайних пролетах также будет равен - 0.05ql². со всеми вытекающими отсюда последствиями. Продолжим рассмотрение многопролетных балок, впереди нас ждет 4-пролетная балка.

3. Расчет четырехпролетной балки с равными пролетами и равномерно распределенной нагрузкой во всех пролетах. Четырехпролетная шарнирно опертая балка является 3 раза статически неопределимой. Чтобы не запутаться при решении многочисленных уравнений, необходимых для определения опорных реакций и моментов на опорах, попробуем еще раз подойти к решению задачи не традиционно. Так как четырехпролетная балка с равными пролетами и равномерно распределенной нагрузкой во всех пролетах является симметричной, то можно рассматривать не всю балку, а только первые два пролета, заменив остальные два пролета жесткой опорой. Этот метод мы использовали при расчете двухпролетной балки и он себя оправдал. Более того, чтобы получить расчетную схему половины четырехпролетной балки, достаточно к двухпролетной балке из указанного примера приложить изгибающий момент на опоре С таким образом, чтобы тангенс угла поворота на опоре С стал равен нулю:

Рисунок 262.1. Приведение расчетной схемы четырехпролетной неразрезной балки к двухпролетной. а) расчетная схема 4пролетной балки, б) приведение 4пролетной балки к 2пролетной, в) замена жесткой опоры 2пролетной балки на шарнирную опору и изгибающий момент, г) расчетная схема двухпролетной балки с действующим на опоре изгибающим моментом, д) положение оси балки и углы поворота на опорах при действии изгибающего момента на опоре С, "М" - эпюра моментов для двухпролетной балки с моментом на опоре С. Это позволяет выполнить расчет двухпролетной балки только от действующего на опоре момента, а затем на основании этого внести необходимые поправки в значения опорных реакций и опорных моментов двухпролетной балки с равномерно распределенной нагрузкой из вышеуказанного примера. Тангенс угла поворота на на опоре Сдля двухпролетной балки (рис. 262.1.д) определить не сложно, так как θВ = 0, то: tgΘB = tgΘA + Al2/2EI - ql3/6EI = 0 (262.1.1) tgΘА = tgΘС = - Аl2/2EI + ql3/6EI = -3ql3/16ЕI + ql3/6EI = (-9 +8)ql3/48EI = -ql3/48EI (262.1.2), однако просто подставить значение момента на опоре С в формулу (262.1.1) мы не можем, так как следует учесть, что при действии момента на опоре С также возникает момент на опоре В, который также изгибает балку (причем судя по эпюре прогибов - изгибает в противоположную сторону). Поэтому сначала рассчитаем значения опорных реакций и момента на опоре В, а для этого составим несколько подходящих уравнений: A + B + C = 0 или С = - А - В (262.2.1) Al = MB или А = МВ/l (262.2.2) A2l + Bl = - MC (так как эпюра моментов над осью балки) (262.2.3) fB = tgΘAl + Al3/6EI = 0 (262.3.1); tgΘAl = - Al3/6EI (262.3.2) fC = tgΘA2l + A(2l)3/6EI + Bl3/6EI = 0 (262.3.3); tgΘA2l = - 8Al3/6EI - Bl3/6EI (262.3.4) Если умножить обе части уравнения (262.3.2) на 2, то из этого уравнения и уравнения (262.3.4) можно определить соотношение опорных реакций: 2Al3/6 = 8Al3/6 + Bl3/6 (262.4.1) 2A - 8A = B (262.4.2) B = - 6A (262.4.3) теперь мы можем подставить полученное значение опорной реакции В в уравнение моментов: 2Al - 6Al = - MC (262.5.1) A = MC/4l (262.5.2) B = - 6MC/4l (262.5.3) C = 6МС/4l - MC/4l = 5MC/4l (262.5.4) и тогда МВ = МСl/4l = MC/4 (262.5.5) Теперь, когда мы знаем значение момента на опоре В, можно определить значение момента на опоре С по тангенсу угла поворота: - ql3/48ЕI = MСl/3EI - МВl/6EI = MCl/3EI - MCl/24EI (262.6.1) MС = - ql2/14 = - 0.07142ql2 (262.6.2) Таким образом момент на опоре В составит: МВ = - МС/4 = ql2/(14·4) = ql2/56 (262.7.1) Опорные реакции для однопролетной балки с опорами А и В при действии момента на опоре В составят: А = МB/l =ql/56 (262.7.1) B = - MB/l = - ql/56 (262.7.2) Опорные реакции для однопролетной балки с опорами В и С при действии моментов на опорах составят: В = - МС/l - МВ/l = - ql/14 - ql/56 = -5ql/56 (262.7.3) C = МС/l + МВ/l = ql/14 + ql/56 = 5ql/56 (262.7.4) Таким образом опорные реакции для двухпролетной балки при действии изгибающего момента на опоре С составят: А = ql/56 (262.7.5) C = 5ql/56 (262.7.6) B = - ql/56 - 5ql/56 = - 6ql/56 (262.7.7) Теперь эти полученные значения можно применить для двухпролетной балки с равномерно распределенной нагрузкой: А = Е = 3ql/8 + ql/56 = 22ql/56 (262.7.8) C = 3ql/8 + 5ql/56 = 26ql/56 (262.7.9) B = D = 10ql/8 - 6ql/56 = 64ql/56 = 8ql/7 (262.7.10) При этом значение момента на опоре В составит: MB = ql2/8 - ql2/56 = 6ql2/56 = 0.10714ql2 (262.7.11) Для 4 пролетной балки опорная реакция на опоре С составит: С = Справ + Слев = 26ql/56 + 26ql/56 = 52ql/56 (262.7.12) На основании этих результатов можно рассчитать все необходимые параметры балки - значение момента и величину прогиба в любом из пролетов и в любой точке балки и построить на основании этих данных необходимые эпюры, например эпюра моментов для рассчитанной четырехпролетной балки будет выглядеть так, как показано на рис. 262.2 в). Осталось проверить, насколько точны наши предположения. Так как наша балка должна оставаться в состоянии статического равновесия, то сумма опорных реакций должна быть равна действующей нагрузке: 4ql = 2·22ql/56 + 2·64ql/56 + 52ql/56 = (44 + 128 + 52)ql/56 = 4ql (262.8.1) Это условие соблюдается. Теперь проверим значения моментов на опорах: МВ = 22ql·l/56 - 0.5ql2 = - 6ql2/56 (262.8.2) МС = 22ql·2l/56 + 64ql·l/56 - 0.5q(2l)2 = (44 + 64 - 112)ql2/56 = - 6ql2/56 (262.8.3) МD = 22ql·3l/56 + 64ql·2l/56 + 52ql·l/56 - 0.5q(3l)2 = (66 + 128 + 52 - 252)ql2/56 = - 6ql2/56 (262.8.4) МE = 22ql·4l/56 + 64ql(3l + l)/56 + 52ql·2l/56 - 0.5q(4l)2 = (88 + 256 + 104 - 448)ql2/56 = 0 (262.8.5) И это условие выполняется. Теперь проверим, будет ли прогиб равен нулю на опорах. Для этого сначала нужно определить угол поворота на опоре А. Уравнение прогиба на опоре В будет иметь вид: fB = tgΘAl + Al3/6 - ql4/24 = 0 (262.9.1); тогда EItgΘA= ql3/24 - 22ql3/(6·56) = (14 -22)ql3/336 = - 8ql3/336 = - ql3/42 (262.9.2); при таком тангенсе угла наклона на опоре А прогиб на опоре С составит: EIfС = tgΘA2lEI + A(2l)3/6 + Bl3/6 - q(2l)4/24 = (- 16 +176 + 64 - 224)ql4/336 = 0 (262.9.2); прогиб на опоре D составит: EIfD = tgΘA3lEI + A(3l)3/6 + B(2l)3/6 + Cl3/6 - q(3l)4/24 = (- 24 +594 + 512 +52 - 1134)ql4/336 = 0 (262.9.3); прогиб на опоре E составит: EIfС = tgΘA4lEI + A(4l)3/6 + B(3l)3/6 + C(2l)3/6 +Dl3/6 - q(4l)4/24 = (- 32 +1408 + 1728 + 416 + 64 - 3584)ql4/336 = 0 (262.9.4); Возможно, расчет оказался не таким простым, как хотелось бы, но не будем забывать, что рассматриваемая четырехпролетная балка является трижды статически неопределимой. К тому же третья часть приведенных формул относится не к самому расчету, а к проверке, да и расчетные формулы даны с максимально возможной подробностью, вряд ли необходимой. На основании полученных закономерностей и пользуясь вышеприведенным алгоритмом, можно относительно просто рассчитать, например, 6-пролетную шарнирно опертую балку с равными пролетами и равномерно распределенной нагрузкой. 4. Расчет 6-пролетной балки с равными пролетами и равномерно распределенной нагрузкой во всех пролетах. Такая балка является 5 раз статически неопределимой, но это нас уже не так сильно пугает. Такую балку можно рассматривать как две трехпролетные балки с жестким защемлением на одной из крайних опор, а жесткую опору опять же можно заменить опорным моментом. Добавим несколько уравнений к уже имеющимся (выведенные ранее уравнения даны курсивом): Al = MB или А = МВ/l (262.2.2) A2l + Bl = MC (так как эпюра моментов под осью балки) (262.2.3.1) A3l + B2l + Cl = - MD (262.2.3.3) fB = tgΘAl + Al3/6EI = 0 (262.3.1); tgΘAl = - Al3/6EI (262.3.2) fC = tgΘA2l + A(2l)3/6EI + Bl3/6EI = 0 (262.3.3); tgΘA2l = - 8Al3/6EI - Bl3/6EI (262.3.4) fD = tgΘA3l + A(3l)3/6EI + B(2l)3/6EI + Сl3/6EI = 0 (262.3.3.5); tgΘA3l = - 27Al3/6EI - Bl3/6EI (262.3.4) 2Al3/6 = 8Al3/6 + Bl3/6 (262.4.1) B = - 6A (262.4.3) на основании уравнений (262.4.3) и (262.3.35) мы можем определить реакцию на опоре С: C = 3A - 27A +48A = 24A (262.4.3.2) далее 2Al - 6Al = MC (262.5.1) A3l - 6A2l + 24Al = - MD (262.5.1.2) A = - MD/15l (262.5.2.2) B = 6MD/15l (262.5.3.2) C = - 24МС/15l(262.5.4.2) и тогда МВ = - МDl/15l = MD/15 (262.5.5.2) MC = - 2MDl/15l + 6MDl/15l = 4MD/15 (262.5.5.3) Как видим, не смотря на увеличение количества пролетов, тенденция соотношения опорных моментов сохраняется: при действии изгибающего момента на одной опоре значение момента на соседней опоре будет приблизительно в 4 раза меньше, при этом момент на соседней опоре будет иметь противоположный знак. Теперь, когда мы знаем значение момента на опоре С, можно определить значение момента на опоре D по тангенсу угла поворота. Для трехпролетной балки тангенс угла наклона на крайних опорах составляет: tgΘA = ql3/24EI - 0.4ql3/6EI = (1-1.6)ql3/24EI = - 0.025ql3/EI (253.5.4); и тогда - 0.025ql3/ЕI = MDl/3EI - МDl/6EI = MDl/3EI - 4MDl/90EI = 26MDl/90EI (262.6.1) MD = - 0.0865ql2 ≈ - ql2/11.56 (262.6.2.2) Тогда момент на опоре С составит: МС = - 4МС/15 = 0.0865·4ql2/15 = 0.0231ql2 (262.7.1.2) А момент на опоре В составит: МB = МD/15 = - 0.0865ql2/15 = - 0.00577ql2 (262.7.1.2) Опорные реакции теперь можно достаточно легко определить по приведенному выше алгоритму, но в данном случае нас больше интересуют опорные моменты. Итоговое значение момента на опорах В и С составит: MB = - 0.1ql2 - 0.00577ql2 = - 0.10577ql2 ≈ ql2/9.5 (262.7.11.2) MС = - 0.1ql2 + 0.0231ql2 = - 0.07692ql2 ≈ ql2/13 (262.7.11.3) На основании этих результатов можно рассчитать все необходимые параметры балки - опорные реакции, значение момента и величину прогиба в любом из пролетов и в любой точке, но как правило большой необходимости в этом нет. Окончательная эпюра изгибающих моментов для 6-пролетной балки будет иметь следующий вид (рис.262.2. г): Рисунок 262.2. Эпюры моментов для многопролетных балок. а) двухпролетная балка, б) 3-пролетная балка, в) 4-пролетная балка, г) 6-пролетная балка Пользуясь данным алгоритмом, можно рассчитать и 8-пролетную и 10-пролетную и сколько угодно пролетную балку, но достаточно посмотреть на эпюры моментов 2, 3, 4 и 6-пролетной балки, чтобы увидеть, что большой необходимости в этом нет. Мы видим, что момент на ближних к крайним опорах будет иметь значение, близкое к -ql2/10, при этом значение моментов на средних опорах будет все больше приближаться к -ql2/12. А это означает, что, как уже говорилось, средние пролеты балок с большим количеством пролетов можно рассматривать как балку на жестко защемленных опорах и чем больше у балки будет пролетов, тем больше значение момента на опорах будет приближаться к -ql2/12. Именно эти моменты и будут определяющими при расчете многопролетных неразрезных балок. Значения моментов в крайних пролетах на расстоянии 0.5l от начала балки будут около ql2/14, максимальные значения будут на расстоянии приблизительно 0.425l от начала балки и будут составлять около ql2/13. В средних пролетах значения моментов будут стремиться к ql2/24. Примечание: ни в данной, ни в предыдущей статье не рассматривался расчет неразрезных балок с 5, 7, 9 и т.п. пролетами. Рассчитывать балки с нечетным количеством пролетов, пользуясь приведенным алгоритмом нельзя, так как в среднем пролете тангенс угла поворота на опорах не будет равен нулю, но даже без долгих и сложных вычислений понятно, что значения моментов на опорах балок с нечетным количеством пролетов не будут кардинально отличаться от значений моментов на опорах балок с четным количеством пролетов, так как значение угла поворота на опорах средней балки будет стремиться к нулю тем сильнее, чем больше пролетов будет у балки. И если относительно небольшой запас по прочности не вызовет потерю аппетита и не приведет к бессоннице, то при расчетах балок с 4, 5 и более равными по длине пролетами и равномерно распределенной нагрузкой значение момента на ближних к крайним опорах можно принимать -ql2/9.5, на средних опорах можно принимать -ql2/11.5. Значение максимальных моментов в крайних пролетах можно принимать ql2/12, значение максимальных моментов в остальных пролетах ql2/24. Конечно же, неразрезные балки с равными по длине пролетами и равномерно распределенной нагрузкой - это частный случай для неразрезных балок. Тем не менее этот частный случай в индивидуальном строительстве чаще всего и встречается. Примеров таких неразрезных балок достаточно - это и листы профнастила, крепящиеся к 5-10 рядам обрешетки, и длинная половая доска, укладываемая на 5-10 рядов лаг, и даже доски опалубки, скрепленные стяжками, которые по-хорошему также следует рассчитывать на прочность и как минимум на прогиб, чтобы потом не тратить дополнительные деньги и усилия на выравнивание поверхностей. Тем не менее возникает вполне логичный вопрос, а как быть, если длины пролетов у балок не равны, ведь тогда расчеты усложняются значительно? Да, действительно, с одной стороны расчет значительно усложнится, а с другой стороны в таком расчете нет никакой необходимости, если есть понимание работы материала конструкции под нагрузкой. Ведь чем больше пролет, тем больше значения моментов в пролете, опорных реакций, величина прогиба и т.п., а чем меньше пролет, тем значения указанных величин меньше при одинаковом значении действующей нагрузки. Кроме того, чем больше разница в длине соседних пролетов, тем больше значение угла поворота на промежуточной опоре будет стремиться к нулю (почему будет пояснено отдельно) и тем ближе значение опорного момента будет к -ql2/12. А поэтому при расчете неразрезных балок с разной длиной пролетов и равномерно распределенной нагрузкой достаточно рассчитать значения для пролетов максимальной длины и для крайних пролетов, используя указанные приближенные значения - вот и все. Но вполне закономерно может возникнуть и еще один вопрос: а как быть, если нагрузка не является равномерно распределенной, например, если равномерно распределенная нагрузка действует не на все пролеты, а еще нагрузка может прикладываться к разным пролетам, или это вообще не равномерно распределенная нагрузка, а равномерно или неравномерно изменяющаяся или сосредоточенная? В таких случаях расчет действительно будет сложным, но только в том случае, если нужно получить достаточно точные значения, а для случаев с перемещающейся нагрузкой придется строить огибающие эпюры, учитывающие изменение моментов в зависимости от мест приложения нагрузки. Если же точный расчет не является главной целью в жизни, то достаточно понимать, что максимальные напряжения в неразрезной балке будут возникать при равномерно распределенной нагрузке по всей длине балки или при сосредоточенных нагрузках приложенных к серединам пролета. Поэтому, чтобы облегчить расчет, для указанных случаев можно использовать приведенные расчетные схемы с равномерно распределенной нагрузкой. И только в случае, если равномерно распределенные нагрузки будут прикладываться точно через один пролет, то значения моментов на опорах можно уменьшить в 1.5 раза. Если же рассматривать все эти балки на действие сосредоточенных нагрузок, прикладываемых к середине пролетов, то значение моментов следует увеличить в 1.5 раза. Вот в принципе и все, что хотелось бы сказать по поводу расчета множество раз статически неопределимых балок.