О наличии у учащихся вычислительной культуры можно судить по их умению производить устные и письменные вычисления, рационально организовать ход вычислений, убеждаться в правильности полученных результатов. В зависимости от сложности задания на практике используются три вида вычислений: письменное, устное и письменное с промежуточными устными вычислениями.
Качество вычислительных умений определяется знанием правил и алгоритмов вычислений. Поэтому степень овладения вычислительными умениями зависит от чёткости сформулированного правила и от понимания принципа его использования. Умение формируется в процессе выполнения целенаправленной системы упражнений. Очень важно владение некоторыми вычислительными умениями доводить до навыка. Вычислительные навыки отличаются от умений тем, что выполняются почти бесконтрольно. Такая степень овладения достигается в условиях целенаправленного их формирования. Образование вычислительных навыков ускоряется, если учащемуся понятен процесс вычислений и их особенности.
При обучении вычислениям и совершенствовании техники счёта необходимо отчётливо представлять, какие умения и навыки у учащихся необходимо сформировать.
В письменных вычислениях данные числа, знаки арифметических действий, промежуточные и окончательные результаты записываются. Поскольку качество записей оказывает существенное влияние на успех вычисления, то учащимся необходимо владеть следующими навыками:
- отчётливо писать математические символы (цифры, знаки препинания, знаки арифметических действий);
- цифры и знаки располагать строго в соответствие с правилами арифметических действий;
- безошибочно применять таблицы сложения и умножения натуральных чисел. При устных вычислениях надо помнить данные числа и законы действий над ними. При этом формирование навыков устных вычислений связано с выработкой навыка запоминая чисел, выявления особенностей отдельных чисел. Правила и приёмы вычислений не зависят от того, выполняются они письменно или устно. Однако владение навыками устных вычислений представляет большую ценность не только потому, что в быту ими пользуются чаще, чем письменными выкладками, но и потому, что они ускоряют письменные вычисления, позволяют усовершенствовать их. Наличие у учащихся навыков устного счёта влияет на степень отработки у них рациональных и безошибочных вычислительных умений. Без навыков устного использования таблиц сложения и умножения невозможно в совершенстве овладеть умениями в выполнении арифметических действий. Для того чтобы овладеть умениями, предусмотренными программой, учащемуся достаточно уметь устно:
- складывать и умножать однозначные числа;
- прибавлять к двузначному числу однозначное;
- вычитать из однозначного или двузначного числа однозначное;
- складывать несколько однозначных чисел;
- складывать и вычитать двузначные числа;
- делить однозначное или двузначное число на однозначное нацело или с остатком;
- производить действия с дробными числами. Вычислительная линия является одной из основных содержательных линий школьного курса математики. В соответствии с программой курса математики требования к вычислительной подготовке распределяются. В 1-4 классах учащиеся обучаются выполнению арифметических действий над натуральными числами. «При этом должны быть выработаны прочные навыки письменного сложения, вычитания и умножения двухзначных и трёхзначных чисел, а также деления таких чисел на однозначное и двузначное число, что предполагает знание наизусть таблиц сложения и умножения однозначных чисел. Формирование навыков письменных вычислений, а в простейших случаях и устных, следует довести до уровня, обеспечивающего беглое и безошибочное выполнение вычислений. Задача формирования вычислительных навыков – центральная в курсе математики начальных классов. Но было бы ошибкой решать эту задачу только путём зазубривания таблиц сложения и умножения и использования их при выполнении однообразных тренировочных упражнений. Не менее важная задача современной школы – развитие у младших школьников в процессе обучения познавательной самостоятельности, творческой активности, потребности в знаниях.
Как уже выше говорили, различают устные и письменные приёмы вычисления. К устным относятся все виды и приёмы для случаев вычисления в пределах 100, а также сводящиеся к ним приёмы вычислений для случаев за пределами 100 (например, 200+70, т.к. он сводится к приёму для случая 20+7). В начальных классах особое место занимает работа по формированию навыков устных вычислений, поскольку в течение четырёх лет обучения учащиеся должны не только сознательно усвоить приёмы устных вычислений, но и приобрести твёрдые вычислительные навыки. Овладение навыками устных вычислений имеет большое образовательное, воспитательное и практическое значение, так как они помогают усвоить многие вопросы теории арифметических действий, изменение результатов действий в зависимости от изменения одного из компонентов и др. Устные вычисления способствуют лучшему усвоению приёмов письменных вычислений, так как последние включают в себя элементы устных вычислений. Профессор Московского университета С.А.Рачинский обращал внимание на то, что способность к устному счёту полезна и в практическом отношении, и как средство для здоровой умственной гимнастики. Он учил детей решать задачи быстро, оригинально, красиво, учил видеть неожиданные, особые свойства чисел и соотношение между ними.
Большую роль в развитии мышления учащихся на уроках математики играют систематические и целенаправленные устные упражнения. Работа по культивированию устных вычислений должна проводиться постоянно и органически увязываться с программным материалом.
Чтобы учащиеся умели сознательно, правильно и бегло считать в уме, надо знакомить их с новыми приёмами устных вычислений и закреплять умения использовать эти приёмы. В этом может помочь применение технологии УДЕ. Укрупнённой дидактической единицей называют систему родственных единиц учебного материала, в которой симметрия, противопоставления, упорядоченные изменения компонентов учебной информации в совокупности благоприятствуют возникновению единой логико-пространственной структуры знания. Знания, которыми учащиеся овладевают посредством системы укрупнения дидактических единиц, обладают качеством системности. УДЕ способствует освоению учащимися возрастающего объёма информации за меньшее, чем прежде, время.
Рассмотрим вычисления: 4 + 2, 14 + 2, 24 + 2. В этом случае учащиеся не только вычисляют результат, но и делают вывод: если одно из слагаемых увеличивается на десяток, а второе постоянно, то и сумма будет увеличиваться на десяток. Учащиеся используют индуктивные методы рассуждений, которые связаны с наблюдениями, анализом, сравнением, с выявлением общих закономерностей и их последующим обобщением. В дальнейшем эти упражнения усложняются: 10 + 4 – 3 = 17 + 5 – 10 =
10 + 4 – 2 = 17 + 3 – 10 =
10 + 4 – 1 = 17 + 1 – 10 =
Так же в сравнение математических выражений вводятся большие числа:
1) 16 * 10 + 6 16 * 8 + 8 16 * 20 – 4 16 * 9 + 7 2) Большое значение имеет решение неравенств, которое основано на знании математических законов. Свойств действий, связей между 
результатами и компонентами действий:
10 + 6 * 6 + 10 10 + 4 = 4 +
17 – 7 * 17 – 10 15 – 4 > 15-
9 + 4 * 9 + 5 7 + 8 < 7 +
3) Вводятся неравенства с окошечками: 8 > 11 < < 17 8 < 15 > > 12 При изучении сложения и вычитания оправдывается широкое использование деформированных примеров, в которых один из компонентов восстанавливается по результату и другому компоненту.
+ 7 = 13 + 7 = 15 + 7 = 17 В этих примерах учащиеся не только находят неизвестный компонент, то есть устно решают уравнение, но и выводят закономерности и связи между компонентами, с дальнейшим усложнением:
…+ 4 = 14 5 + 5 +… = 14
4 + …= 14 7 -… + 10 = 14
14 - …= 10 …+ …- …= 14.
К этим же примерам относятся такие, где неизвестен знак действия:
5 * 2 = 7 15 * 6 * 4 * 1 = 6
5 * 2 = 3 15 * 6 * 4 * 1 = 14 15 * 6 * 4 * 1 = 4 Дальнейшим усложнением структуры неопределённых примеров является предъявление их в такой форме, когда неизвестны знак действия и одно из чисел: 8 *… = 14 8 *… = 3 8 * … = 10 5) Разнообразят устный счёт и матричные упражнения:
| а | |||||
| а - 4 |
Вывод: взаимосвязь между компонентами, то есть изменение результата действия в зависимости от изменения одного из компонентов.
| а | |||||
| b | |||||
| a + b |
Нахождение неизвестного компонента.
6) Вводится в устный счёт и действия с именованными числами это и сравнение именованных чисел: 6 м * 60 дм 6 м * 600 см 6 м * 51 дм, и сложение и вычитание именованных чисел: 2 м + 5… = … дм 2дм + 5см= 25… 2 т + 5… = … ц Задаётся вопрос: почему везде в ответе 25? 7) Многие приёмы устных вычислений основываются на знании нумерации, поэтому в устный счёт вводим упражнения с числовым рядом. Чтобы добиться понимания места какого-либо числа в числовом ряду, задаются вопросы: За каким числом находится число 3? Между какими числами находится число 2? Какое число находится между числами 1 и 3?
Аналогичная работа проводится и в дальнейшем. Например, с числом 16. Какое это число? Назовите соседей этого числа. Назовите число на 5 единиц меньше. Назовите число на 2 десятка больше этого числа. Вычесть из этого числа число 9 и т.д.
8) В устный счёт вводим работу с сигнальными карточками.
9) Работа с магическими квадратами (с использованием чисел 1, 2, 3, 4).
10) На этих же этапах проводится и такой вид устного счёта, как решение задач. Это прежде всего устное решение задач – прямых и обратных с опорой на схему.
Это и выполнение логических заданий:
- У меня 3 фотографии. На двух фотографиях моя мама и на двух я. Может ли это быть?
- В обувном отделе универмага висит указатель «Обувь 37 – 42 размеров». Можно ли в этом отделе купить обувь 39 размера?
И конечно же, весёлые задачи в стихотворной форме: Шесть весёлых медвежат
За малиной в лес спешат, Но один малым устал, От товарищей отстал.
А теперь ответ найди: Сколько мишек впереди? (В начале года). Белочка грибы сушила, Только посчитать забыла. Белых было 25,
Да ещё масляток 5,
7 груздей и 2 лисички (очень рыжие сестрички).
У кого ответ готов? Сколько было всех грибов? (В конце года).
И ещё о применении игры как одного из видов устных упражнений. Ведь целенаправленное включение игры повышает интерес детей к работе, усиливает эффект самого обучения. Создание игровой ситуации приводит к тому, что дети, увлечённые игрой, незаметно для себя и без особого труда и напряжения приобретают определённые умения, знания и навыки. Игра делает отдельные элементы урока эмоционально насыщенными. Однако игра не самоцель, а средство для развития интереса к математике.