корней характеристического уравнения

 

Одним из косвенных показателей качества систем управления является степень удаленности корней характеристического уравнения замкнутой САУ от мнимой оси комплексной плоскости. Пусть ближайшие к мнимой оси комплексно-сопряженные корни устойчивой системы имеют значение

. (7.1)

Расстояние (рис. 8.2) ближайших к мнимой оси комплексно-сопряженных корней называется степенью устойчивости системы.

Угол φ, образуемый лучами, проведенными из начала координат через эти корни, характеризует колебательность системы. Степенью колебательности системы (коэффициентом затухания колебаний) называют количественную характеристику, определяемую выражением

. (7.2)

Чтобы система обладала заданной колебательностью, все корни характеристического уравнения должны вписываться в угол 2φ (см. рис. 7.2). Для большинства систем управления допустимое перерегулирование не должно превышать (10…20)%, что соответствует m =0,2…0,5.

 

Рис. 7.2. Область расположения корней

с заданными показателями и

При корневых методах оценки качества системы, т. е. по расположению корней характеристического полинома, исходят из следующих соображений.

Решение однородного уравнения, характеризующего свободное движение системы, представляет собой сумму затухающих экспонент вида (6.2). Полагая, что качество САУ в основном определяется ближайшим к мнимой оси вещественным корнем или ближайшей к мнимой оси парой комплексно-сопряженных корней (доминирующих корней), можно записать

.

Полагая, что зона δ установления переходного процесса составляет (2…5)% от установившегося значения , можно найти требуемое соотношение степени устойчивости системы и времени регулирования t _р:

. (7.3)

Следовательно, задаваясь временем регулирования, можно рассчитать минимальное (по модулю) значение вещественных частей корней характеристического уравнения.

Аналогично можно связать степень колебательности m системы со степенью затухания колебаний. Пусть по условиям технологии требуется, чтобы каждая последующая амплитуда колебаний затухала в k раз по сравнению с предыдущей. Тогда

. (7.4)

Пусть k =10, тогда в соответствие с (7.4) получим m =0,336 и

.

Таким образом, задаваясь временем регулирования и соотношением амплитуд колебаний k, можно определить допустимую область расположения корней на комплексной плоскости или решить обратную задачу расчета параметров и k переходного процесса по расположению доминирующих корней характеристического уравнения. Следует отметить, что данный подход дает приемлемую точность оценки качества регулирования, если действительные части остальных корней характеристического уравнения больше действительной части доминирующих корней, по крайней мере, в 5 раз [6].

Для построения в плоскости параметров областей, обеспечивающих требуемые показатели качества регулирования целесообразно использовать метод D -разбиения [6]. В качестве примера используем уравнение Вышнеградского, описывающего в параметрической форме характеристический полином 3-го порядка,

. (7.5)

где A и B – обобщенные параметры характеристического уравнения.

Подставим выражение для комплексного корня в (7.5). Тогда получим

.

Приравнивая нулю вещественную и мнимую части, получим

, (7.6)

Полагая в (7.6), получим границу области устойчивости системы в параметрической форме

(7.7)

или

- уравнение гиперболы Вышнеградского (кривая 1, рис. 7.3).

 

Рис. 7.3. Границы областей устойчивости,

колебательности и апериодичности на

диаграмме Вышнеградского

 

Полагая в (7.6), получим границу области апериодичности системы в параметрической форме (кривые 2 и 3 на рис. 7.3)

.

Поскольку на кривой 1 ω ≠ 0, а на кривых 2 и 3 ω = 0, то области I и III являются областями комплексных, а область II – вещественных корней (см. рис. 7.3). Следовательно, если параметры A, B принадлежат области II, то переходные процессы имеют апериодический характер, причем, чем эти параметры больше, тем процессы более затянуты. Если параметры принадлежат области I, то переходные процессы имеют колебательный характер, причем, чем больше A и меньше B, тем выше колебательность. Область III является областью монотонности решения однородного дифференциального уравнения, соответствующего (7.5), а, следовательно, переходные процессы, имея колебательный характер, тем не менее, затухают монотонно (без перерегулирования).

Диаграмма Вышнеградского [19] помимо приведенных кривых содержит кривые равных вещественных частей комплексных корней (равной степени устойчивости), причем для двух случаев расположения корней, когда ближайшими к мнимой оси являются комплексные корни и, когда ближайшим к мнимой оси расположен вещественный корень (на рис. 7.3 эти кривые не показаны). В частности, на границе областей I и III (кривая 4) все три корня равно удалены от мнимой оси.

Требования повысить быстродействие и одновременно снизить перерегулирование в системе являются противоречивыми друг другу, что заставляет искать компромисс. В общем случае, с точки зрения переходного процесса наилучшей считается САУ, у которой все корни характеристического уравнения n -го порядка равны друг другу (на практике редко реализуется), т. е.

, i =1, 2, 3… n.

В этом случае перерегулирование не превышает 10%, а время нарастания регулирования является минимальным.

Если все корни являются вещественными, то система характеризуется отсутствием перерегулирования, т. е. апериодическими переходными процессами. Время регулирования будет тем меньше, чем меньше среднегеометрический корень или, иначе, чем ближе к мнимой оси расположен центр корней.

При анализе качества системы корневыми методами необходимо учитывать влияние нулей передаточной функции на переходный процесс.

Прежде всего, нужно проверить, насколько близки нули к полюсам.

Если нуль и полюс совпадают, то их нужно сократить, и они не будут влиять на качество системы. Порядок системы при этом, естественно, будет понижен.

Если полюсы и нули передаточной функции не совпадают, то полюсы определяют отдельные составляющие переходного процесса (апериодические и гармонические), а нули определяют удельный вес каждой из этих составляющих. Чем ближе нуль передаточной функции расположен к какому-либо полюсу, тем меньше его вклад в переходную характеристику составляющей, соответствующей данному полюсу.

 

7.2.2. Интегральные оценки качества

 

В основе интегральных оценок качества лежит предположение, что качество регулирования тем выше, чем меньше площадь между кривой переходного процесса и заданным значением регулируемой переменной. Интегральные оценки качества являются строгой математической формулировкой понятия качества системы, и их минимизация позволяет определить оптимальные параметры системы управления, т. е. решить задачу параметрического синтеза системы. Для этой цели применяются процедуры безусловной и условной оптимизации [2, 6, 10-12, 19-21].

Наибольшее применение для косвенной оценки качества САУ находят интегральные оценки вида [6, 11, 12, 19]:

; (7.8)

; (7.9)

; (7.10)

; (7.11)

, (7.12)

где - текущая ошибка регулирования, являющаяся функцией времени,

С – некоторый весовой коэффициент, характеризующий допустимую скорость изменения ошибки регулирования, а, следовательно, выходной координаты в переходном процессе.

В критерии (7.8) подынтегральное выражение линейно относительно ошибки регулирования и такая оценка применяется только для апериодического переходного процесса, когда ошибка имеет положительный знак.

Интегральная квадратичная оценка (ИКО) вида (7.9) применяется при колебательном характере переходных процессов, характеризующихся сменой знака ошибки регулирования. Интегральная квадратичная оценка (7.10) применяется в тех случаях, когда требуется учитывать ограничения энергии управления.

Широко используемым видом оценки качества является интеграл от модуля ошибки (ИМО) – (7.11), позволяющем учесть смену знака подынтегральной функции.

Чтобы уменьшить вклад начальной ошибки в интеграл (7.11) и учесть связанную с этим ошибку была предложена [6] оценка в виде интеграла от взвешенного модуля ошибки (ИВМО) в виде (7.12).

Рассмотрим пример. Пусть передаточная функция замкнутой системы 2-го порядка имеет вид:

, (7.13)

где - коэффициент затухания.

Нормированное значение собственной частоты принято . На рис. 7.4 приведены кривые, отражающие изменение двух из приведенных выше интегральных оценок системы (ИКО и ИВМО) в функции коэффициента затухания [6].

 

Рис. 7.4. Интегральные оценки

качества системы второго порядка

 

 

Как видим, оценка ИВМО по сравнению с ИКО имеет ярко выраженный минимум (хорошую избирательность), соответствующий = 0,707, что для данной системы 2-го порядка обеспечивает наиболее быстрое протекание переходного процесса с перерегулированием около 4,3%.

Рассмотрим еще один пример. Пусть передаточная функция замкнутой системы имеет достаточно общий вид нерекурсивного фильтра n -го порядка:

. (7.14)

Безусловная оптимизация систем первого-четвертого порядка (n =1…4), описываемых передаточными функциями (7.14), по критерию ИВМО дает оптимальные значения коэффициентов полиномов знаменателей этих передаточных функций, приведенные в табл. 7.1. Значения коэффициентов нормированы относительно собственной частоты колебаний .

На рис. 7.5 приведены кривые переходных процессов, соответствующих оптимальным по критерию ИВМО фильтрам первого-четвертого порядка.

 

Таблица 7.1

Порядок системы	Полином знаменателя передаточной функции
n =1
n =2
n =3
n =4

 

Значения коэффициентов нормированы относительно собственной частоты колебаний . На рис. 7.5 приведены кривые переходных процессов, соответствующие оптимизации фильтров первого-четвертого порядка по критерию ИВМО.

 

 

 

Рис. 7.5. Переходные характеристики, соответствующие

оптимизации систем по ИВМО

 

Графики построены в зависимости от нормированного времени .

Кроме приведенных оценок для оптимизации систем управления применяются и другие интегральные критерии качества, в частности, лежащие в основе синтеза фильтров Баттерворта, широко применяемых при настройке контуров электромеханических систем управления.

 

8. Метод пространства состояний

 

Широкое распространение компьютеров и мощных систем программирования побуждает к исследованию САУ во временной области, а, следовательно, к непосредственному использованию описания динамических систем управления в форме обыкновенных дифференциальных уравнений без перехода к операторной форме. Кроме того, как уже отмечалось, векторно-матричные формы описания и исследования применимы не только к одномерным, линейным, стационарным САУ, но и к широкому классу многомерных, нелинейных и нестационарных САУ.

Чтобы получить пригодную для компьютерного синтеза и анализа модель САУ, необходимо представить ее в переменных состояния системы, используя далеко не единственный набор переменных. Следует отметить, что описание систем во временной области в векторно-матричной форме лежит в основе современной теории управления и оптимизации. В настоящей главе рассмотрены вопросы применения метода пространства состояния к непрерывным системам управления.

8.1. Векторно-матричное описание САУ

 

Состояние системы – это совокупность значений переменных системы (координат состояния), существенных с точки зрения решаемой задачи. В общем случае, в это число включают не только выходные и внутренние переменные САУ, но и задающие воздействия, и доминирующие возмущающие воздействия внешней среды. Чем полнее достоверной информации о состоянии системы в текущий момент времени, тем проще определить будущие значения всех ее переменных. Инженерно-технический персонал, разрабатывающий и эксплуатирующий технические системы управления, оперирует, как правило, с такими физическими переменными, которые могут быть измерены с помощью соответствующих датчиков. К таким физическим переменным САУ относят ускорение, скорость, перемещение, давление, расход, температуру, уровень и т. п. Координатами датчиков технологических координат САУ являются другие переменные - напряжение, ток, частота следования импульсов, двоичный код и т. п., что дает исследователю возможность выбора для синтеза и анализа необходимого набора координат состояния САУ.

Векторно-матричная модель многомерной, нелинейной, нестационарной САУ записывается в виде [6, 10, 11, 19]

,

, (8.1)

где X (t), U (t), F (t), Y (t) – соответственно векторы состояния, управления, возмущения и выходных (управляемых) координат системы,

– вектор первых производных координат состояния,

– нелинейные, нестационарные функции координат состояния, управления и возмущения системы.

В уравнении (8.1) вектор управления U (t) является, в общем случае, некоторой нелинейной нестационарной функцией задающих координат, координат состояния и возмущения САУ и призван обеспечить оптимальное управление системой. Описание многомерных, нелинейных, нестационарных САУ в форме (8.1) не позволяет, как правило, получить инженерное решение задачи структурно-параметрического синтеза оптимального управления U (t) или такое решение приводит к неоправданным затратам на реализацию (в техническом или экономическом аспектах). В большинстве случаев такие модели сводят к одномерным или многомерным линейным (линеаризованным) квазистационарным моделям, для которых имеются развитые методы и инженерные методики синтеза оптимального управления.

Линейную (линеаризованную) модель многомерной стационарной (квазистационарной) САУ представляют в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка в форме Коши:

,

, (8.2)

……………………………………………………

.

Эту же систему дифференциальных уравнений можно представить в векторно-матричной форме [6, 11, 19]:

, (8.3)

где - векторы (векторы-столбцы) соответственно состояния и управления САУ,

, ;

- символ транспонирования (иногда для обозначения транспонирования применяют буквенный символ “т”);

- стационарные матрицы соответственно состояния и управления,

, .

В общем случае, на объект управления помимо управляющих воздействий действуют возмущающие воздействия. В этом случае векторно-матричную модель системы представляют в виде

, (8.4)

где - вектор-столбец возмущающих воздействий САУ, C – стационарная матрица возмущений,

,

.

Выходные (управляемые) переменные не всегда непосредственно принадлежат вектору состояния. В линейных САУ они линейно связаны с переменными состояния, управляющими и возмущающими переменными. В этом случае к уравнениям (8.3), (8.4) присоединяют алгебраические линейные уравнения

(8.5)

или , (8.6)

где - вектор выходных переменных САУ, ;

K, L, M – стационарные матрицы соответственно размерностей (r n), (r m), (r d).

Следует отметить, что приведенные уравнения (8.1)…(8.6) дают описание лишь объекта управления или разомкнутой системы, если вектор управления U (t) не является функцией координат состояния САУ. В замкнутых линейных САУ управление обычно формируют как линейную форму координат состояния и, в общем случае, возмущения САУ.

В качестве примера приведем векторно-матричное описание ранее рассматриваемого электродвигателя постоянного тока как объекта регулирования по цепи якоря. Пусть выходной (регулируемой) координатой является скорость вращения двигателя. Полагая, что напряжение возбуждения , а магнитный поток , математическую модель электродвигателя можно представить в виде:

,

. (8.7)

 

Воспользуемся векторно-матричной моделью линейных САУ в виде (8.4), (8.5). Зададимся векторами состояния, управления и возмущения в виде:

; ;

(8.8)

По уравнениям (8.7) найдем матрицы состояния, управления и возмущения:

; ; . (8.9)

Поскольку выходная переменная всего одна и ей является координата состояния , уравнение выхода преобразуется к скалярной форме

. (8.10)

По описанию системы в форме векторно-матричных уравнений (ВМУ) можно непосредственно получить эквивалентную передаточную функцию (ПФ) и, наоборот, зная ВМУ системы, можно получить ее ПФ. Для этого в системе MATLAB имеется две функции: функция tf и функция ss.

Пусть ВМУ системы имеет вид (8.3), (8.5). Применительно к системе MATLAB ВМУ записывают в виде

Для получения ВМУ в системе MATLAB необходимо определить функцию ss(A,B,C,D). Для преобразования ВМУ к ПФ системы необходимо записать:

sys­_ss=ss(A,B,C,D); % Формирование ВМУ системы;

sys_tf=tf(sys­_ss), % Преобразование ВМУ к ПФ системы.

Для обратного преобразования ПФ к ВМУ необходимо записать:

sys_tf=tf(num,den); % Формирование ПФ системы;

sys_ss=ss(sys_tf); Преобразование ПФ к ВМУ системы.

Рассмотрим пример. Пусть ПФ системы имеет вид

.

Тогда запишем скрипт преобразования ПФ к ВМУ и обратного преобразования ВМУ к ПФ:

num=[0.4];

den=[1 2 1 0.6];

 

sys_tf=tf(num,den); % Формирование ПФ системы;

sys_ss=ss(sys_tf); %Преобразование ПФ к ВМУ системы;

a =

x1 x2 x3

x1 -2 -0.5 -0.075

x2 2 0 0

x3 0 4 0

b =

u1

x1 0.25

x2 0

x3 0

c =

x1 x2 x3

y1 0 0 0.2

d =

u1

y1 0

sys_tf=tf(sys_ss) % Преобразование ВМУ к ПФ системы

Transfer function:

0.4

---------------------.

s^3 + 2 s^2 + s + 0.6

 

8.2. Схемы пространства состояний

 

Для графического отображения САУ, модель которых представлена в векторно-матричной форме, служат схемы пространства ее состояний [6, 11, 19, 24]. Эти схемы являются аналогом структурных схем систем, описание которых дано в операторной форме. Вместе с тем, принципиальным отличием схем пространства состояний от структурных схем является использование в них только идеальных интегрирующих и безынерционных (масштабирующих) звеньев, а также суммирующих звеньев.

Обобщенная схема пространства состояния непрерывной линейной САУ, отвечающей векторно-матричному уравнению (8.4), приведена на рис. 8.1.

Применение идеальных интеграторов на схемах пространства состояний обусловлено, во-первых, широко распространенной нормальной формой представления дифференциальных уравнений систем (формой Коши), а, во- вторых, удобством моделирования САУ с применением как аналоговых, так и цифровых вычислительных машин.

 

 

 

Рис. 8.1. Обобщенная схема пространства состояния САУ

 

Кроме того, в условиях множественности выбора переменных состояния системы такой подход предполагает естественным в качестве координат состояния (компонент вектора состояния) принять выходные сигналы интеграторов.

Для составления схем переменных (пространства) состояния САУ применяют приемы непосредственного (прямого), последовательного и параллельного программирования [6, 11, 24]. Очевидно, что множественность вариантов преобразований структурных схем при этом влечет за собой и множественность схем пространства состояний одной и той же САУ.

В качестве примера рассмотрим составление схемы переменных состояния электропривода постоянного тока, математическая модель которого представлена в виде (5.14), используя прием непосредственного программирования. Схема переменных состояния приведена на рис. 8.2.

 

Рис. 8.2. Схема переменных состояния электродвигателя

 

При составлении схемы принято, что .

Заметим, что схема пространства состояния электродвигателя (см. рис. 8.2) выглядит сложнее его структурной схемы (см. рис. 5.5), однако минимизация числа типовых звеньев (интегрирующих, масштабирующих и суммирующих) упрощает исследование динамических свойств САУ с применением аналоговых и цифровых вычислительных машин, а также широко распространенных математических систем программирования и их векторно-матричных пакетов расширения [6-8, 16, 22, 23, 29, 30].

 

8.3. Понятие матрицы перехода (переходных состояний)

 

Конечной целью исследования любой технической системы управления является определение соответствия ее заданным критериям качества управления. Эта задача в концепции современной теории управления решается путем решения векторно-матричного уравнения состояния относительно желаемой, как правило, выходной переменной САУ.

Если известно в момент времени t = 0 начальное состояние X (0) объекта управления и вектор управляющих воздействий U (0), то уравнение движения системы во времени t (здесь и далее полагается, что возмущения F (t), действующие на систему, равны нулю) определяется выражением [6, 11, 19]:

. (8.12)

Первое слагаемое в векторно-матричном выражении (8.12) отражает свободное движение многомерной линейной САУ. Второе слагаемое в (8.12) отражает вынужденное движение многомерной линейной САУ.

Матрицу , определяющую динамические процессы в системе, называют переходной матрицей состояния или просто матрицей перехода. Существует ряд методов нахождения этой матрицы, базирующихся на описании САУ как во временной области (в форме дифференциальных или векторно-матричных уравнений), так и в области комплексного переменного p (в операторной форме или в форме структурных схем). Наиболее часто для определения матрицы перехода во временной области используют матричную экспоненциальную функцию в виде разложения ее в ряд с ограниченным числом k () членов ряда [6, 11, 19, 24]:

, (8.13)

где E – единичная матрица,

!– знак факториала.

Решение векторно-матричного уравнения (8.3) можно получить и в области комплексного переменного p, применив к (8.3) преобразование Лапласа:

, (8.14)

где – преобразование Лапласа переходной матрицы состояния,

т. е. .

В частности, для свободного движения системы под действием ненулевого начального состояния X (0) можно записать

. (8.15)

В инженерной практике для нахождения переходной матрицы состояния многомерных САУ применяют системы программирования, упомянутые в главе 5.4. Они базируются на численных методах решения уравнения (8.13) для заданного времени t = T перехода системы из некоторого начального состояния в последующее, отстоящее на время T, состояние.

В системе программирования MATLAB 6.5 для расчета переходной матрицы состояния используется функция EXPM (A), где A - матрица состояния системы. В системе программирования MathCAD 11 необходимо записать оператор

,

где n - порядок системы,

identity (n) – встроенная функция формирования единичной матрицы размерности n n.

Число членов разложения ряда под знаком суммы принято двадцати. Это очень высокая, может быть, и неоправданная, точность вычисления матрицы перехода, однако это позволяет получить своего рода эталонное решение уравнений динамики системы.

В качестве примера рассмотрим нахождение матрицы перехода для рассматриваемого ранее объекта управления – электродвигателя постоянного тока, регулируемого по цепи якоря с помощью реверсивного преобразователя.

Пусть векторно-матричная модель объекта управления задана уравнениями (8.4), (8.8), (8.9).

Зададимся численными значениями параметров электродвигателя:

R _э=1 Ом; T _э=0, 02 Гн; K _д=0,5 (Вс) ; J _д = 1 .

В соответствие с (8.9) получим

; ; . (8.16)

Для расчета переходной матрицы состояния воспользуемся численной процедурой вычисления ряда (8.13), причем зададимся приращением времени перехода из начального состояния в последующее состояние системы T = 0,01 с.

Тогда, используя функцию EXPM (A) системы MATLAB, получим

. (8.17)

Задаваясь некоторым ненулевым начальным состоянием объекта управления в момент времени t = 0, например i _я(0) = 0 (А), (рад/с), т. е. , получим численные значения компонент вектора состояния в момент времени t = 0,01 с:

.

Умножая полученный вектор состояния на переходную матрицу состояния можно получить вектор состояния в момент времени 0,02 с и т. д. Результатом операции по применению матрицы перехода системы в новое установившееся состояние является переходный процесс, отражающий свободное движение системы. На рис. 8.3 приведена таблица расчета переходного процесса в системе программирования Delphi на первых 7-ми тактах расчета, а также кривые переходного процесса (в % от экстремальных значений координат электродвигателя).

 

 

Рис. 8.3. Таблица расчета и графики свободного

движения электродвигателя

 

Как видим, свободное движение системы из заданного начального состояния представляет собой достаточно интенсивную остановку электродвигателя в режиме рекуперации энергии в сеть за время, близкое к одной секунде. Если в начальный момент времени просто разорвать цепь питания якоря, то свободное движение будет происходить в режиме свободного выбега под действием момента сопротивления на валу электродвигателя за значительно большее время.

Аналогичным образом определяется движение системы под действием ненулевого управляющего воздействия U _я, т. е. вынужденное движение системы. Пусть при нулевом векторе начального состояния системы на якорную обмотку подали напряжение U _я = 10 В. Для расчета реакции электродвигателя воспользуемся численным методом решения векторно-матричного уравнения (8.3). Такт расчета примем равным приращению времени перехода системы из одного состояния в следующее, задаваемого матрицей перехода, т. е. . На рис. 8.4 приведена таблица расчета реакции системы на первых 7-ми тактах расчета, а также кривые вынужденного переходного процесса (в % от экстремальных значений координат электродвигателя). Установившееся значение скорости электродвигателя в данном случае является экстремальным и равно 5 рад/с, установившееся значение тока якоря равно нулю.

Суммирование реакций САУ в соответствие с (8.11) дает результирующую реакцию системы (рис. 8.5).

 

Рис. 8.4. Таблица расчета и графики вынужденного

движения электродвигателя

 

 

 

Рис. 8.5. Таблица расчета и графики полного переходного

процесса в электродвигателе

 

Заметим, что время переходных процессов в режиме малых отклонений координат одинаково и не зависит от величины начальных условий и внешних воздействий, что свойственно всем линейным системам.

Сразу отметим, что эти реакции системы на управляющее воздействие, скорее всего, будут неудовлетворительными, что объясняется произволом выбора приращения управляющего воздействия (управление нами выбрано постоянным и равным 10 В на протяжении всего времени переходного процесса). Определение оптимального изменения во времени управляющего воздействия – задача структурно-параметрического синтеза системы управления.

. (8.18)

 

8.4. Управляемость и наблюдаемость САУ

 

Описание систем в пространстве состояний с успехом используется для синтеза (оптимальной коррекции) систем управления. Для этого оптимальное управление U(t) формируют как функцию доступных измерению координат состояния системы, т.е. реализуют оптимальный регулятор состояния. Возможность создания замкнутой по вектору состояния оптимальной системы управления предполагает, что она удовлетворяет условиям управляемости и наблюдаемости.

Линейная стационарная система управления (8.3) является управляемой, если существует такое управление U(t) размерности , которое может перевести систему из произвольного начального состояния X(0) в заданное конечное состояние X(t). Это условие записывается в виде

, (8.19)

где H – гиперматрица управляемости порядка .

Условие (8.19) означает, что система (8.3) будет полностью управляемой, если ранг гиперматрицы H равен n, т. е. матрица управляемости содержит n независимых векторов-столбцов, а, следовательно, ее определитель не равен нулю.

Если управление является скалярной функцией времени, т. е. U(t)= u (t), то гиперматрица H будет представлять собой квадратную матрицу порядка .

Управляемость системы можно определить и по структуре сигнального графа системы – он должен иметь пути от управляющего воздействия к каждой из переменных состояния.

Рассмотрим систему третьего порядка, описываемую передаточной функцией

. (8.20)

Ей соответствует сигнальный граф в переменных состояния, приведенный на рис. 8.6.

 

 

 

Рис. 8.6. Сигнальный граф системы третьего порядка

 

Видно, что существуют пути от управляющего воздействия u ко всем переменным состояния системы, следовательно, она является управляемой.

Для объекта (8.20) можно записать матричное дифференциальное уравнение

,

где X – вектор состояния системы, , n = 3.

 

Тогда матрица управляемости

,

а, следовательно, убеждаемся, что система является управляемой.

 

Понятие наблюдаемости системы связано с возможностью оценки ее переменных состояния.

Линейная стационарнаясистема управления, описываемая уравнениями (8.3), (8.5) является наблюдаемой, если существует конечное время T такое,