Модуль комплексного числа.

Понятие комплексного числа.

Рассмотрим уравнение х2-4=0. Оно имеет действительные корни х=±2.

Какие корни имеет уравнение вида х2+4=0?

Очевидно, что действительных корней данное уравнение не имеет.

Однако, корни все-таки есть, и они представлены в виде комплексных чисел.

Определение 1:комплексными числами называют выражения вида z=a+bi, где α и b действительные числа, а i2=-1 (мнимая единица).

Причем, число a называют действительной частью комплексного числа (обозначается a = Re z), а число b - мнимой частью комплексного числа (обозначается b = Im z).

Образец.

Определите действительную и мнимую части следующих чисел:

а) z=6+5i; b) z=-3+0,2i; c) z= i.

Решение: а) Re z=6, Im z=5; b) Re z=-3, Im z=0,2; с) Re z=0, Im z= .

Определение 2: сопряженным с z= a +bi называется комплексное число , которое обозначается .

Образец. Например: , , .

Действия с комплексными числами.

1.2.1. Сложение комплексных чисел.

Определение 3: суммой двух комплексных чисел α+bi и c+di называется комплексное число (α+c)+(b+d)i.

Образец. Найти сумму , если , .

Решение: .

Вычитание комплексных чисел.

Определение 4: разностью двух комплексных чисел α+bi и c+di называется комплексное число (α-c)+(b-d)i.

Образец. Вычислите ,

Решение:

Умножение комплексных чисел.

Определение5: произведением двух комплексных чисел α+bi и c+di называется комплексное число (αc-bd)+(ad+bc)i.

Образец.

Выполните действия: z1·z2, если и .

Решение:

Перемножим заданные комплексные числа как два двучлена, то есть

Деление комплексных чисел.

Определение 6: частное комплексных чисел и находится

путем домножения числителя и знаменателя на сопряженное

число к знаменателю:

Образец.

Найти частное комплексных чисел:

2) 3)

Решение:

Умножение комплексных чисел выполняем как умножение многочленов.

i² заменяем на -1.

Модуль комплексного числа.

Определение 7: Модулем комплексного числа z=α+bi называется число

и обозначается , т.е. = |α+bi|= .

Образец.

Найдем модуль комплексных чисел:

а) |2|=2; б) ; в) ;

г) ; д) ;

е) .

№1 Задание на осознание. Заполните таблицу.

Даны комплексные числа	Действительная часть числа равна	Мнимая часть числа равна	Баллы за верные ответы
1. z=4-i
2. z=109
3. z=- + i
4. z=i
5. z=0
Сумма баллов равна

№2 Задание на понимание.

Записать комплексное число, сопряженное с данным числом:

№ задания	Ответ	Балл	№ задания	Ответ	Балл
а) 1+i			г) -7-5i
б) 2+3i			д)
в) -3+4i			е)
Сумма баллов равна:

№3 Задание на применение. Выполни действия над комплексными числами

z ₁= 2 + 3 i, z ₂= 5 – 7 i, z ₃= , z ₄= .Найти:

а) z ₁+ z ₂= __________________________________________________________;

б) z ₁- z ₂=__________________________________________________________;

в) z ₁ z ₂=____________________________________________________________;

г) = ___________________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________;

д) z ₃+ z ₄= ___________________________________________________________

е) z ₃– z ₄=__________________________________________________________;

ж) z ₃ z ₄=____________________________________________________________

з) = ___________________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________.

Результаты занесите в таблицу:

№ задания	Балл за верный ответ	№ задания	Балл за верный ответ
а)		д)
б)		е)
в)		ж)
г)		з)
Сумма баллов равна:

№4 Задание на анализ.

а) Найти действительные числа x и y из равенства: (x+3iy)+(2y-3ix)=1+2i

__________________________________________________________________

____________________________________________________________________

Ответ: _______________________________________________________________

б) Вычислите: (5 +3 i)³=___________________________________________

____________________________________________________________________

Ответ: _______________________________________________________________

Результаты занесите в таблицу:

№ задания	Балл за верный ответ
а)
б)
Сумма баллов равна:

№5 Задание на применение. Найдите модуль комплексных чисел:

а) |3-4i|=______________________________________;

б) |-8-6i|=_____________________________________;

в) |1-i|=_______________________________________;

г) |-3i|=_______________________________________;

д) =______________________________________;

е) =_____________________________________________________.

Результаты занеси в таблицу:

№ задания	Балл	№ задания	Балл	№ задания	Балл
а)		в)		д)
б)		г)		е)
Сумма баллов равна:

Приложение 1.

В данном задании каждый верный ответ оценивается в 1 балл.

Даны комплексные числа	Действительная часть числа равна	Мнимая часть числа равна
1. z=4-i		-1
2. z=109
3. z=- + i	-
4. z=i
5. z=0

Приложение 2.

В данном задании каждый верный ответ оценивается в 1 балл. Сверьте свои ответы с ниже предложенными и занесите число баллов в каждую строку таблицы2, строка «Балл за верный ответ ».

а) =1-i, б) = 2-3i, в) =-3-4i, г) =-7+5i, д) , е) .