Деление.
Представление комплексного числа на плоскости:
Вопрос №2.
Модулем комплексного числа называется длина вектора, изображающего комплексное число на координатной (комплексной) плоскости.
Модуль комплексного числа a + bi обозначается как |z| или |a + bi| и равен корню из суммы квадратов aи b.
Аргумент комплексного числа - это угол между осью OX и вектором z, изображающим это комплексное число. Отсюда, tg 
= b/a. 
Тригонометрическая форма комплексного числа. Абсциссу a и ординату b комплексного числа a+ bi можно выразить через его модуль |z| и аргумент :
Операции с комплексными числами, представленными в тригонометрической форме.
Вопрос №3.
Формула Муавра.
k = 0, 1, 2,…, n – 1.
Вопрос №4
Формула Эйлера
Показательной функцией с мнимым показателем степени называется комплексная функция 
Где параметр tможет принимать любые действительные значения
Вопрос № 5
Основная теорема высшей алгебры утверждает что всякое алгебраическое уравнение n>0 имеет хотя бы один корень, действительный или комплексный.
Вопрос № 6 Определение линейного пространства.
Определение. Множество ¥(фи) мы назовем линейным пространством, а его элементы -векторами, если:
а) Задан закон (операция сложения), по которому любым двум элементам x и y из ¥ сопоставляется элемент, называется их суммой и обозначаемый х+у
б) Задан закон (операция умножения на число), по которому элементу х из ¥ и числу а сопоставляется элемент из ¥, называемый произведением х на а и обозначаемый ах.
в) Для любых элементов х,у,z из ¥ и любых чисел а и в выполнены следующие требования (или аксиомы):
1) х+у=у+х
2)(х+у)+z=x+(y+z)
3) Существует элемент о такой, что для каждого х из ¥ выполнено равенство х+о=х
4) Для каждого х существует элемент –х такой, что х+(-х)=0
5) а(х+у)=ах+ау.
6) (а+в)х=ах+вх.
7) а(вх)=(ав)х.
8) 1х=х.
Если в п.б) используем только вещественные то ¥ называется вещественным линейным пространством. Если же определено умножение на любое комплексное число, то линейное пространство ¥ называется комплексным.
Вопрос №7.
Линейная зависимость и независимость векторов
Набор векторов 
называется системой векторов.
Система из 
векторов называется линейно зависимой, если существуют такие числа 
, не все равные нулю одновременно, что
| (1.1) |
Система из векторов называется линейно независимой, если равенство (1.1) возможно только при 
, т.е. когда линейная комбинация в левой части равенства (1.1) тривиальная.
Замечания 1.2
1. Один вектор 
тоже образует систему: при 
— линейно зависимую, а при 
— линейно независимую.
2. Любая часть системы векторов называется подсистемой.
Свойства линейно зависимых и линейно независимых векторов
1. Если в систему векторов входит нулевой вектор, то она линейно зависима
2. Если в системе векторов имеется два равных вектора, то она линейно зависима.
3. Если в системе векторов имеется два пропорциональных вектора 
, то она линейно зависима.
4. Система из 
векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов есть линейная комбинация остальных.
5. Любые векторы, входящие в линейно независимую систему, образуют линейно независимую подсистему.
6. Система векторов, содержащая линейно зависимую подсистему, линейно зависима.
7. Если система векторов линейно независима, а после присоединения к ней вектора 
оказывается линейно зависимой, то вектор можно разложить по векторам , и притом единственным образом, т.е. коэффициенты разложения находятся однозначно.
Пример 1.3. Параллелограмм 
построен на векторах 
и 
; точки 
и 
— середины сторон 
и 
соответственно (рис. 1.11).
Требуется:
а) найти линейные комбинации векторов
б) доказать, что векторы , , 
линейно зависимы.
Решение.
а) Так как 
, то по правилу треугольника:.
Рассуждая аналогично, получаем:. Построим вектор 
. Из равенства треугольников 
и 
следует, что 
. Тогда.
б) Учитывая, что 
и 
, получаем: 
.
Перенося векторы в левую часть, приходим к равенству 
, т.е. нетривиальная линейная комбинация векторов 
, 
, 
равна нулевому вектору. Следовательно, векторы 
, 
, 
линейно зависимы, что и требовалось доказать.
Вопрос №8.
Базис пространства 
. Координаты вектора
Базис - любая упорядоченная система 
из n линейно независимых векторов пространства 
.
Обозначение: 
Для каждого вектора 
существуют числа 
такие что
Числа 
называются координатами вектора 
в базисе (
) (определяются однозначно), X = (x) - координатный столбец вектора 
в этом базисе. Употребляется запись: 
Справедливы формулы:
Вопрос №9.