Атанасян Левон Сергеевич
Аксиомы Евклида:
I. Равные порознь третьему равны между собой.
II. И если к ним прибавим равные, то получим равные.
III. И если от равных отнимем равные, то получим равные.
IV. И если к неравным прибавим равные, то получим неравные.
V. И если удвоим равные, то получим равные.
VI. И половины равных равны между собой.
VII. И совмещающиеся равны.
VIII. И целое больше части.
IX. И две прямые не могут заключать пространства.
Х. Требуется, чтобы от каждой точки ко всякой другой точке можно было провести прямую линию.
ХI. И чтобы каждую прямую можно было неопределенно продолжить.
XII. И чтобы из любого центра можно было описать окружность любым радиусом.
XIII. И чтобы все прямые углы были равны.
XIV. И чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими
Аксиомы по которым построен наш учебник геометрии:
1. Если при наложении совмещаются концы двух отрезков, то совмещаются и сами отрезки.
2. Через любые две точки проходит прямая, и при том только одна.
3. На каждой прямой и в каждой плоскости имеются точки.
4. Имеются по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой, и по крайней мере четыре точки, не лежащие в одной плоскости.
5. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и при том только одна.
6. Из трех точек прямой одна, и только одна, лежит между двумя другими.
7. Каждая точка О прямой разделяет её на две части – два луча – так, что любые две точки одного и того же луча лежат по одну сторону от точки О, а любые две точки разных лучей лежат по разные стороны от точки О. и т. д.
Рассматривая аксиомы Евклида и нашего учебника, мы можем сделать вывод, что наш учебник «Геометрия 9-11классы» Атанасян построен на основе Евклидовой геометрии. В нашем учебнике мы доказываем, что две параллельные прямые на плоскости не пересекаются. При этом есть учебники основанные на геометрии Лобачевского, в которых две параллельные прямые на плоскости пересекаются.
Задачи
Задача 1
По рисунку 1 назовите: а) плоскости, в которых лежат прямые РЕ, МК, DB, AB, EC; б) точки пересечения прямой DK с плоскостью АВС, прямой СЕ с плоскостью АDВ; в) точки, лежащие в плоскостях АDВ и DВС; г) прямые, по которым пересекаются плоскости АВС и DСВ, АВD и СDА, РDC и АВС.
Задача 2
Три прямые проходят через одну точку. Через каждые две из них проведена плоскость. Сколько всего проведено плоскостей?
Задача 3
Точки А, В, С, D не лежат в одной плоскости. Пересекаются ли плоскости, проходящие через точки А, В, С и А, В, D?
Заключение
Геометрия изучает формы, размеры, взаимное расположение предметов независимо от их других свойств: массы, цвета и так далее. Геометрия не только дает представление о фигурах, их свойствах, взаимном расположении, но и учит рассуждать, ставить вопросы, анализировать, делать выводы, то есть логически мыслить.
Геометрия претендует в качестве наиболее мощного орудия точного естествознания на овладение механикой и физикой, она стоит у вершины человеческого знания. Удастся ли ей действительно выполнить этот замысел, сохранит ли она это доминирующее место или в порядке иного преодоления разрастающихся противоречий она должна будет его уступить, — это вопрос будущего, быть может, не столь далекого.
Открытие неевклидовой геометрии доказало, что нельзя абсолютировать представления о пространстве, что «употребительная» (как назвал Лобачевский геометрию Евклида) геометрия не является единственно возможной, однако это не подорвало незыблемость геометрии Евклида. Итак, в основе геометрии Евклида лежат не априорные, врожденные уму понятия и аксиомы, а такие понятия, которые связаны с деятельностью человека, с человеческой практикой. Только практика может решить вопрос о том, какая геометрия вернее излагает свойства физического пространства. Открытие неевклидовой геометрии дало решающий толчок грандиозному развитию науки, способствовало и поныне способствует более глубокому пониманию окружающего нас материального мира.
Приложение
Лобачевский Н.И.
Николай Иванович Лобачевский, второй сын мелкого чиновника, родился 1 декабря(20 ноября) 1792 года в Нижнем Новгороде, в России. Когда Николаю было 7 лет, его мать, Прасковья Ивановна, осталась одна с тремя маленькими сыновьями. И до этого жалование отца с трудом хватало на содержание семьи; теперь она встретилась с крайней нищетой. Она переехала в Казань, где как могла, подготавливала детей к школе, и они были приняты в гимназию на казенное содержание. Николай приступил к занятиям в 1802 году, в десятилетнем возрасте. Его успехи в математике и в древних языках были феноменальными. В 14 лет он был подготовлен для университета. В 1807 году он поступил в Казанский университет, в котором ему предстояло провести последующие 40 лет жизни – как студенту, экстраординарному профессору, профессору и, наконец, ректору.
В 1811 году, в возрасте 18 лет, Лобачевский получил степень магистра, к тому же с отличием. В это же время его старший брат Алексей вел курсы элементарной математики по подготовке младших правительственных чиновников, и, когда он получил отпуск по болезни, Николай заменил его. В апреле1814 года он был утвержден адъюнктом чистой математики, а 2 года спустя ему было присвоено звание профессора.
Назначение Лобачевского экстраординарным профессором состоялось в 1816 году в необычно молодом возрасте 23 лет. Его обязанности были многотрудными. Дополнительно к работе по математике ему поручались лекционные курсы по астрономии и физике. Он блестяще справился с порученным заданием. Это послужило поводом для еще большей нагрузки.
Вскоре Лобачевский взялся за переустройство университетской библиотеки и университетского музея, находившихся в хаотическом состоянии.
Со смертью Александра I дела обернулись к лучшему. Специальный уполномоченный правительства для преднамеренного преследования Казанского был уволен. Нуждаясь в политической и моральной поддержке своей деятельности в университете, новый попечитель обеспечил назначение в 1827 году Лобачевского ректором. Математик был теперь главой университета, но эта должность отнюдь не была синекурой. Под его умелым руководством весь штат был реорганизован, были привлечены лучшие люди, преподавание было либерализовано, несмотря на официальные препятствия, была построена библиотека, соответствующая высшему уровню научных требований, были организованы механические мастерские для изготовления научных инструментов, которые требовались для исследований и преподавания, была основана и оборудована обсерватория – любимое детище энергичного ректора.
Даже ректорское достоинство не удерживало Лобачевского от работы руками в библиотеке и музее, когда он чувствовал, что его помощь необходима. Университет был его жизнью, и он любил его.
Кажется невероятным, что Лобачевский, так сильно перегруженный преподавательскими и административными обязанностями, мог находить время для научной работы. Он создал один из величайших шедевров всей математики – неевклидову геометрию и поставил веху в человеческом мышлении. Он трудился над этим с перерывами не менее 20 лет. Его первое публичное сообщение по этой теме было сделано на физико – математическом факультете Казанского университета в 1826 году.
В 1846 году его грубо лишили должностей профессора и ректора университета, хотя тогда он был полон физических и умственных сил, более чем когда- либо он был способен продолжать свои математические исследования. Отвратительная неблагодарность властей сломила Лобачевского. Он оставил все надежды снова стать кем-то в университете, который своей научной славой почти целиком был обязан его усилиям, и после этого появлялся в нем только случайно, чтобы помочь на экзаменах. Хотя его зрение быстро ухудшалось, он был еще способен к интенсивному математическому мышлению.
Он все еще любил университет. Его здоровье пошатнулось, когда умер его сын; но он все еще надеялся, что сможет принести некоторую пользу. В 1855 году университет праздновал свое пятидесятилетие. Лобачевский лично присутствовал на торжествах и принес в дар юбиляру экземпляр «Пангеометрии» – завершающей научной работы его жизни. Эта работа не была написана его собственной рукой: он диктовал ее, так как в то время был уже слепым. Через несколько месяцев, 24 февраля 1856 года, 62-х лет от роду, он умер.
Янош Бояй
Жизнь и творчество Яноша Бояй тесно связаны с деятельностью его отца, математика Фаркаша Бояй (1775-1856). Большую часть своей жизни отец и сын провели в родной Трансильвании. Еще будучи студентом Геттингенского университета, Бояй-отец дружил с юным Гауссом, в беседах с которым он часто обсуждал проблему V постулата. Впоследствии Ф. Бояй много лет занимается исследованиями в области теории параллельных линий, которые, однако, не привели его к желаемому результату. С 1804г. и почти до конца своей жизни он работал в должности преподавателя математики, физики и химии в евангелистско-реформистской коллегии небольшого трансильванского
Одаренность Яноша и его страстный интерес к математике и музыке складывались еще в детстве. В
.возрасте 10 лет он уже имел свои собственные музыкальные композиции, в 13 лет владел дифференциальным и интегральным исчисленьями, а в 15 лет – выдержал экзамен на аттестат зрелости. В 1818г. Янош отправился в Вену, где на протяжении 4 лет состоял студентом военно-инженерной академии. В 1823г., окончив академию и получив звание офицера, Янош был отправлен на службу в трансильванский город Темешвар Здесь, располагая достаточным временем, он всецело отдался математике и со страстным увлечением занялся исследованием проблемы V постулата, начатым еще в годы студенчества. В одном из своих писем, направленных в 1823г. отцу, Янош сообщил, что хотя и не достиг еще цели, но получил значительные результаты: "Из ничего я создал новый мир"
Отец, на собственном опыте узнавший, сколько горя и разочарований может принести проблема V постулата, в своих письмах умолял сына отказаться от этих занятий. Однако, Янош продолжал свои исследования, добился цели и, тщательно отработав свои исследования, убедил почти ничего не понявшего в них отца, поместить их в качестве «Приложения» в конце «Тентамена». Работа была послана отцом на отзыв Гауссу. Последний, однако, вместо одобрения молодого венгерского математика, в ответном письме писал, что содержание этой работы и ее результаты почти сплошь совпадения с его, которые он получил уже30-35 лет тому назад.
Ответ Гаусса произвел на Яноша Бояй удручающее впечатление. Не зная о том, что приоритет открытия неевклидовой геометрии принадлежал уже с 1829г. Н.И. Лобачевскому, он не поверил, что Гаусс пришел к тем же идеям независимо от него, Яноша Бояй. Он заподозрил Гаусса в намерении похитить у него приоритет великого открытия, ставшего для Яноша делом и смыслом всей его жизни.
Его переживания и отчаяние резко возросли, когда в его руки попало сочинение Н.И. Лобачевского на немецком языке «Геометрические
исследования по теории параллельных линий». Янош высказал предположение, что Лобачевский – это всего лишь псевдоним, под которым
скрывается Гаусс, похитивший у него приоритет открытия неевклидовой геометрии.
Когда в 60-х годах прошлого столетия была опубликована переписка Гаусса с его друзьями, ученые узнали, что Гаусс полностью разделял взгляды Лобачевского и Бояй, и сам, независимо от них, пришел к тем же идеям.
Карл Фридрих Гаусс
Карл Фридрих Гаусс родился 30 апреля 1777 года в доме №1550, что стоял на канале Венденгребене в Брауншвейе. По мнению биографов, он унаследовал от родных отца крепкое здоровье, а от родных матери яркий интеллект. Ближе других был к будущему ученому дядя Фридерихс – искусный ткач, в котором, по словам племянника, «погиб прирожденный гений».Гаусс говорил о себе, что он «умел считать, раньше, чем говорить». Самая ранняя математическая легенда о нем утверждает, что в 3 года он следил за расчетами отца с каменщиками -–поденщиками и неожиданно поправил отца, причем оказался прав.
В 7 лет Карл Фридрих поступил в Екатериненскую народную школу. Поскольку считать там начинали с третьего класса, первые два года на маленького Гаусса внимания не обращали. В 3-й класс ученики обычно попадали в 10-летнем возрасте и учились там до конфирмации (15 лет). Учителю Бюттнеру приходилось заниматься одновременно с детьми разного возраста и разной подготовки. Поэтому он давал обычно части учеников длинные задания на вычисление, с тем, чтобы иметь возможность беседовать с другими учениками. Однажды группе учеников, среди которых был Гаусс, было предложено просуммировать натуральные числа от 1 до100. По мере выполнения задания ученики должны были класть на стол учителя свои грифельные доски. Порядок досок учитывался при выставлении оценок. 10-и летний Гаусс положил свою доску, едва Бюттнер кончил диктовать задание. К всеобщему удивлению, лишь у него ответ был правилен. Секрет был прост: Пока диктовалось задание Гаусс успел переоткрыть формулу для суммы арифметической прогрессии! Слава о чудо-ребенке распространилась по маленькому Брауншвейгу.
В школе, где учился Гаусс, помощником учителя, основной обязанностью которого было чинить перья младшим ученикам работал некто Бартельс, интересовавшийся математикой и имевший несколько математических книг. Гаусс и Бартельс начинают заниматься вместе; они знакомятся с биномом Ньютона, бесконечными рядами…..
Через некоторое время Бартельс получит кафедру чистой математики в Казанском университете и будет учить математику Лобачевского.
О Гауссе узнают при дворе. В1791 году его представляют Карлу Вильгельму Фердинанду – герцогу Брауншвейгскому. Мальчик бывает во дворце и развлекает придворных искусством счета. Благодаря покровительству герцога Гаусс смог в октябре 1795 года поступить в Геттингенский университет. Первое время он слушает лекции по филологии и почти не посещает лекции по математике. Но это не означает, что он не занимается математикой.
Феликс Клейн, замечательный математик, глубокий исследователь научного творчества Гаусса, говорил о великом ученом следующее:
«Естественный интерес, детское любопытство приводит впервые мальчика независимо от каких-либо внешних влияний к математическим вопросам. Первое, что его привлекает, это чистое искусство счета. Он беспрестанно считает с прямо-таки непреоборимым упорством и неутомимым прилежанием. Благодаря этим постоянным упражнениям в действиях над числами, например, над десятичными дробями с невероятным числом знаков, он не только достигает изумительной виртуозности в технике счета, которой он отличался всю свою жизнь, но его память овладевает таким колоссальным числовым материалом, он приобретает такой богатый опыт и такую широту кругозора в области чисел, какими навряд ли обладал кто-либо до или после него. Осенью 1795 года Гаусс переезжает в Геттинген и прямо-таки проглатывает впервые попавшуюся в его руки литературу: Эйлера и Лагранжа».
«Рассказывают, что Архимед завещал построить над своей могилой памятник в виде шара и цилиндра в память о том, что он нашел отношение объемов цилиндра и вписанного в него шара 3:2. Подобно Архимеду Гаусс выразил желание, чтобы в памятнике на его могиле был увековечен семнадцатиугольник. Это показывает, какое значение сам Гаусс придавал своему открытию. На могильном камне Гаусса этого рисунка нет, но памятник, воздвигнутый ему в Брауншвейге, стоит на семнадцатиугольном постаменте, правда, едва заметном зрителю». (Г. Вебер)
Используемая литература
https://www.fryazino.net/forum?action=post&fid=15&tid=106389#pd 900362
https://mathem.h1.ru/geometr0.html
https://tc.lib.ru
https://www.sch57.msk.ru/
Геометрия «7-11» Атанасян Л Е
Основания геометрии А. Д. Александров.